导数在函数中的应用单调性极值点与最值点的判别.doc

1说背景：导数及其应用这一章复习内容分为4节和一个专题，第一节导数的概念几何意义及运算；第二节导数在研究函数中的运用；第三节导数的综合应用；第四节定积分。专题是导数的工具性质作用值研究。第一节复习结束，今天进入第二节。2说本课的地位和作用导数是高中数学新增内容，它在解决数学问题中起到工具的作用，其地位十分重要。在近年来年的安徽高考题都必涉及这个知识点。导数主要用来解决与函数相关的一类问题，难度较大，涉及面广，如在研究函数单调性，讨论函数图象的变化趋势、求极值和最值、不等式恒成立等。运用导数解决这类问题能化繁为简，起事半功倍的作用。二、说教学目标1.知识与技能：通过本节课的学习让学生进一步巩固利用导数解决与函数有关问题的意识。并要掌握以下三个方面：第一：导数与函数单调性的关系，会求函数单调区间及参数取值范围。第二：导数与函数的极值、极值与最值的关系，会求函数的极值，最值及参数范围。第三：综合考查，将导数内容和传统内容，函数的单调性、不等式的恒成立相结合，提高学生分析问题解决问题的能力。2.教学方法：多媒体教学与诱导法，作为复习课学生提前准备，在教学过程中与学生进行互动式教学3.情感、态度、价值观：通过本节学习让学生体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美三、说重点与难点及突破方法教学重点：导数在解决函数有关问题的应用教学难点：分类讨论的思想，转化的思想与数形结合的思想的运用在分析例题时，引导学生抓住重点，突破难点，提高分析问题和解决问题的能力，并要形成一定的经验，理解并掌握针对此类题目的常规解题思路。本节课设计了三道例题，重点都放在导数在解决函数有关问题的应用上。转化与数形结合的思想相辅，化难为简。四、说学情：本节内容是高考的热点并且知识点较多，所以学生容易在知识点掌握不全和理解不清的情况下会出现一些错误。由于学生个体的差异，他们对知识的掌握和理解肯定存在差距，毕竟这些知识学生已有一定的基础，在复习和练习中鼓励学生参与，要让学生亲自体验到学习的成就感，增强其学习的主动性，有效提高学习效果。五、说考情：导数是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点。高考对导数的考查定位是解决初等数学问题的工具。高考对这部分内容的考查仍将以导数的应用为主，如利用导数处理函数的极值、最值和单调性问题和曲线的问题等。考查的是函数的基础知识，只不过用导数这个工具来解决。在这类题目中注意分类讨论的思想，转化的思想与数形结合的思想的运用等。六、说教学过程设计（多媒体教学幻灯片内容后附）1.基础知识、自主学习要点梳理基础自测（根据教学目标，我采用互动式教学，学生自主学习。然后通过学生回答，使学生明白导数与函数的单调性、极值之间、极值与最值之间的联系与区别。）2.题型分类、深度剖析例题讲解与变式训练结合（在讲练中注重基础知识和解题步骤规范，体会导数工具性的作用，锻炼提高化归（转化）思想处理数学问题的意识）例1主要是掌握利用导数求函数单调区间的一般步骤以及从导数与函数单调性关系出发，找出不等式恒成立，通过分离变量或数形结合，解决有关的参数的范围。例2则是对极值定义的理解把握，利用导数研究函数的极值问题，应用导数求含参数函数的极值与参数范围，其本质是导数研究函数单调性应用的进一步提升。例3是利用导数求函数的最值问题，要注意区分函数最值与极值的区别。解决这三个重点就要对导数的基础知识透彻理解。例1和例2的难点都是问题的转化上。如例1中将f(x)在区间I上单调递减转化为不等式恒成立；例2中转换为导函数f(x)有两零点，至少有一个在区间（2，3）内，例3把握用导数求定区间上函数最值问题的常规步骤。三个例题对题意的把握，对参数范围讨论及极大极小值的判断是关键，需要学生具备对导数与函数单调性、极学习目标：1会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（多项式函数一般不超过三次）. 2了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值（多项式函数一般不超过三次）.3会求闭区间上函数的最大值、最小值（多项式函数一般不超过三次）.重点：利用导数判断函数的单调性；会求一些函数的极值与最值。难点：函数极值与最值的区别与联系.利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.学习策略：理解导函数的符号与函数单调性之间的必然关系。数形结合，体会函数极值与最值的含义。紧紧抓住导函数为0的点，讨论函数的单调区间、极值和最值。知识要点梳理知识点一：函数的单调性(一) 导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）注意：1因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上，即切线斜率为正时，函数在这个区间上为增函数；当在某区间上，即切线斜率为负时，函数在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减。2若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增函数（减函数的情形完全类似）。即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增.3只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.4注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1. 确定函数的定义域；2. 求导数；3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。4. 写出的单调区间.注意：1求函数单调区间时，要注意单调区间一定是函数定义域的子集。2求单调区间常常通过列表的方法进行求解，使解题思路步骤更加清晰、明确。知识点二：函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.注意：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（二）求函数极值的的基本步骤：确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)注意：可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，但x=0不是函数的极值点.可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。知识点三：函数的最值（一） 函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.注意：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。函数的极值可以有多个，但最值只有一个。（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.注意：求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可。若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.（三）最值理论的应用解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.规律方法指导1利用导数讨论函数的单调区间应注意的问题利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定的x的取值范围为B，则应有.如.在区间(a,b)内，（或）是在区间(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！即在某区间上，在这个区间上为增函数；在这个区间上为减函数，但反之不成立。在某区间上为增函数在该区间；在某区间上为减函数在该区间。2最值与极值的区别与联系函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念。最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值