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从简约中走向丰富几何直观在小学数学教学中的实践与思考胡才千 欧友松 团风县团风小学 438800 摘要 : 随着全日制义务教育数学课程标准（修改稿）提出要注重培养和发展学生的几何直观能力，几何直观已经成为数学教育中的一个关注问题。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿在整个数学学习过程中。本文从几何直观的本质意义出发，探讨如何培养学生的几何直观能力，反思教学中运用几何直观应注意的问题，让小学数学教学从简约中走向丰富。关键词:几何直观；课程标准；本质把握；培养能力；注意问题当前，数学教育界都在关注新版数学课程标准的制订与实施，关注数学课程改革，而几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。正如弗莱登塔尔所说，“几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”培养和发展学生的几何直观能力，要充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容之中、课堂教学细节之中。使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，同时也学会数学的一种思考方式和学习方式。要以保护学生先天的几何直观潜质作为起点，以有效提升学生的几何直观能力作为目标，最终形成敏锐的洞察力和深厚的数学素养。为此，我在小学数学教学实践中，力从几何直观的本质意义出发，就如何培养学生的几何直观能力，进行了有益的尝试，对教学中运用几何直观应注意的问题有了更多的思考。一、几何直观的本质把握 对于何为“直观”，可能有很多说法，但本质基本相同。所谓直观，现代汉语词典2002版解释是：用感官直接接受的；直接观察的。对于数学直观，数学家克莱因指出，“数学的直观就是对概念、证明的直接把握”；而西方哲学家通常认为“直观就是未经充分逻辑推理而对事物本质的一种直接洞察，直接把握对象的全貌和对本质的认识”；心理学家则认为“直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力”。蒋文蔚指出，几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态。徐利治先生提出，直观就是借助于经验、观察、测试或类比联想，所产生的对事物关系直接的感知与认识，而几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。换言之，通过直观能够建立起人对自身体验与外物体验的对应关系。综上，我们认为直观要体现两点：一是透过现象看本质；二是一眼能看出不同事物之间的关联，可见，直观是一种感知，一种有洞察力的定势。几何直观是指借助于见到的或想象出来的几何图形的形象关系，对数学的研究对象，即空间形式和数量关系，进行直接感知、整体把握的能力。既有形象思维的简约，又有抽象思维的丰富。二、教学中培养学生的几何直观能力20世纪最伟大数学家希尔伯特（Hilbert）在名著直观几何一书中谈到，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。这就是几何直观带给我们的好处。我国拓扑学家张素诚曾说过：“对数学中的许多问题来说，灵魂往往来自几何。”几何激发学生这种“灵感”，首先教师自身在教学中只要在有可能的地方，尽量借助几何直观分析讲解，这样既能逐步培养学生在解决问题中具有借助几何直观解决问题的意识，又能为学生创造便于用几何直观去寻找解题方法的条件。小学生的思维水平只处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡，离不开具体事物的支持。标准（修改稿）指出“几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。”为此，对于在小学数学课堂教学中如何培养学生的几何直观能力，我从以下几方面进行了尝试，收到了良好的效果。（一）识图中感知几何直观。几何直观是借助图形对事物的认识，那么对图形的学习与认识以及运用图形的意识和能力就是几何直观的基础了。教学中要关注学生的基本生活经验和生活经历，注重引导学生把生活中对图形的感受与有关知识建立联系。如在教学线段、射线、直线一课时，通过展示科学家用激光器发送到月球的一束激光图片，视觉上给学生直观的认识，引出射线是一条线段将它的一端无限地延长所形成的图形。让学生很容易发现射线的特点，尤其射线是一个理想化的概念，几何直观的感受凸显的更加重要。日常教学中要多采用学生喜爱的“看一看、摆一摆、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、画一画”等具体、实际的活动方式，引导学生通过亲自触摸、观察、测量、制作和实验，把视觉、听觉、触觉、动觉等协同起来，强有力地促进心理活动的内化，从而使学生掌握图形特征，更好地感知几何直观。（二）画图中培养几何直观。几何直观在本质上是一种通过图形所展开的想象能力，通过画图可以将复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。因此，在小学数学教学中激发学生的画图兴趣，促进几何直观能力的发展，是十分重要的。数学兴趣是推动学生不懈追求的一种内在驱动力，而画图兴趣则是几何直观教学的载体。教学中要善于启发和创设情境，激发学生的画图兴趣，培养学生的几何直观能力。如在教学二年级几倍一课时，创设游玩动物园的情景：动物园里有6头小狮子，2头大狮子，小狮子的头数是大狮子的几倍？让学生尝试用自己喜欢的图形画一画，来表示6是2的几倍？然后再汇报展示，如下：通过画图，学生很直观地看出6里面有3个2，也就是说6是2的3倍，这样为抽象的倍的概念建立了具体形象的表象，理解起来轻松很多，以后在学习较复杂的“和倍、差倍”问题时，学生会很容易想到画直观图帮助解决问题。课上通过用自己喜欢的方式画图，激发了孩子画图的兴趣，并抓住教学契机让学生展示自己的作品，说出自己的想法，及时对学生进行表扬鼓励，激发学生作图的热情。在日常教学中，我还采取了一系列的措施，来激发学生的画图兴趣：比如上课时让学生在黑板上画图，然后师生共同评析，看哪个同学画得好，优点在哪里，存在哪些毛病；印发常见的基本直观图给学生，让学生反复观摩，然后再画出来；课外组织学生进行“画直观图比赛”。这些措施激发了学生的学习兴趣，使学生认识到规范作图的重要性，增强了学生的作图能力。在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯。首先，要通过多种途径和方式使学生真正体会画图对理解概念、寻求解决思路带来的益处。其次，要求学生解决问题时能画图的尽量画图，将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把数学的过程变得直观，直观了就容易展开形象思维。再次，要让学生规范画图，能准确直观的表达题意。例如关于求面积的问题，关键要使学生想到画图、正确画图、用图分析和体验画图解决问题的好处。首先向学生呈现例题：一块正方形试验田，如果长和宽都增加5米，面积将比原来增加875平方米。原来试验田的面积是多少平方米？面对比较难理解的数学问题，引导学生想到用画图的方法来解决。接着鼓励学生尝试画示意图，让学生的思维集中于用画图来表达题意，并通过师生交流，进一步完善画出的示意图（如下图所示：注意边长比例，增加的长度用虚线表示，标出数据），使学生感受到画图能清楚地理解题意。5米5米 (875-5×5)÷2÷5 =(875-25) ÷(2×5) ? b =850÷10 =85（米） 85×85=7225（平方米） a c 答：原来试验田面积是7225平方米。然后借助示意图分析数量关系，明确增加面积为a、b、c三部分面积之和，并且a与b面积相等，再列式解答。最后回顾整个解题的过程，突出示意图对解决有关面积问题的重要作用，感受画图策略的价值。画图可以通过图形的直观性质来阐明数之间的联系，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，实现数学问题与图形之间的互相转化，相互渗透，不仅使解题简捷明了，还开拓解题思路，让学生养成画图习惯，不但可以帮助学生发现并理解数学结论，而且有利于掌握数学发现的方法，使数学从简约中走向丰富。（三）数形结合中发展几何直观。华罗庚先生的谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书中，有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首词形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值。其实质是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与直观图像结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美地统一起来，从而顺利、有效地解决问题。小学数学教学中，应特别注重数形结合思想的渗透，从而更好地发展学生的几何直观能力。1、在低年级运算教学中，借助数射线将抽象的“数”直观形象化，有助于理解运算，将运算直观形象化。例如：“加法”就是在数射线上继续向右数；“减法”就是在数射线上先找到“被减数”，然后再向左数；“乘法”就是在数射线上几个几个地向右数；“除法”就是在数射线上先找到“被除数”，然后向左几个几个地数，如果恰好数到“0”，就是除尽，数了几次，商就是几，当不能恰好数到“0”，就产生了余数，数射线是理解“有余数除法”的形象化载体。2、在解决问题教学中，借助线段图将抽象的数量关系直观形象化，有助于理解抽象的数量关系。例如教学四年级第二学期解决问题中“增加几倍、增加到几倍”一课时，探究：小胖带了3个苹果，把小胖的苹果增加到3倍是几个苹果？引导学生借助线段图来分析数量关系，明确增加到3倍就是原数的3倍，再列式解答，最后结合算式和线段图说说解题思路。 列式：3 × 3 = 9（个） 答：把小胖的苹果增加到3倍是9个苹果。3、在分数及其运算的教学中，借助“面积模型”将抽象的思维过程直观形象化，有助于对分数意义的透彻理解，既知其然又知其所以然。如在四年级分数的大小比较一课中，充分利用分数的直观图（图1），将数与形结合起来，引导学生体会比较分子相同的分数的大小时，分母小的分数就大；在分数的加减计算一课中，借助分数直观图（图2）理解同分母分数相加，分母不变，分子相加，从而更直观的理解分数的运算。 图1 图2 利用数形结合的方法，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，使学生表象清晰，记忆深刻，是形象思维与抽象思维协同应用的一种过程，为发展几何直观开辟了条重要的途径。（四）运用模型和多媒体信息技术丰富几何直观。借助于直观形象模型理解抽象的数学概念以及抽象的数量关系是小学生学习数学的重要方法。模型可以让学生直接接触到几何的知识，直观而有效。如在教学“圆柱的认识”时，直接出示薯片包装盒、水杯等实物，给学生造成强烈的视觉冲击，圆柱的基本特征映入眼帘，一览无遗。多媒体辅助教学是运用现代信息技术与教学有机结合的一种教学方式，它可以把抽象的知识通过形、声、情、意形象化，让学生直观感知和理解数学问题，有利于优化学生的认知过程，培养学生的几何直观能力。因此，教学中要深入浅出、化难为易、运用多媒体给学生提供一些具体的、生动的直观材料做支柱。如在“认识直线”教学中，通过多媒体演示，直线是将一条线段的两端无线延长所形成的图形。这样利用多媒体化虚为实、化抽象为具体、化模糊为清晰、化静态为动态的特殊功能为学生的学习提供了直观例证，充分调动了学生多种感官的协同参与，不仅给学生渗透了极限思想，而且丰富了学生的几何直观。总之，几何直观的培养应贯穿整个小学数学教学的全过程，通过对学生几何直观能力的培养，使学生学会数学的一种思考方式和学习方式，以促进学生能力的提升和数学素养的形成，让学生的几何直观能力从简约的图形中走向丰富的 数学思考。三、运用几何直观应注意的问题。几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路和预测结果。苏霍姆林斯基在给教师的建议一书谈谈直观性问题中，写到物体的直观形象本身，也可能把学生的注意力吸引住一个相当长的时间，但是运用直观性的目的绝不是为了整节课地抓住学生的注意不放。在课堂上引进直观手段，倒是为了在教学的某一个阶段上使儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律性上去。因此，在教学中运用几何直观时应该注意一些问题，从而更好的发展学生的几何直观能力。首先，要适时运用几何直观。在教学中常常会遇到一些出乎预料的情况，就是直观教具以其某一个细节束缚住了学生的注意力，不仅没有帮助反而妨碍了学生去思考老师本来想引导他们去思考的抽象真理。几何直观应当使学生把注意力放在最主要、最本质的东西上去。其次，要适度运用几何直观。在运用几何直观时，必须考虑到怎样由具体过渡到抽象，直观手段在教学的哪一个环节上将是不再需要的，那时学生已经不应当把注意力放在直观手段上。几何直观只是在促进思维积极化的一定阶段上才是需要的。第三，要准确运用几何直观。在运用几何直观的实际教学中，许多学生往往由于画图不准确、讨论不全面、理解片面等原因导致出错，或有一定的误差干扰，失去数学问题原有的科学性与严密性。因此教学中应让学生掌握画图技巧，准确运用几何直观解决问题。几何直观可以帮助学生直观地理解数学本质，体验数学创造性工作历程，开发学生的创造激情，形成良好的思维品质。“删繁就简三秋树，领异标新二月花”，要让简约的几何直观真正充满张力，成为师生生命成长的栖息地，要让小学数学教学从几何直观中的简约中，真正走向更为深刻的思维价值的丰富，还需要我们在今后的教学实践中不断地思考和探索。参考文献：1中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准（修改稿）M.北京：北京师范大学出版社，20112秦德生、孔凡哲.关于几何直观的思考J.中学数学教学参考，2005（10） 3蒋文蔚.几何直观思维在科学研究及数学教学研究中的作用J.数学教育学报，1997（4）4徐利治.谈谈我的一些数学治学经验J,数学通报，2000(5)5刘加霞.小学数学课堂的有效教学M.北京：北京师范大学出版社，2008作者简介：胡才千，男，36岁，教导主任，小学数学高级职称，团风县团风小学，邮政编码438800，电话13986510009，电子邮箱hucaiqian欧友松，男，46岁，教导副主任，小学数学高级职称，团风县团风小学，邮政编码438800，电话13995902683