函数单调性与最知.doc

1.3 函数的基本性质以初中所学过的一次函数f（x）=x和二次函数f（x）=x2的图象引出函数的单调性.通过具体实例感受函数单调性与函数奇偶性的意义，培养学生的识图能力与数形语言转换的能力.函数的简单性质包括函数的单调性与函数的奇偶性.为了说明函数f（x）在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上找到两个值x1、x2，当x1x2时，有f（x1）f（x2）或f（x1）f（x2）成立.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它反映的是函数的局部性质，函数在某个区间上单调，并不能说明函数在定义域上也单调.让学生体会函数最大（小）值与单调性之间的关系及其几何意义，引导学生通过函数的单调性研究最大（小）值.通过已学过的函数特别是二次函数，进一步理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义.由实例，通过观察图象，抽象出函数奇偶性的定义.在教学中要注意展现出探索过程，引导学生关注函数图象的对称性与函数奇偶性的关系.只要函数的定义域内有一个x值不满足f（x）=f（x）或f（x）=f（x），这个函数就不是奇（偶）函数；或只要函数图象上有一个点不满足“关于原点（或y轴）的对称点都在函数的图象上，”这个函数就不是奇（偶）函数.1.3.1 单调性与最大（小）值（1）从容说课函数的单调性是函数的一个重要性质，在比较几个数大小、对函数作定性分析（求函数的值域、最值，求函数解析式中参数的范围、绘函数的图象）以及与不等式等其他知识的综合应用上都有广泛的应用；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学.学生对于函数的单调性早已有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味.因此，授课时需加强对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理.由于学生只学过一次函数、正反比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数.从学生的认知结构来看，他们只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性，发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中需加强.在本节课的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程.对单调性概念的深入而正确的理解往往是学生认知过程中的难点，因此在课堂上突出对概念的分析不仅仅是为了分析函数单调性的定义，而且想让学生对如何学会、弄懂一个概念有初步的认识，并且在以后的学习中学有所用；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性又是一个难点，使用函数单调性定义证明是对函数单调性概念的深层理解，给出一定的步骤“作差、变形、定号”是必要的，有利于学生理解概念，也可以对学生掌握证明方法、形成证明思路有所帮助.另外，这也是以后要学习的不等式证明方法中比较法的基本思路，现在提出要求，对今后的教学作一定的铺垫.三维目标一、知识与技能1.使学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性.2.启发学生能够发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力.3.通过观察猜想推理证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识.二、过程与方法1.通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育.2.探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确.三、情感态度与价值观理性描述生活中的增长、递减现象.教学重点领会函数单调性的实质，明确单调性是一个局部概念.教学难点利用函数单调性的定义证明具体函数的单调性.教具准备多媒体课件（PowerPoint）.教学过程一、创设情景，引入新课师：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们分别画函数y=x2和y=x的图象.y=x2的图象如图（1），y=x的图象如图（2）.请同学们观察这两个函数图象，然后指出这两个函数图象有什么特点. （1） （2）生：从函数y=x的图象图（2）看到：图象由左至右是上升的；从函数y=x2的图象图（1）看到：图象在y轴的右侧部分是上升的，在y轴的左侧部分是下降的.师：对.他（她）答得很好，这正是这两个函数的主要区别.函数图象的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质单调性.那么如何描述函数图象的“上升”“下降”呢？生：函数y=x2的图象在y轴的左侧“下降”，也就是说当x在区间（，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小；图象在y轴的右侧“上升”也就是说当x在区间0，+)上取值时，随着x的增大，相应的y值也随着增大.师：回答的很好.对于y=f（x）=x2，如果取x1、x20，+)，得到y1=f（x1），y2=f（x2），那么当x1x2时，有y1y2，这时我们就说函数y=f（x）=x2在0，+）上是增函数.当x在区间（，0）上取值时，随着x的增大，相应的y值反而随着减小，即如果取x1、x2（，0），得到y1=f（x1），y2=f（x2），那么当x1x2时，有y1y2，这时我们就说函数y=f（x）=x2在（，0）上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习研究的.我们曾经根据具体函数（一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数）的图象研究过函数的函数值随自变量的变大而变大或变小的性质，而这些研究结论是直观地由图象得到的，在函数的集合中，有很多函数具有这种性质，因此我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究，这就是我们今天这一节课的内容.（点明本节课的内容，既是曾经有所认识的，又是新的知识，引起学生的注意）板书课题：单调性与最大（小）值（1）二、讲解新课师：请同学们打开课本第33页，大家集体把增函数、减函数、单调区间的定义朗读一遍.（由学生朗读）师：通过刚才阅读增函数和减函数的定义，请同学们思考一个问题：这种定义与我们刚才讨论的函数值y随自变量x的增大而增大或减小是否一致？如果一致，定义中是怎样描述的？生：我认为是一致的.定义中的“当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1x2时，都有f（x1）f（x2）”描述了y随x的增大而减小.师：说得非常正确.定义中用了两个简单的不等关系“x1x2”和“f（x1）f（x2）或f（x1）f（x2）”，它刻画了函数的单调递增或单调递减的性质，数学语言多么精炼简洁，这就是数学的魅力所在！（通过教师的情绪感染学生，激发学生学习数学的兴趣）师：现在请同学们和我一起来看图（3）、图（4），它们分别是函数y=f1（x）和y=f2（x）的图象，体会这种魅力. （3） （4）（指图说明，并板演）师：图（3）中y=f1（x）对于区间a，b上的任意x1、x2，当x1x2时，都有f1（x1）f1（x2），因此y=f1（x）在区间a，b上是单调递增的，区间a，b是函数y=f1（x）的单调增区间；而图（4）中y=f2（x）对于区间a，b上的任意x1、x2，当x1x2时，都有f2（x1）f2（x2），因此y=f2（x）在区间a，b上是单调递减的，区间a，b是函数y=f2（x）的单调减区间.（教师指图说明分析定义，使学生把函数单调性的定义与直观图象结合起来，使新旧知识融为一体，加深对概念的理解.渗透数形结合分析问题的数学思想方法）师：因此我们可以说，增函数就其本质而言是在相应区间上较大的自变量对应（不把话说完，指一名学生接着说完，让学生的思维始终跟着老师）生：较大的函数值的函数.师：那么减函数呢？生：在相应区间上较大的自变量对应较小的函数值的函数.（学生可能回答得不完整，教师应指导他说完整）师：好.我们刚刚对增函数和减函数的定义作了初步的分析，通过阅读和分析你认为在定义中我们应该抓住哪些关键词语，才能更透彻地认识定义？（学生思索）学生在高中阶段以至在以后的学习中经常会遇到一些概念（或定义），能否抓住定义中的关键词语，是能否正确地、深入地理解和掌握概念的重要条件，更是学好数学及其他各学科的重要一环.因此教师应该教会学生如何深入理解一个概念，以培养学生分析问题、认识问题的能力.（教师在学生思索过程中，再一次有感情地朗读定义，并注意在关键词语处适当加重语气.在学生感到无从下手时，给以适当的提示）生：我认为在定义中，有一个词“定义域I内某个区间D”是定义中的关键词语.师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同.例如，反比例函数y=在（，0），（0，+）内都是单调递减的，那我们能否说它在定义域上是减函数？生：不能.增函数和减函数都是对定义域内相应的区间而言的，离开了定义域内相应的区间就根本谈不上函数的增减性.师：回答得很到位.函数的单调性是对定义域内相应的区间而言的，所以要受到区间的限制，在不同的区间上增减性是不一样的.请大家继续思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是递增或递减的？为什么？生：不能.因为此时函数值是一个数.师：对.函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化，所以在求单调区间时，若端点在定义域内，包括不包括端点都可以，但要求用闭区间来表示，“能闭则闭”.那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？生：不能.比如二次函数y=x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数.因而我们不能说y=x2是增函数或是减函数.（在学生回答问题时，教师板演函数y=x2的图象，从“形”上感知）师：好.他（她）举了一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”，这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数.因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间.师：还有没有其他的关键词语？生：还有定义中的“对于某个区间D上的任意两个”和“都有”也是关键词语.师：你答的很对.能解释一下为什么吗？（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示）师：“对于”是什么意思？生：就是说两个自变量x1、x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取.师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？生：可以.师：那么“任意”和“都有”又如何理解？生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）.师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？（让学生思考片刻）生：可以构造一个反例.考察函数y=x2，在区间2，2上，如果取两个特定的值x1=1，x2=1，显然x1x2，而f（x1）=1，f（x2）=1，有f（x1）=f（x2），若由此判定y=x2是2，2上的减函数，那就错了.师：那么如何来说明“都有”呢？生：y=x2在2，2上，当x1=2，x2=1时，有f（x1）f（x2）；当x1=1，x2=2时，有f（x1）f（x2），这时就不能说y=x2在2，2上是增函数或减函数.师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1、x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定函数的增减性.（教师通过一系列的设问，使学生处于积极的思维状态，从抽象到具体，并通过反例的反衬，使学生加深对定义的理解.在概念教学中，反例常常帮助学生更深刻地理解概念，锻炼学生的发散思维能力）师：反过来，如果我们已知f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么，我们就可以通过自变量的大小去判定函数值的大小，也可以由函数值的大小去判定自变量的大小，即一般成立则特殊成立，反之，特殊成立，一般不一定成立.这恰是辩证法中一般和特殊的关系.（用辩证法的原理来解释数学知识，同时用数学知识去理解辩证法的原理，这样的分析，有助于深入地理解和掌握概念，分清概念的内涵和外延，培养学生学习的能力）例题讲解【例1】 图（5）所示的是定义在闭区间5，5上的函数f（x）的图象，根据图象说出f（x）的单调区间，并回答：在每一个单调区间上，f（x）是增函数还是减函数？（5）生：函数y=f（x）在区间5，2，1，3上是减函数，因此5，2，1，3是函数y=f（x）的单调减区间；在区间2，0，；0，1，3，5上是增函数，因此2，0，0，1，3，5是函数y=f（x）的单调增区间.师：回答是正确的.但区间2，0，0，1可以连起来写2，1，一般写单调区间遵循“能连则连”原则.生：老师，我有一个问题，5，2是函数f（x）的单调减区间，那么，是否可认为（5，2）也是f（x）的单调减区间呢？师：问得好，这说明你考虑问题很严谨.容易证明：若f（x）在a，b上单调（增或减），则f（x）在（a，b）上单调（增或减）.反之不然，你能举出反例吗？一般来说，若f（x）在a，b上单调（增或减），且a1，b1a，b，则f（x）在a1，b1上单调（增或减）.反之不然.【例2】 物理学中的玻意耳定理p=（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明之.师：从函数图象上观察函数的单调性固然形象，但在理论上不够严格，尤其是有些函数不易画出图象，因此必须学会根据解析式和定义从数量上分析辨认，这才是我们研究函数单调性的基本途径（指出用定义证明的必要性）.这里由题意，只要证明函数p=在区间（0，+）上是减函数即可.那么，怎样用定义证明呢？请同学们思考后在笔记本上写出证明过程.（教师巡视，并指定一名中等水平的学生在黑板上板演.学生可能会对如何比较p（V1）和p（V2）的大小关系感到无从入手，教师应给以启发）师：对于p（V1）和p（V2）我们如何比较它们的大小呢？我们知道对两个实数a、b，如果ab，那么它们的差ab就大于零；如果a=b，那么它们的差ab就等于零；如果ab，那么它们的差ab就小于零，反之也成立.因此我们可由差的符号来决定两个数的大小关系.生：（板演）设V1、V2是定义域（0，+）上的任意两个实数，且V1V2，则p（V1）p（V2）=k·.由V1、V2（0，+），得V1V20；由V1V2，得V2V10.又k0，于是p（V1）p（V2）0，即p（V1）p（V2）.所以，函数p=，V（0，+）是减函数.也就是说，当体积V减小时，压强将增大.师：他的证明思路是清楚的.一开始设V1、V2是（0，+）内任意两个自变量，并设V1V2（边说边用彩色粉笔在相应的语句下划线，并标注“设”），然后看p（V1）p（V2），这一步是证明的关键，再对式子进行变形，一般方法是分解因式或配成完全平方的形式，这一步可概括为“作差，变形”（同上，划线并标注“作差，变形”）.在这里一定要对变形后的式子说明其符号.应写明“因为V1、V2（0，+），得V1V20，由V1V2，得V2V10.又k0，于是p（V1）p（V2）0，即p（V1）p（V2）.”这一步可概括为“定符号”（在黑板上板演，并注明“定符号”）.最后，作为证明题一定要有结论，我们把它称之为第四步“下结论”（在相应位置标注“下结论”）.这就是我们用定义证明函数增减性的四个步骤，请同学们记住.需要指出的是第二步，如果函数y=p（V）在给定区间上恒大于零，也可以通过证明当0V1V2时，大于或小于1来比较p（V1）与p（V2）的大小.（对学生的做法进行分析，把证明过程步骤化，可以形成思维的定势.在学生刚刚接触一个新的知识时，思维定势对理解知识本身是有益的，同时对学生养成一定的思维习惯，形成一定的解题思路也是有帮助的）【例3】 能说反比例函数f（x）=（k0）在整个定义域内是单调函数吗？并用定义证明你的结论.师：反比例函数f（x）=（k0）定义域是什么?生：f（x）=（k0）的定义域是（，0）（0，+）.师：你的结论是什么呢？生甲：我认为f（x）=（k0）在（，0）以及（0，+）上都是减函数，因此我觉得它在定义域（，0）（0，+）上是减函数.生乙：我有不同的意见，我认为这个函数不是整个定义域内的减函数，因为它不符合减函数的定义.比如取x1（，0），取x2（0，+），x1x2显然成立，而f（x1）0，f（x2）0，显然有f（x1）f（x2），而不是f（x1）f（x2），因此它不是定义域内的减函数.师：那能否说明f（x）=（k0）是定义域内的增函数呢?生：也不能这样认为，因为由图象可知，它分别在（，0）和（0，+）上都是减函数.师：经过刚才的讨论，我们知道f（x）=（k0）既不是定义域内的增函数，也不是定义域内的减函数，它在（，0）和（0，+）的每一个单调区间内都是减函数.因此在函数的几个单调增（减）区间之间不要用符号“”连接.另外，x=0不是定义域中的元素，此时不要写成闭区间.师：下面请左边三行同学证明函数f（x）=（k0）在（，0）上是减函数，右边三行同学证明f（x）=（k0）在（0，+）上是减函数.（教师巡视.对学生证明中出现的问题给予点拨.可依据学生的问题，给出下面的提示：（1）分式问题化简方法一般是通分；（2）要说明三个代数式的符号：k，x1·x2，x2x1.要注意在不等式两边同乘以一个负数的时候，不等号方向要改变.对学生的解答进行简单的分析小结，点出学生在证明过程中所出现的问题，引起全体学生的重视）课后请同学们思考若k0，指出函数f（x）=的单调区间.【例4】 讨论函数f（x）=x22ax+3在（2，2）内的单调性.解：f（x）=x22ax+3=（xa）2+3a2，对称轴x=a，若a2，则f（x）=x22ax+3在（2，2）内是增函数；若2a2，则f（x）=x22ax+3在（2，a）内是减函数，在a，2）内是增函数；若a2，则f（x）=x22ax+3在（2，2）内是减函数.三、课堂练习教科书P38练习1，2，3.答案：1.在一定范围内，生产效率随着工人数的增加而提高，当工人数达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率又随着工人数的增加而降低.由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高.2.增区间为8，12，13，18；减区间为12，13，18，20.3.任取x1、x2R，且x1x2，因为f（x1）f（x2）=2（x2x1）0，所以f（x1）f（x2）.所以f（x）=2x+1在R上是减函数.四、课堂小结师：请同学小结一下这节课的主要内容，有哪些是应该特别注意的？（请一个思路清晰、善于表达的学生口述，教师可从中给予提示）生：这节课我们学习了函数单调性的定义，要特别注意定义中“定义域内某个区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词语；在写单调区间时不要轻易用并集的符号连接；最后在用定义证明函数的单调性时，应该注意证明的四个步骤：（1）设x1、x2是给定区间内的任意两个值，且x1x2；（2）作差f（x1）f（x2），并将此差式变形（要注意变形的程度）；（3）判断f（x1）f（x2）的正负（要注意说理的充分性）；（4）根据f（x1）f（x2）的符号确定其增减性.五、布置作业课本P45习题第1，2，3，4，5题.补充：讨论函数f（x）=的单调性.板书设计1.3.1 单调性与最大（小）值（1）增函数：减函数：单调区间：注意点：例1例2例3例4