[理学]大学高数同济大学出版第六版上册第三章课后习题解析.doc

习题3-1 1. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性. 解 因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y¢(x)=cot x=0. 由y¢(x)=cot x=0得. 因此确有, 使y¢(x)=cot x=0. 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上的正确性. 解 因为y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点xÎ(0, 1), 使. 由y¢(x)=12x2-10x+1=0得. 因此确有, 使. 3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x+cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F¢(x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得 . 令, 即. 化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得 . 4. 试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间. 证明 因为函数y=px2+qx+r在闭区间a, b上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点xÎ(a, b), 使得y(b)-y(a)=y¢(x)(b-a), 即 (pb2+qb+r)-(pa2+qa+r)=(2px+q)(b-a). 化间上式得 p(b-a)(b+a)=2px (b-a), 故. 5. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f ¢(x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间. 解 由于f(x)在1, 2上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1Î(1, 2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在x2Î(2, 3), 使f ¢(x2)=0; 存在x3Î(3, 4), 使f ¢(x3)=0. 显然x1、x2、x 3都是方程f ¢(x)=0的根. 注意到方程f ¢(x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ¢(x)=0的全部根. 6. 证明恒等式: (-1£x£1). 证明 设f(x)= arcsin x+arccos x. 因为 , 所以f (x)ºC, 其中C是一常数. 因此, 即. 7. 若方程a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0 必有一个小于x0的正根. 证明 设F(x)=a0xn+a1xn-1+ × × × + an-1x, 由于F(x)在0, x0上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点xÎ(0, x0), 使F ¢(x)=0, 即方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + × × × +an-1 =0 必有一个小于x0的正根. 8. 若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中a<x1<x2<x3<b, 证明: 在(x1, x3)内至少有一点x, 使得f ¢¢(x)=0. 证明 由于f(x)在x1, x2上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1Î(x1, x2), 使f ¢(x1)=0. 同理存在一点x2Î(x2, x3), 使f ¢(x2)=0. 又由于f ¢(x)在x1, x2上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f ¢(x1)=f ¢(x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x Î(x1, x2)Ì(x1, x3), 使f ¢¢(x )=0. 9. 设a>b>0, n>1, 证明: nbn-1(a-b)<an-bn<nan-1(a-b) . 证明 设f(x)=xn, 则f(x)在b, a上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(b, a), 使 f(a)-f(b)=f ¢(x)(a-b), 即an-bn=nx n-1(a-b). 因为 nbn-1(a-b)<nx n-1(a-b)< nan-1(a-b),所以 nbn-1(a-b)<an-bn< nan-1(a-b) . 10. 设a>b>0, 证明: . 证明 设f(x)=ln x, 则f(x)在区间b, a上连续, 在区间(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(b, a), 使 f(a)-f(b)=f ¢(x)(a-b), 即. 因为b<x<a, 所以 , 即. 11. 证明下列不等式: (1)|arctan a-arctan b|£|a-b|; (2)当x>1时, ex>e×x . 证明 (1)设f(x)=arctan x, 则f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(a, b), 使 f(b)-f(a)=f ¢(x)(b-a), 即, 所以, 即|arctan a-arctan b|£|a-b|. (2)设f(x)=ex, 则f(x)在区间1, x上连续, 在区间(1, x)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(1, x), 使 f(x)-f(1)=f ¢(x)(x-1), 即 ex -e=ex (x-1). 因为x >1, 所以 ex -e=ex (x-1)>e(x-1), 即ex>e×x. 12. 证明方程x5+x-1=0只有一个正根. 证明 设f(x)=x5+x-1, 则f(x)是0, +¥)内的连续函数. 因为f(0)=-1, f(1)=1, f(0)f(1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x5+x-1=0至少有一个正根. 假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f ¢(x)存在零点, 但f ¢(x)=5x4+1¹0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根. 13. 设f(x)、g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 证明在(a, b)内有一点x, 使 . 解 设, 则j(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在xÎ(a, b), 使 j(b)-j(a)=j¢(x)(b-a), 即 . 因此 . 14. 证明: 若函数.f(x)在(-¥, +¥)内满足关系式f ¢(x)=f(x), 且f(0)=1则f(x)=ex . 证明 令, 则在(-¥, +¥)内有 , 所以在(-¥, +¥)内j(x)为常数. 因此j(x)=j(0)=1, 从而f(x)=ex . 15. 设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且f(0)=f ¢(0)= × × × =f (n-1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明: (0<q<1). 证明 根据柯西中值定理 (x1介于0与x之间), (x2介于0与x1之间), (x3介于0与x2之间), 依次下去可得 (xn介于0与xn-1之间), 所以. 由于xn可以表示为xn =q x (0<q<1), 所以 (0<q<1).习题3-2 1. 用洛必达法则求下列极限: (1); (2); (3); (4); (5); (6); (7); (8); (9); (10); (11); (12); (13); (14); (15); (16). 解 (1). (2). (3). (4). (5). (6). (7) . (8) . (9) . (10) . (注: cosx×ln(1+x2)x2) (11). (12)(注: 当x®0时, . (13). (14)因为, 而 , 所以 . . (15)因为, 而 , 所以 . (16)因为, 而 , 所以 . 2. 验证极限存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 , 极限是存在的. 但不存在, 不能用洛必达法则. 3. 验证极限存在, 但不能用洛必达法则得出. 解 , 极限是存在的. 但不存在, 不能用洛必达法则. 4. 讨论函数在点x=0处的连续性. 解 , , 因为 , 而 , 所以 . 因此f(x)在点x=0处连续.习题3-3 1. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4. 解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为 f(4)=-56, f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21, f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74, f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66, f (4)(4)=24, 所以 =-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4. 2. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3. 解 因为 f ¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3), f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2), f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3), f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2), f (5)(x)=360(2x-3), f (6)(x)=720; f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢¢¢(0)=-270, f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720, 所以 =1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6. 3. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式. 解 因为 , , , , ,所以 (0<q<1). 4. 求函数f(x)=ln x按(x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f ¢(x)=x-1, f ¢¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × , ; (k=1, 2, × × ×, n+1), 所以 . 5. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式. 解 因为 f(x)=x-1, f ¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × , ; (k=1, 2, × × ×, n), 所以 (0<q<1). 6. 求函数f(x)=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式. 解 因为 f ¢(x)=sec2x, f ¢¢(x)=2sec x×sec x×tan x=2sec2x×tan x, f ¢¢¢(x)=4sec x×sec x×tan2x+2sec4x=4sec2x×tan2x+2sec4x, f (4)(x)=8sec2x×tan3x+8sec4x×tan x+8sec4x×tan x; f(0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0, f ¢¢¢(0)=2, 所以 (0<q<1). 7. 求函数f(x)=xex 的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式. 解 因为 f ¢(x)=ex+xex, f ¢¢(x)=ex+ex+xex=2ex+xex, f ¢¢¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex, × × ×, f (n)(x)=nex+xex; f (k)(0)=k (k=1, 2, × × ×, n), 所以 . 8. 验证当时, 按公式计算ex的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求的近似值, 使误差小于0.01. 解 因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式, 其余项为 , 所以当时，按公式计算ex的误差 . . 9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差: (1); (2)sin18°. 解 (1)设, 则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为 (x介于27与x之间). 于是 , 其误差为 . (2) 已知 (x介于0与x之间), 所以 sin 18°, 其误差为 . 10. 利用泰勒公式求下列极限: (1); (2); (3). 解 (1). 因为, 所以 . (2) . (3) . 习题3-4 1. 判定函数f(x)=arctan x-x 单调性. 解 因为, 且仅当x=0时等号成立, 所以f(x)在(-¥, +¥)内单调减少. 2. 判定函数f(x)=x+cos x (0£x£2p)的单调性. 解 因为f ¢(x)=1-sin x³0, 所以f(x)=x+cos x在0, 2p上单调增加. 3. 确定下列函数的单调区间: (1) y=2x3-6x2-18x-7; (2)(x>0); (3); (4); (5) y=(x-1)(x+1)3; (6); (7) y=xne-x (n>0, x³0); (8)y=x+|sin 2x|. 解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y¢=0得驻点x1=-1, x2=3. 列表得x(-¥, -1)-1(-1, 3)3(3, +¥)y¢+0-0+y 可见函数在(-¥, -1和3, +¥)内单调增加, 在-1, 3内单调减少. (2) ,令y¢=0得驻点x1=2, x2=-2(舍去). 因为当x>2时, y>0; 当0<x<2时, y¢<0, 所以函数在(0, 2内单调减少, 在2, +¥)内单调增加. (3), 令y¢=0得驻点, x2=1, 不可导点为x=0. 列表得x(-¥, 0)0(0, )(, 1)1(1, +¥)y¢-不存在-0+0-y0 可见函数在(-¥, 0), , 1, +¥)内单调减少, 在上单调增加. (4)因为, 所以函数在(-¥, +¥)内单调增加. (5) y¢=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2. 因为当时, y¢<0; 当时, y¢>0, 所以函数在内单调减少, 在内单调增加. (6), 驻点为, 不可导点为, x3=a . 列表得xa(a, +¥)y¢+不存在+0-不存在+y 可见函数在, , (a, +¥)内单调增加, 在内单调减少. (7)y¢=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时, y¢>0; 当x>n时, y¢<0, 所以函数在0, n上单调增加, 在n, +¥)内单调减少. (8)(k=0, ±1, ±2, × × ×), (k=0, ±1, ±2, × × ×). y¢是以p为周期的函数, 在0, p内令y¢=0, 得驻点, , 不可导点为. 列表得xy¢+0-不存在+0-y根据函数在0, p上的单调性及y¢在(-¥, +¥)的周期性可知函数在上单调增加, 在上单调减少(k=0, ±1, ±2, × × ×). 4. 证明下列不等式: (1)当x>0时, ; (2)当x>0时, ; (3)当时, sin x+tan x>2x; (4)当时, ; (5)当x>4时, 2x>x2; 证明 (1)设, 则f (x)在0, +¥)内是连续的. 因为 , 所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f (x)>f (0)=0, 即 , 也就是 . (2)设, 则f (x)在0, +¥)内是连续的. 因为 , 所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (3)设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续, f ¢(x)=cos x+sec2x-2. 因为在内cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f ¢(x)>0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即 sin x+tan x-2x>0, 也就是 sin x+tan x>2x. (4)设, 则f(x)在内连续, . 因为当时, tan x>x, tan x+x>0, 所以f ¢(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即 , 也就是 . (5)设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在4, +¥)内连续, 因为 , 所以当x>4时, f ¢(x)>0, 即f(x)内单调增加. 因此当x>4时, f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0, 也就是2x>x2. 5. 讨论方程ln x=ax (其中a>0)有几个实根？ 解 设f(x)=ln x-ax. 则f(x)在(0, +¥)内连续, , 驻点为. 因为当时, f ¢(x)>0, 所以f(x)在内单调增加; 当时, f ¢(x)<0, 所以f(x)在内单调减少. 又因为当x®0及x®+¥时, f(x)®-¥, 所以如果, 即, 则方程有且仅有两个实根; 如果, 即, 则方程没有实根. 如果, 即, 则方程仅有一个实根. 6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子: f(x)=x+sin x . 解 单调函数的导函数不一定为单调函数. 例如f(x)=x+sin x在(-¥,+¥)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上, f ¢(x)=1+cos x³0, 这就明f(x)在(-¥, +¥)内是单调增加的. f ¢¢(x)=-sin x在(-¥, +¥)内不保持确定的符号, 故f ¢(x)在(-¥, +¥)内不是单调的. 7. 判定下列曲线的凹凸性: (1) y=4x-x2 ; (2) y=sh x; (3)(x>0); (4) y=x arctan x ; 解 (1)y¢=4-2x, y¢¢=-2, 因为y¢¢<0, 所以曲线在(-¥, +¥)内是凸的. (2)y¢=ch x, y¢¢=sh x. 令y¢¢=0, 得x=0. 因为当x<0时, y¢¢=sh x<0; 当x>0时, y¢¢=sh x>0, 所以曲线在(-¥, 0内是凸的, 在0, +¥)内是凹的. (3), . 因为当x>0时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, +¥)内是凹的. (4),. 因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=xarctg x在(-¥, +¥)内是凹的. 8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1).y=x3-5x2+3x+5 ; (2) y=xe-x ; (3) y=(x+1)4+ex ; (4) y=ln(x2+1); (5) y=earctan x ; (6) y=x4(12ln x-7), 解 (1)y¢=3x2-10x+3, y¢¢=6x-10. 令y¢¢=0, 得. 因为当时, y¢¢<0; 当时, y¢¢>0, 所以曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为. (2)y¢=e-x-xe-x, y¢¢=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2). 令y¢¢=0, 得x=2. 因为当x<2时, y¢¢<0; 当x>2时, y¢¢>0, 所以曲线在(-¥, 2内是凸的, 在2, +¥)内是凹的, 拐点为(2, 2e-2). (3)y¢=4(x+1)3+ex, y¢¢=12(x+1)2+ex . 因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-¥, +¥)内是凹的, 无拐点. (4), . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1. 列表得 x(-¥, -1)-1(-1, 1)1(1, +¥)y¢¢-0+0-yÇln2拐点Èln2拐点Ç 可见曲线在(-¥, -1和1, +¥)内是凸的, 在-1, 1内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2). (5),. 令y¢¢=0得, . 因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以曲线y=earctg x在内是凹的, 在内是凸的, 拐点是. (6) y¢=4x3(12ln x-7)+12x3, y¢¢=144x2×ln x. 令y¢¢=0, 得x=1. 因为当0<x<1时, y¢¢<0; 当x>1时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, 1内是凸的, 在1, +¥)内是凹的, 拐点为(1, -7). 9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式: (1) (x>0, y>0, x¹y, n>1); (2); (3) (x>0, y>0, x¹y). 证明 (1)设f(t)=tn, 则f ¢(t)=ntn-1, f ¢¢(t)=n(n-1)t n-2. 因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=t n在区间(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y有 , 即 . (2)设f(t)=et, 则f ¢(t)=et, f ¢¢(t)=et . 因为f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=et在(-¥, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x, yÎ(-¥, +¥), x¹y有 , 即 . (3)设f(t)=t ln t , 则 f ¢(t)=ln t+1, . 因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以函数f(t)=t ln t 的图形在(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y 有 , 即 . 10. 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上. 证明 , . 令y¢¢=0, 得x1=-1, , . 例表得x(-¥. -1) -1y¢-0+0-0+yÇ-1ÈÇÈ 可见拐点为(-1, -1), , . 因为 , , 所以这三个拐点在一条直线上. 11. 问a、b为何值时, 点(1, 3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？ 解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b. 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, . 12. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上. 解 y¢=3ax2+2bx+c, y¢¢=6ax+2b . 依条件有 , 即. 解之得a=1, b=-3, c=-24, d=16. 13. 试决定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点. 解y¢=4kx3-12kx, y¢¢=12k(x-1)(x+1). 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1. 因为在x1=-1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=-1时y=4k, 所以点(-1, 4k)是拐点. 因为y¢(-1)=8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, . 同理, 因为在x1=1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=1时y=4k, 所以点(1, 4k)也是拐点. 因为y¢(1)=-8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, . 因此当时, 该曲线的拐点处的法线通过原点. 14. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ¢¢(x 0)=0, 而f ¢¢¢(x0)¹0, 试问 (x0, f(x0)是否为拐点？为什么？ 解 不妨设f ¢¢¢(x0)>0. 由f ¢¢¢(x)的连续性, 存在x0的某一邻域(x0-d, x0+d), 在此邻域内有f ¢¢¢(x)>0. 由拉格朗日中值定理, 有 f ¢¢(x)-f ¢¢(x0)=f ¢¢¢(x)(x-x0) (x介于x0与x之间), 即 f ¢¢(x)=f ¢¢¢(x)(x-x0). 因为当x0-d<x<x0时, f ¢¢(x)<0; 当x0<x<x0+d 时, f ¢¢(x)>0, 所以(x0, f(x0)是拐点. 习题3-5 1. 求函数的极值: (1) y=2x3-6x2-18x+7; (2) y=x-ln(1+x) ; (3) y=-x4+2x2 ; (4); (5); (6); (7) y=ex cos x ; (8); (9); (10) y=x+tan x . 解 (1)函数的定义为(-¥, +¥), y¢=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3. 列表x(-¥, -1)-1(-1, 3)3(3, +¥)y¢+0-0+y 17极大值-47极小值 可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47. (2)函数的定义为(-1, +¥), , 驻点为x=0. 因为当-1<x<0时, y¢<0; 当x>0时, y¢>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0. (3)函数的定义为(-¥, +¥), y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4, 令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1. 因为y¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值. (4)函数的定义域为(-¥, 1, , 令y¢=0, 得驻点. 因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以为函数的极大值. (5)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为. 因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以函数在处取得极大值, 极大值为. (6)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为x1=0, x2=-2. 列表x(-¥, -2)-2(-2, 0)0(0, +¥)y¢-0+0-y 极小值4极大值 可见函数在x=-2处取得极小值, 在x=0处取得极大值4. (7)函数的定义域为(-¥, +¥). y¢=e x(cos x-sin x ), y¢¢=-e xsin x. 令y¢=0, 得驻点, , (k=0, ±1, ±2, × × ×). 因为, 所以是函数的极大值. 因为y¢¢, 所以是函数的极小值. (8)函数的定义域为(0, +¥), . 令y¢=0, 得驻点x=e . 因为当x<e时, y¢>0; 当x>e时, y¢<0, 所以为函数f(x)的极大值. (9)函数的定义域为(-¥, +¥), , 因为y¢<0, 所以函数在(-¥, +¥)是单调减少的, 无极值. (10)函数y=x+tg x 的定义域为(k=0, ±1, ±2, × × ×). 因为y¢=1+sec 2x >0, 所以函数f(x)无极值. 2. 试证明: 如果函数y=ax3+bx2+cx +d 满足条件b2 -3ac<0, 那么这函数没有极值 . 证明y¢=3a x2+2b x+c. 由b2 -3ac<0, 知a¹0. 于是配方得到 y¢=3a x2+2b x+c, 因3ac-b2>0, 所以当a>0时, y¢>0; 当a<0时, y¢<0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是单调函数, 没有极值. 3. 试问a为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值. 解 f ¢(x)=acos x+cos 3x, f ¢¢(x)=-asin x-3 sin x. 要使函数f(x)在处取得极值, 必有, 即, a=2 . 当a=2时, . 因此, 当a=2时, 函数f (x)在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为. 4. 求下列函数的最大值、最小值: (1) y=2x3-3x2 , -1£x£4; (2) y=x4-8x2+2, -1£x£3 ; (3), -5£x£1. 解 (1)y¢=6x2-6x=6x(x-1), 令y¢=0, 得x1=0, x2=1. 计算函数值得 y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80, 经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5, 最大值为y(4)=80. (2)y¢=4x3-16x=4x(x2-4), 令y¢=0, 得x1=0, x2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得 y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11, 经比较得出函数的最小值为y(2)=-14, 最大值为y(3)=11. (3), 令y¢=0, 得. 计算函数值得 , ,