[理学]matlab仿真备课教案.doc

一、 Matlab数值计算Matlab特殊运算符-冒号的使用：>> a=10:3:30（，其中是数组的第一个元素，是步长，最后一个元素）a = 10 13 16 19 22 25 28>> a=10:-1:0a =10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0>> a=10:15a =10 11 12 13 14 15>> a=1 2 3;4 5 6;7 8 9a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9>> B=a(1:2,3)B = 3 6>> B=a(2:3,:)B = 4 5 6 7 8 9二、 Matlab的数组、矩阵运算1. 一维数组元素的标识、访问与赋值>> x=1*pi 2*pi 3*pi 4*pi 5*pix =3.1416 6.2832 9.4248 12.5664 15.7080>> x(3)ans = 9.4248>> x(3:end)ans =9.4248 12.5664 15.7080>> x(3:-1:1)ans =9.4248 6.2832 3.1416>> x(find(x<10)ans =3.1416 6.2832 9.4248>> x(4 2 5)ans =12.5664 6.2832 15.7080>> x(1)=1;>> xx =1.0000 6.2832 9.4248 12.5664 15.7080>> a=1 2*pi sqrt(3) 4+5ia =1.0000 6.2832 1.7321 4.0000 + 5.0000i>> B=1 2 3'B = 1 2 3三、 多项式及其运算多项式的系数行向量为：1. 多项式求根求多项式的根。>> p=1 8 17 10;>> roots(p) 【注：roots多项式求根】ans = -5.0000 -2.0000 -1.00002. 由根求多项式已知多项式的根分别为-1、-2、-5，试求此根对应的多项式。>> p=poly(-1,-2,-5) 【注：poly由根求多项式】p = 1 8 17 10注：多项式的Poly( )与roots( )函数互为逆运算。3. 多项式求值求多项式在指定点处的值。>> p=1 2 3 4 5;>> polyval(p,3) 【注：polyval多项式求值】ans =1794. 多项式乘法（卷积）与多项式除法（解卷）求多项式与的卷积。>> p=1 2 3;>> q=4 5 6;>> r=conv(p,q) 【注：conv多项式乘法】r = 4 13 28 27 18>> s=deconv(r,p) 【注：deconv多项式除法】s = 4 5 65. 分式多项式的部分分式展开已知一传递函数，将其分解为部分分式。>> a=1 2;>> b=1 4 3;>> z,p,k=residue(a,b)【注：residue分式多项式的部分分式展开】z = 0.5000 0.5000p = -3 -1k = 即得传递函数分解的部分分式：6. 多项式求导求多项式的导数。>> a=1 2 3 4 5;>> b=polyder(a) 【注：polyder多项式求导】b = 4 6 6 4四、 Matlab符号运算基础通过Matlab的符号运算功能，可以求解科学计算中数学问题的符号解析表达式精确解。符号对象(symbolic object)是Symbolic Math Toolbox定义的一种新的数据类型，用来存储代表非数值的字符符号。创建符号对象与函数命令：sym( )、syms( )与class( ).1 Matlab符号对象的基本运算与关系运算例：有符号表达式与，试计算>> syms a b c p k x y e e1 e2;>> e1=a*c*x2*y+a*p*x2+b*c*x*y+b*p*x+c*k*y+k*p;>> e2=c*y+p;>> ans1=simple(e1/e2)【simple为符号表达式化简函数】 ans1 =a*x2+b*x+k2 Matlab符号运算的基本函数 符号变量代换及其函数subs(S,old,new)已知，试对其进行符号变量替换：、；符号常量替换：、与数值数组替换：。>> syms a b c d k n x y w t;>> f=a*xn+b*y+k;>> f1=subs(f,a b k,sin(t) log(w) c*exp(-d*t) f1 =sin(t)*xn+log(w)*y+c*exp(-d*t)>> f2=subs(f,n k,5 pi) f2 =a*x5+b*y+pi>> f3=subs(f,k,1:4) f3 = a*xn+b*y+1, a*xn+b*y+2, a*xn+b*y+3, a*xn+b*y+4 Matlab符号表达式的化简a). 符号表达式因式分解的函数命令factor( )，其调用格式为：factor(E)已知，试对其因式分解。>> syms a b c;>> f=a4*(b2-c2)+b4*(c2-a2)+c4*(a2-b2);>> f1=factor(f) f1 =(b-c)*(b+c)*(a-c)*(a+c)*(a-b)*(a+b)b).符号表达式展开的函数expand( ),其调用格式为：expand( E)已知，试将其展开。>> syms x;>> f=cos(3*acos(x);>> f1=expand(f) f1 =4*x3-3*x即有这样结果：3 Matlab符号微积分运算 Matlab符号极限运算命令为limit( )。调用格式limit(F,x,a ); limit(F, a ) ;limit(F) limit(F,x,a ,right) limit(F,x,a ,left)举例：试证明并求>> syms n>> limit(1+n)(1/n),n,0)ans =exp(1)>> syms x a>> limit(sin(x)-sin(a)/(x-a),a)ans =cos(a) Matlab符号函数微分运算Matlab系统提供的函数命令diff( )，其调用格式：dfvn=diff(f,v,n)即函数f按指定的自变量v计算其n阶导数。举例：已知函数，试求。>> syms x a;>> f=1/(1+x2) x*exp(x2);log(sin(x) xx;>> dfdx=collect(factor(diff(f,2)【collect符号表达式同类项合并的函数】dfdx = 2*(3*x2-1)/(1+x2)3, 6*x*exp(x2)+4*x3*exp(x2) -(sin(x)2+cos(x)2)/sin(x)2, xx*(log(x)2+2*log(x)+1)+xx/x例：已知函数，试求与。>> syms x y;>> f=log(x+log(y);>> dfdx=collect(diff(f,x)dfdx =1/(x+log(y)>> dfdx=collect(diff(f,y)dfdx =1/y/(x+log(y) Matlab符号函数积分运算Matlab系统提供的函数命令int( )，不仅可以计算不定积分，定积分，广义积分。int(s,v)计算符号函数或表达式S对指定的符号变量V的不定积分。Int(S,v,a,b) 计算符号函数或表达式S对指定的符号变量V从下限a到上限b的定积分。例：已知导函数，试求原函数。>> syms x;>> dfdx=exp(x) sin(x);cos(x) x(1/2);>> f=int(dfdx)f = exp(x), -cos(x) sin(x), 2/3*x(3/2)例：试计算与>> syms x;>> I=int(x*sin(x)2,x,0,pi)I =1/6*pi3-1/4*pi>> syms a x y;>> f=x2+y2;>> I=int(int(f,x,(y-a),y),y,a,3*a)I =14*a4 符号求和函数与taylor(泰勒)级数展开函数(a) 符号求和函数在Matlab中提供了级数求和的函数命令symsum( )，调用格式为：s=symsum(S,v,a,b)举例：求幂级数的和。>> syms x n;>> f=x(2*n-1)/(2*n-1);>> s=collect(symsum(f,n,1,inf)s =1/2*log(1+x)/(1-x)(b) Taylor级数展开函数若函数在点的某一领域内具有从1(阶)直到阶的导数，则在该领域内，函数在点时，项数趋向无穷级数。格式：taylor(f,x); taylor(f,n); taylor(f,c,n); taylor(f,a)例：试求函数的Taylor级数展开式。>> syms x;>> f=sin(x)/x;>> T=taylor(f,8)T =1-1/6*x2+1/120*x4-1/5040*x64 Matlab符号方程求解 Matlab符号代数方程求解使用Matlab符号方程解算的函数命令来求解方程。调用格式：Solve(eqn1, eqn2, eqn3,、V1, V2, 、VN)例：解方程：>> syms x a b c;>> x=solve('a*x2+b*x+c=0')x = 1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)(1/2) 1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)(1/2) Matlab符号微分方程求解dsolve(equ1, equ2、初始条件部分，指定独立变量部分)例：求满足初始条件的二阶常系数齐次微分方程的特解：，。>> syms x y;>> s=dsolve('D2s+2*Ds+s=0','s(0)=4,Ds(0)=-2','t');>> s=simple(factor(s)s =2*exp(-t)*(2+t)结果验证：>> syms x y;>> s=2*exp(-t)*(2+t);>> L=diff(diff(s,t)+2*diff(s,t)+sL =0R=0，左边=右边，即相等。线性代数问题的MATLAB求解一、矩阵的参数化分析(1) 矩阵的行列式det(A) >> A=sym('a11 a12;a21 a22')A = a11, a12 a21, a22 >> det(A) ans =a11*a22-a12*a21 >> A=sym('a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33')A = a11, a12, a13 a21, a22, a23 a31, a32, a33 >> B=det(A)B =a11*a22*a33-a11*a23*a32-a21*a12*a33+a21*a13*a32+a31*a12*a23-a31*a13*a22 >> a=2 2 3;4 5 3;1 8 9a = 2 2 3 4 5 3 1 8 9>> det(a)ans = 57(2) 矩阵的迹trace(A)-矩阵的迹为该矩阵对角线上各元素之和。 >> A=sym('a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33')A = a11, a12, a13 a21, a22, a23 a31, a32, a33>> trace(A)ans =a11+a22+a33 >> a=2 2 3;4 5 3;1 8 9a = 2 2 3 4 5 3 1 8 9>> > trace(a)ans = 16(3) 矩阵的秩rank(A)表示为该矩阵中行列式不等于0的子式最大阶次，所谓子式，即从原矩阵中任取K行K列所构成的子矩阵。 >> A=sym('a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33')A = a11, a12, a13 a21, a22, a23 a31, a32, a33>> rank(A) ans =3 >> a=2 2 3;4 5 3;1 8 9a = 2 2 3 4 5 3 1 8 9>> rank(a)ans = 3(4) 矩阵的特征多项式、特征方程与特征根（eigenvalues）>> A=sym('a11 a12 ;a21 a22') A = a11, a12 a21, a22 >> c=poly(A) c =x2-a22*x-a11*x+a22*a11-a12*a21例：设矩阵，求其特征值。即：故该方程的特征值是（二重）和>> A=1 2 2;2 1 2;2 2 1A = 1 2 2 2 1 2 2 2 1>> c=poly(A)c = 1 -3 -9 -5>> p=1 -3 -9 -5;>> roots(p)ans = 5.0000 -1.0000 + 0.0000i -1.0000 - 0.0000i(5) 多项式及多项式矩阵的求值C=polyval(a,x)(6) 矩阵的特征值问题>> A=sym('a11 a12 ;a21 a22')A = a11, a12 a21, a22>> eig(A)ans = 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a112-2*a22*a11+a222+4*a12*a21)(1/2) 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a112-2*a22*a11+a222+4*a12*a21)(1/2)计算矩阵的特征值d、特征值（对角矩阵）D与特征向量矩阵V，并用AV=VD进行验算。注：在Matlab中，使用函数命令eig( )计算矩阵的特征值与特征向量。调用格式d=eig(A);V,D=eig(A)。>> A=3 -1;-1 3;>> B=eig(A)B = 4 2>> V,D=eig(A)V =-0.7071 -0.7071 -0.7071 0.7071D = 2 0 0 4>> E=A*VE =-1.4142 -2.8284 -1.4142 2.8284>> F=V*DF = -1.4142 -2.8284 -1.4142 2.8284Matlab的矩阵特征值的结果满足AV=VD，且V矩阵每个特征向量各元素的平方和（即列向量的2范数）均为1.设阶矩阵的特征值为，不难证明：（1）；（2）(7) 矩阵求逆求矩阵的逆矩阵。>> syms a b c d;>> p=a b;c d;>> inv(p)ans = d/(a*d-b*c), -b/(a*d-b*c) -c/(a*d-b*c), a/(a*d-b*c)即矩阵的逆矩阵：>> A=sym('a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33')A = a11, a12, a13 a21, a22, a23 a31, a32, a33>> inv(A)ans = (a22*a33-a23*a32)/P, -(a12*a33-a13*a32)/P, (a12*a23-a13*a22)/P -(a21*a33-a23*a31)/P, (a11*a33-a13*a31)/P, -(a11*a23-a13*a21)/P (a21*a32-a22*a31)/P, -(a11*a32-a12*a31)/P, (a11*a22-a12*a21)/P其中P=(a11*a22*a33-a11*a23*a32-a21*a12*a33+a21*a13*a32+a31*a12*a23-a31*a13*a22)矩阵求逆>> inv(A) ans = 0.3750 0.12500.1250 0.3750二、方程求解问题及Matlab实现线性常微分方程的解析求解dsolve(eqn1, eqn2, 初始条件部分, 指定独立变量部分)，首先用syms命令声明符号变量，以区别与Matlab的常规数值变量。(1) 举例：>> syms t y;>> Y=dsolve('D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=cos(5*t)*exp(-6*t)+7*exp(-8*t)+9');pretty(simple(Y)求解结果：49/101065sin(5 t) exp(-6 t) 103/202130cos(5 t) exp(-6 t) + 3/8 + 1/120 exp(-8 t) + C1 exp(-4 t) + C2 exp(-3 t) + C3 exp(-2 t)+ C4 exp(-t)>> syms t y;>> Y=dsolve('D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=cos(5*t)*exp(-6*t)+7*exp(-8*t)+9','y(0)=5','Dy(0)=0','D2y(0)=0','D3y(0)=0');pretty(simple(Y)求解结果：49/101065sin(5 t) exp(-6 t) - 103/202130cos(5 t) exp(-6 t) + 3/8 + 1/120 exp(-8 t) -1715/348 exp(-4 t) + 6543/340exp(-3 t) -3491/123 exp(-2 t)+ 1121/60 exp(-t)(2) 求2阶常系数齐次微分方程的通解>> syms t X;>> X=dsolve('4*D2X-20*DX+25*X=0','t') X =C1*exp(5/2*t)+C2*exp(5/2*t)*t(3) 求满足初始条件的2阶常系数非齐次微分方程的特解> syms x y;>> y=dsolve('D2y-10*Dy+9*y=exp(2*x)','y(0)=6/7,Dy(0)=33/7','x');>> y=simple(y)求解结果： y =1/2*exp(x)+1/2*exp(9*x)-1/7*exp(2*x)(4) 求一阶线性微分方程的通解>> syms x y;>> y=dsolve('(x-2)*Dy=y+2*(x-2)3','x');>> y=simple(y)求解结果：y =(x2-4*x+C1)*(x-2)五、 Matlab的程序设计1. 利用if-else-end条件语句结构，将一数组作特殊排列。>> aaaaa =1 2 3 4 5 4 3 2 12. 将矩阵a=1 2 3;4 5 6;7 8 9进行满足一定条件的处理。>> bbba = 1 2 3 4 5 -5 7 8 93. 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为：当比例系数与时，其系统的单位阶跃响应为两种完全不同的状态。试用switch开关分支语句绘制系统的单位阶跃响应曲线，并判断响应的性质。六、 Matlab常用图形命令与符号函数图形命令例：绘制饱和非线性特性方程。>> plot(-2,-1.1,1.1,2,-1.1,-1.1,1.1,1.1)>> a=1 2 3 4 5 6 7 8 9;>> y=3 2 1 1 2 3 4 5 6;>> plot(a,y)>> hold on>> plot(y,a)>> t=0:.2:2*pi;y=sin(t);>> subplot(2,2,1),stairs(t,y)>> subplot(2,2,2),stem(t,y)>> subplot(2,2,3),bar(t,y)>> subplot(2,2,4),semilogx(t,y)隐函数画图>> ezplot('x2+y2=4',-2.5 2.5)利用隐函数图形绘制方法，用图解方法直接求解二元方程组。>> ezplot('x2*exp(-x*y2/2)+exp(-x/2)*sin(x*y)')>> hold on>> ezplot('y2*cos(y+x2)+x2*exp(x+y)')三维曲线绘制>> x=t.3.*sin(3*t).*exp(-t);>> y=t.3.*cos(3*t).*exp(-t);>> z=t.2;>> plot3(x,y,z),grid三维曲面绘制数字图像处理中使用的Butterworth低通滤波器的数学模型为，其中，=200为给定的区域半径，=2为阶次。>> x,y=meshgrid(0:31);n=2;D0=200;>> D=sqrt(x-16).2+(y-16).2);>> z=1./(1+D.(2*n)/D0);>> mesh(x,y,z),axis(0,31,0,31,0,1) >> surf(x,y,z)中篇 控制系统Matlab仿真基础七、 Matlab的仿真集成环境Simulink1. Simulink仿真工具简介例1.例2>> plot(t,y)>> grid on例3>> plot(tout,yout)例4带饱和输出特性的PID控制系统的被控对象为，其PID控制器为。以与为前向通道的单位负反馈系统。试对于PID控制器分别采用3种方法：PID控制3个分量叠加、传递函数方框图与PID控制子系统绘制其Simulink仿真模型图，并对其进行仿真。 PID控制3个分量叠加的Simulink模型mx02.mdlPID控制传递函数方框的Simulink模型mx03.mdlPID控制子系统的Simulink模型mx04.mdlPID控制子系统Subsystem的Simulink模型系统的单位给定响应曲线八、 控制系统数学模型的Matlab实现掌握四个Matlab的函数命令：Set( );tf( );zpk( );ss( )1. 三种系统数学模型之间的转换-数学模型表达形式：微分方程模型、传递函数模型、零极点模型、状态空间模型(虽然它们在形式不同，但它们的实质内容是等价的)如果有系统状态空间模型：sys1=ss(a,b,c,d)将其转换为传递函数模型时则有sys2=tf(sys1)。例；设系统的微分方程为，试求其系统的状态方程。解：系统传递函数为；由系统的微分方程，取，,可得系统得状态方程为，>> syms s;>> A=s+7 3.5 2;-4 s 0;0 -1 sA = s+7, 7/2, 2 -4, s, 0 0, -1, s>> inv(A)ans = s2/(s3+7*s2+14*s+8), -1/2*(7*s+4)/(s3+7*s2+14*s+8), -2*s/(s3+7*s2+14*s+8) 4*s/(s3+7*s2+14*s+8), (s+7)*s/(s3+7*s2+14*s+8), -8/(s3+7*s2+14*s+8) 4/(s3+7*s2+14*s+8), (s+7)/(s3+7*s2+14*s+8), (s2+7*s+14)/(s3+7*s2+14*s+8)由得传递函数为>> a=3;>> b=1 7 14 8;>> c=tf(a,b)Transfer function: 3-s3 + 7 s2 + 14 s + 8>> sys=ss(c)a = x1 x2 x3 x1 -7 -3.5 -2 x2 4 0 0 x3 0 1 0b = u1 x1 1 x2 0 x3 0c = x1 x2 x3 y1 0 0 0.75d = u1 y1 0单位阶跃响应例：系统的传递函数为：，试分别写出系统的能控和能观标准型。解：系统的能控标准型为，系统的能控标准型为，例：已知系统状态空间模型：；求其等效的传递函数模型。解：>> A=0.3 0.1 0.05;1 0.1 0;1.5 8.9 0.05;>> B=2;0;4;>> C=1 2 3;>> D=0;>> sys1=ss(A,B,C,D);>> sys=tf(sys1)Transfer function: 14 s2 + 8.1 s + 51.85-s3 - 0.45 s2 - 0.125 s - 0.434如果有系统零极点增益模型：sys3=zpk(z,p,k)；将其转换为传递函数模型时有sys4=tf(sys3)例：已知系统零极点增益模型：，求其等效的传递函数模型。>> z=-1;-2;>> p=0;-3;-4;-5;>> k=8;>> sys1=zpk(sys1);>> sys=tf(sys1)Transfer function: 14 s2 + 8.1 s + 51.85-s3 - 0.45 s2 - 0.125 s - 0.4342. 将LTI对象转换为零极点增益模型如果有系统状态空间模型sys1=ss(a,b,c,d)将其转换为零极点增益模型时则有sys2=zpk(sys1)例：已知系统状态空间模型：；求其零极点增益模型。>> A=0.3 0.1 0.05;1 0.1 0;1.5 8.9 0.05;>> B=2;0;4;>> C=1 2 3;>> D=0;>> sys1=ss(A,B,C,D);>> sys=zpk(sys1) Zero/pole/gain: 14 (s2 + 0.5786s + 3.704)-(s-1.005) (s2 + 0.5545s + 0.432)3. 将LTI对象转换为状态空间模型如果有系统传递函数模型：sys1=tf(num,den)将其转换为状态空间模型则有sys2=ss(sys1)例：求模型的等效状态空间模型。>> z=-1;-2;>> p=0;-3;-4;-5;>> k=8;>> sys1=zpk(sys1);>> sys1=ss(sys1)a = x1 x2 x3 x1 -0.2773 1 0.003326 x2 -0.3552 -0.2773 0.4517 x3 0 0 1.005b = u1 x1 0 x2 0 x3 14.97c = x1 x2 x3 y1 6.761 0 0.9354d = u1 y1 0即状态空间模型 4. 系统数学模型建立于转换举例例：已知二阶离散系统变换传递函数为：，试求采样周期时系统传递函数的DSP形式与零点极点增益模型。注：离散系统脉冲传递函数的表达式还有一种表示为的形式（即DSP形式），转换为DSP形式脉冲传递函数的函数命令为filt( ) ，即sys=filt(num,den) sys=filt(num,den，Ts)用来建立一个采样时间由指定的DSP形式脉冲传递函数。>> num=1.6 -5.8 3.9;>> den=1,-0.7,2.4;>> sys=tf(num,den,0.1)Transfer function:1.6 z2 - 5.8 z + 3.9- z2 - 0.7 z + 2.4Sampling time: 0.1>> sys1=filt(num,den,0.1)Transfer function:1.6 - 5.8 z-1 + 3.9 z-2- 1 - 0.7 z-1 + 2.4 z-2Sampling time: 0.1>> sys2=zpk(sys)Zero/pole/gain:1.6 (z-2.733) (z-0.8918)- (z2 - 0.7z + 2.4)Sampling time: 0.1例：把如下微分方程描述的系统转化为状态方程描述的形式，系统的传递函数为，式中：为单位阶跃函数；九、 控制系统时域分析的Matlab实现1. 控制系统时域分析的几个基本概念例：已知二阶系统的，求系统的超调量。解：在二阶系统中，超调量与阻尼比之间关系为：>> zeta=0.46;>> sigma=2.7182(-pi*zeta/(1-(zeta)2)(1/2)sigma =0.1964举例：2. Laplace变换及反变换Laplace变换是将连续(时间)函数这样的实变函数经过积分变换运算变换为一个复变函数的过程。有函数，为实变量(通常指时间)且，若以下线性积分 （复变量）存在，则称此积分为函数的Laplace变换，简称为拉氏变换或象函数。命令：F=laplace(f); f=ilaplace(F)例：对单个正弦半波求其Laplace变换。>> syms A t s;>> T=sym('T','positive');>> f1=A*sin(2*pi*t/T)*sym('Heaviside(t)');>> f2=A*sin(2*pi*(t-T/2)/T)*sym('Heaviside(t-T/2)');>> F0=laplace(f1+f2)F0 =1/2*A/pi*T/(1/4*s2/pi2*T2+1)+1/2*A*exp(-1/2*s*T)/pi*T/(1/4*s2/pi2*T2+1)>> F=factor(F0)F =2*A*T*pi*(1+exp(-1/2*s*T)/(s2*T2+4*pi2)例：系统在激励的作用下，测得系统响应为：，已知系统的状态为零，试求系统的传递函数。>> syms t s r R c C;>> r=1*sym('Heaviside(t)')+t*sym('Heaviside(t)');>> c=t+0.9-0.9*exp(-10*t);>> R=laplace(r)R =1/s+1/s2>> C=laplace(c)C =1/s2+9/10/s-9/10/(s+10)>> G0=C/RG0 =(1/s2+9/10/s-9/10/(s+10)/(1/s+1/s2)>> G=factor(G0)G =10/(s+10)例：的拉普拉斯变换。>> syms t;>> r=1*sym('Heaviside(t)')；>> R=laplace(r)R =1/s例：求的laplace变换。>> syms s t;>> c=6*diff(sym('c(t)')+10*sym('c(t)')>> C=laplace(c)C =6*s*laplace(c(t),t,s)-6*c(0)+10*laplace(c(t),t,s)例：给定一个时域函数，求其Laplace变换。>> syms a t;>> f=1-(1+a*t)*exp(-a*t)>> F=laplace(f)F =1/s-1/(