[工学]第五章 控制系统频域分析.doc

第五章 控制系统频域分析 时域分析法具有直观、准确的优点。如果描述系统的微分方程是一阶或二阶的，求解后可利用时域指标直接评估系统的性能。然而实际系统往往都是高阶的，要建立和求解高阶系统的微分方程比较困难。而且按照给定时域指标设计高阶系统也不是容易实现的事。本章介绍的频域分析法，可以弥补时域分析法的不足。频域法是基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图解方法，故又称为频率响应法。频率法的优点较多。首先，只要求出系统的开环频率特性，就可以判断闭环系统是否稳定。其次，由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系，而系统的频率特性又很容易和它的结构、参数联系起来。因而可以根据频率特性曲线的形状去选择系统的结构和参数，使之满足时域指标的要求。此外，频率特性不但可由微分方程或传递函数求得，而且还可以用实验方法求得。这对于某些难以用机理分析方法建立微分方程或传递函数的元件(或系统)来说，具有重要的意义。因此，频率法得到了广泛的应用，它也是经典控制理论中的重点内容。5.1 频率特性的基本概念 5.1.1 频率特性的定义 为了说明什么是频率特性，先看一个RC电路，如图5-1所示。设电路的输入、输出电压分别为和，电路的传递函数为： 式中，为电路的时间常数。若给电路输入一个振幅为、频率为的正弦信号，即： (5-1)当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为对上式取拉氏反变换，得出输出时域解为：上式右端第一项是瞬态分量，第二项是稳态分量。当时，第一项趋于0，电路稳态输出为 （5-2）式中，为输出电压的振幅；为与之间的相位差。式(5-2)表明：R-C电路在正弦信号作用下，过渡过程结束后，输出的稳态响应仍是一个与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值变为输入正弦信号幅值 的倍，相位则滞后了。 上述结论具有普遍意义。事实上，一般线性系统(或元件)输人正弦信号的情况下，系统的稳态输出（即频率响应） 也一定是同频率的正弦信号，只是幅值和相角不一 样。 如果对输出、输入正弦信号的幅值比和相角差作进一步的研究，则不难发现，在系统结构参数给定的情况下，A和仅仅是的函数，它们反映出线性系统在不同频率下的特性，分别称为幅频特性和相频特性，分别以和表示。由于输入、输出信号(稳态时)均为正弦函数，故可用电路理论的符号法将其表示为复数形式，即输入为；输出为。则输出与输入的复数之比为这正是系统(或元件)的幅频特性和相频特性。通常将幅频特性和相频特性统称为系统(或元件)的频率特性。综上所述，可对频率特性定义如下：线性定常系统(或元件)的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入正弦信号的复数比。用表示，则有 （5-3）频率特性描述了在不同频率下系统(或元件)传递正弦信号的能力。除了用式(5-3)的指数型或幅角型形式描述以外，频率特性还可用实部和虚部形式来描述，即： （5-4）式中，和分别称为系统(或元件)的实频特性和虚频特性。由图5-2的几何关系知，幅频、相频特性与实频、虚频特性之间的关系为： （5-5） （5-6）图5-2 在复平面上的表示 （5-7） （5-8）5.1.2 频率特性和传递函数的关系 设系统的输入信号、输出信号分别为和，其拉氏变换分别为和，系统的传递函数可以表示为： （5-9）式中，表示的分子多项式，为系统传递函数的极点。为方便讨论并且不失一般性，设所有极点都是互不相同的实数。在正弦信号作用下，由式（5-9）可得输出信号的拉氏变换为： （5-10）式中，均为待定系数。对式(5-10)求拉氏反变换，可得输出为 （5-11）假设系统稳定，当时，式(5-10)右端除了最后两项外，其余各项都将衰减至0。所以的稳态分量为： （5-12）其中，系数和可如下计算 （5-13） （5-14）是复数，可写为： （5-15）与共轭，故有： （5-16）将式(5-15)、(5-16)分别代回式(5-13)、(5-14)，得：再将代人式(5-12)，则有 （5-17）根据频率特性的定义，由式(5-17)可直接写出线性系统的幅频特性和相频特性，即 （5-18） （5-19）从式(5-18)、(5-19)可以看出频率特性和传递函数的关系为 （5-20）即传递函数的复变量用代替后，就相应变为频率特性。频率特性和前几章介绍过的微分方程、传递函数一样，都能表征系统的运动规律。所以，频率特性也是描述线性控制系统的数学模型形式之一。5.1.3 频率特性的图形表示方法用频率法分析、设计控制系统时，常常不是从频率特性的函数表达式出发，而是将频率特性绘制成一些曲线，借助于这些曲线对系统进行图解分析。因此必须熟悉频率特性的各种图形表示方法和图解运算过程。这里以图5-1所示的RC电路为例，介绍控制工程中常见的四种频率特性图示法（见表5-1），其中第2、3种图示方法在实际中应用最为广泛。表5-1 常用频率特性曲线及其坐标序号名 称图形常用名坐 标 系1幅频特性曲线相频特性曲线频率特性图直角坐标2幅相频率特性曲线极坐标图、奈奎斯特图极坐标3对数幅频特性曲线对数相频特性曲线对数坐标图、伯德图半对数坐标4对数幅相频率特性曲线对数幅相图、尼柯尔斯图对数幅相坐标（1）频率特性曲线频率特性曲线包括幅频特性曲线和相频特性曲线。幅频特性是频率特性幅值随的变化规律；相频特性描述频率特性相角随的变化规律。图5-1电路的频率特性如图5-3所示。（2）幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又称奈奎斯特(Nyquist)曲线，在复平面上以极坐标的形式表示。设系统的频率特性为：对于某个特定频率下的，可以在复平面用一个向量表示，向量的长度为，相角为。当变化时，向量的端点在复平面上描绘出来的轨迹就是幅相频率特性曲线。通常把作为参变量标在曲线相应点的旁边，并用箭头表示增大时特性曲线的走向。图5-4中的实线就是图5-1所示电路的幅相频率特性曲线。 （3）对数频率特性曲线 对数频率特性曲线又叫伯德(Bode)曲线。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成，是频率法中应用最广泛的一组图线。伯德图是在半对数坐标纸上绘制出来的。横坐标采用对数刻度，纵坐标采用线性的均匀刻度。伯德图中，对数幅频特性是的对数值和频率的关系曲线；对数相频特性则是的相角和频率的关系曲线。在绘制伯德图时，为了作图和读数方便，常将两种曲线画在半对数坐标纸上，采用同一横坐标作为频率轴，横坐标虽采用对数分度，但以的实际值标定，单位为(弧度秒)。画对数频率特性曲线时，必须掌握对数刻度的概念。尽管在坐标轴上标明的数值是实际的值，但坐标上的距离却是按值的常用对数来刻度的。坐标轴上任何两点和 (设)之间的距离为，而不是。横坐标上若两对频率间距离相同，则其比值相等。频率每变化10倍称为一个十倍频程，记作dec。每个dec沿横坐标走过的间隔为一个单位长度，如图5-5所示。由于横坐标按的对数分度，故对而言是不均匀的，但对来说却是均匀的线性刻度。对数幅频特性将取常用对数，并乘上20倍，使其变成对数幅值作为纵坐标值。称为对数幅值，单位是dB(分贝)。幅值每增大10倍，对数幅值就增加20dB。由于纵坐标已作过对数转换，故纵坐标按分贝值是线性刻度的。对数相频特性的纵坐标为相角，单位是度，采用线性刻度。 图5-5 对数分度图5-1所示电路的对数频率特性如图5-6所示。绘制方法将在下一节介绍。图5-6 的对数频率特性采用对数坐标图的优点较多，主要表现在： 由于横坐标采用对数刻度，将低频段相对展宽了(低频段频率特性的形状对于控制系统性能的研究具有较重要的意义)，而将高频段相对压缩了。可以在较宽的频段范围中研究系统的频率特性。 由于对数可将乘除运算变成加减运算。当绘制由多个环节串联而成的系统的对数坐标图时，只要将各环节对数坐标图的纵坐标相加、减即可，从而简化了画图的过程。 在对数坐标图上，所有典型环节的对数幅频特性乃至系统的对数幅频特性均可用分段直线近似表示。这种近似具有相当的精确度。若对分段直线进行修正，即可得到精确的特性曲线。 若将实验所得的频率特性数据整理并用分段直线画出对数频率特性，很容易写出实验对象的频率特性表达式或传递函数。（4）对数幅相特性曲线对数幅相特性曲线又称尼柯尔斯(Nichols)曲线。绘有这一特性曲线的图形称为对数幅相图或尼柯尔斯图。对数幅相特性是由对数幅频特性和对数相频特性合并而成的曲线。对数幅相坐标的横轴为相角，纵轴为对数幅频值，单位是dB。横坐标和纵坐标均是线性刻度。图5-1所示电路的对数幅相特性如图5-7所示。采用对数幅相特性可以利用尼柯尔斯图线方便地求得系统的闭环频率特性及其有关的特性参数，用以评估系统的性能。>> 图5-7 Matlab程序 g=tf(1,1 1); nichols(g);5.2 幅相频率特性（Nyquist图）开环系统的幅相特性曲线是系统频域分析的依据，掌握典型环节的幅相特性是绘制开环系统幅相特性曲线的基础。在典型环节或开环系统的传递函数中，令，即得到相应的频率特性。令由小到大取值，计算相应的幅值和相角，在平面描点画图，就可以得到典型环节或开环系统的幅相特性曲线。 5.2.1 典型环节的幅相特性曲线1.比例环节 比例环节的传递函数为: （5-22）其频率特性为: （5-23）比例环节的幅相特性是平面实轴上的一个点，如图5-8所示。表明比例环节稳态正弦响应的振幅是输入信号的倍，且响应与输入同相位。2. 微分环节 微分环节的传递函数为: （5-24） 其频率特性为 （5-25）微分环节的幅值与成正比，相角恒为。当时，幅相特性从平面的原点起始，一直沿虚轴趋于处，如图5-9曲线所示。3. 积分环节积分环节的传递函数为 （5-26） 其频率特性为 （5-27）积分环节的幅值与成反比，相角恒为-。当时，幅相特性从虚轴处出发，沿负虚轴逐渐趋于坐标原点，如图5-9曲线所示。4. 惯性环节惯性环节的传递函数为 （5-28）其频率特性为: （5-29）当时，幅值，相角；当时，。可以证明，惯性环节幅相特性曲线是一个以(12，j0)为圆心、12为半径的半圆。如图5-10所示。证明如下：设 其中 （5-30） （5-31）由式（5-31）可得: （5-32）将式（5-32）代入式（5-30）整理后可得: （5-33）>>图5-10 Matlab程序 g=tf(1,1 1);nyquist(g);axis('square');grid; 式(5-33)表明：惯性环节的幅相频率特性符合圆的方程，圆心在实轴上12处，半径为1/2。从式(5-31)还可看出，为正值时，只能取负值，这意味着曲线限于实轴的下方，只是半个圆。例5-1 已知某环节的幅相特性曲线如图5-11所示，当输入频率的正弦信号时，该环节稳态响应的相位迟后，试确定环节的传递函数。解 根据幅相特性曲线的形状，可以断定该环节传递函数形式为依题意有 因此得 ， 图5-11 环节幅相特性曲线所以 惯性环节是一种低通滤波器，低频信号容易通过，而高频信号通过后幅值衰减较大。对于不稳定的惯性环节，其传递函数为其频率特性为 （5-34）当时，幅值，相角；当时，。 >> 图5-12 程序g=tf(1,1 -1);nyquist(g);axis('square');grid;分析平面复向量（由 指向 ）随增加时其幅值和相角的变化规律，可以确定幅相特性曲线的变化趋势。如图5-12 (a)、()所示。可见，与稳定惯性环节的幅相特性相比，不稳定惯性环节的幅值不变，但相角不同。5. 一阶复合微分环节一阶复合微分环节的传递函数为 （5-35）其频率特性为 （5-36）一阶复合微分环节幅相特性的实部为常数1，虚部与成正比，如图5-13曲线所示。不稳定一阶复合微分环节的传递函数为 （5-37）其频率特性为（5-38）幅相特性的实部为-1，虚部与成正比，如图5-13曲线所示。不稳定环节的频率特性都是非最小相角的。6. 二阶振荡环节二阶振荡环节的传递函数为 （5-39）式中，为环节的无阻尼自然频率；为阻尼比，。相应的频率特性为: （5-40） （5-41）当时 当时 当时 分析二阶振荡环节极点分布以及当变化时，向量、的模和相角的变化规律，可以绘出的幅相曲线。二阶振荡环节幅相特性的形状与值有关，当值分别取0.4、0.6和0.8时，幅相曲线如图5-14所示。 >>图5-14 Matlab程序ks=0.4 0.6 0.8;om=10;for i=1:3 num=om*om; den=1 2*ks(i)*om om*om; nyquist(num,den); axis('square');hold on;end（1）谐振频率和谐振峰值 由图5-14可看出，值较小时，随变化，的幅值先增加然后再逐渐衰减直至。达到极大值时对应的幅值称为谐振峰值，记为，对应的频率称为谐振频率，记为。以下推导、的计算公式，因为 （5-42）求的极大值相当于求的极小值，令:推导可得: () （5-43）将式（5-43）代入（5-42）可得 （5-44）与的关系如图5-15所示。>> 图5-15 Matalb程序 ks=0.04:0.01:0.707; for i=1:length(ks) Mr(i)=1/(2*ks(i)*sqrt(1-ks(i)*ks(i);endplot(ks,Mr,'b-');grid;xlabel('阻尼比'),ylabel('Mr');当时，对应的振荡环节存在和；当减小时，增加，趋向于值，则越来越大，趋向于；当时，这对应无阻尼系统的共振现象。 (2) 不稳定二阶振荡环节的幅相特性不稳定二阶振荡环节的传递函数为其频率特性为不稳定二阶振荡环节的相角从连续变化到。不稳定振荡环节的极点分布与幅相曲线如图5-16所示。（3）由幅相曲线确定例5-2 由实验得到某环节的幅相特性曲线如图5-17所示，试确定环节的传递函数，并确定其、。解 根据幅相特性曲线的形状可以确定的形式 其频率特性为: （5-45） （5-46）将图中条件代入式（5-45）得 将代入式（5-46）得 代入式（5-45）有 由式（5-43） 由式（5-44） 7. 二阶复合微分环节二阶复合微分环节的传递函数为频率特性为: 二阶复合微分环节的零点分布以及幅相特性曲线如图5-18所示。不稳定二阶复合微分环节的频率特性为: 零点分布及幅相特性曲线如图5-19所示。8. 延迟环节延迟环节的传递函数为频率特性为: 其幅相特性曲线是圆心在原点的单位圆（如图5-20所示），值越大，其相角迟后量越大。5.2.2 开环系统的幅相特性曲线如果已知开环频率特性，可令由小到大取值，算出和相应值，在平面描点绘图可以得到准确的开环系统幅相特性。实际系统分析过程中，往往只需要知道幅相特性的大致图形即可，并不需要绘出准确曲线。可以将开环系统在平面的零极点分布图画出来，令沿虚轴变化，当时，分析各零极点指向的复向量的变化趋势，就可以概略画出开环系统的幅相特性曲线。概略绘制的开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：(1) 开环幅相曲线的起点（）和终点（）。(2) 开环幅相曲线与实轴的交点设时，的虚部为: （5-47）或 （5-48）称为相角交界频率，开环频率特性曲线与实轴交点的坐标值为 （5-49）(3) 开环幅相曲线的变化范围（象限、单调性）。例5-3 单位反馈系统的开环传递函数为分别概略绘出当系统型别时的开环幅相特性。解 讨论时的情形。在平面中画出的零极点分布图，如图5-21（）所示。系统开环频率特性为: 在s平面原点存在开环极点的情况下，为避免时相角不确定，我们取作为起点进行讨论。(到距离无限小，如图5-21所示。) 当由逐渐增加时，三个矢量的幅值连续增加；除外，均由连续增加，分别趋向于。当时:由此可以概略绘出的幅相曲线如图5-21（）中曲线所示。同理，讨论时的情况，可以列出表5-2，相应概略绘出幅相曲线分别如图5-21（）中所示。 （） 时的零极点图 （） 对应不同型别幅频曲线图5-21表5-2 例5-3结果列表零极点分布当系统在右半s平面不存在零、极点时，系统开环传递函数一般可写为开环幅相曲线的起点完全由，确定，而终点则由来确定。而过程中的变化趋势，可以根据各开环零点、极点指向的矢量之模、相角的变化规律概略绘出。例5-4 已知单位反馈系统的开环传递函数为试概略绘出系统开环幅相曲线。解 系统型别，零点极点分布图如图5-22(a)所示。显然（1）起点 （2）终点 （3）与坐标轴的交点: （） （）图5-22 极点零点分布图与幅相特性曲线令虚部为，可解出当（即）时，幅相曲线与实轴有一交点，交点坐标为: 。概略幅相曲线如图5-22（）所示。>> 例5-4 Matlab程序num=2 1;den=conv(1 0 0,conv(0.5 1,1 1);nyquist(num,den,0.15 10000); 5.3 对数频率特性（Bode图）5.3.1 典型环节的Bode图1比例环节比例环节频率特性为显然，它与频率无关，其对数幅频特性和对数相频特性分别为：其Bode图如图5-23所示。2 微分环节微分环节的对数幅频特性与对数相频特性分别为对数幅频曲线在处通过线，斜率为；对数相频特性为直线。特性曲线如图5-24所示。3. 积分环节 积分环节的对数幅频特性与对数相频特性分别为积分环节对数幅频曲线在处通过线，斜率为；对数相频特性为直线。特性曲线如图5-24所示。积分环节与微分环节成倒数关系，所以其Bode图关于频率轴对称。4. 惯性环节 惯性环节的对数幅频与对数相频特性表达式为: （5-47） （5-47）式中：。 当时，略去式（5-47）根号中的项，则有，表明的低频渐近线是水平线。当时，略去式（5-47）根号中的1项，则有，表明高频部分的渐近线是斜率为的直线，两条渐近线的交点频率称为转折频率。>> 图5-26 Matlab程序ww1=0.1:0.01:10;for i=1:length(ww1) Lw=(-20)*log10(sqrt(1+ww1(i)2); if ww1(i)<=1 Lw1=0; else Lw1=(-20)*log10(ww1(i); end m(i)=Lw-Lw1;endab=semilogx(ww1,m,'b-');set(ab,'LineWidth',2);grid;xlabel('w/w1'),ylabel('误差/dB');图5-25中曲线绘出惯性环节对数幅频特性的渐近线与精确曲线，以及对数相频曲线。由图可见，最大幅值误差发生在处，其值近似等于，可用图5-26所示的误差曲线来进行修正。惯性环节的对数相频特性从变化到-，并且关于点对称。这一点读者可以自己证明。图5-26 惯性环节对数相频特性误差修正曲线5. 一阶复合微分环节 一阶复合微分环节的对数幅频与对数相频特性表达式为一阶复合微分环节的Bode图如图5-25中曲线所示，它与惯性环节的Bode图关于频率轴对称。6. 二阶振荡环节 振荡环节的频率特性: 式中 ，。对数幅频特性: （5-48）对数相频特性: （5-48）当时，略去式（5-48）中的和项，则有表明的低频段渐近线是一条的水平线。 当时，略去式(5-48a)中的1和项，则有: 表明的高频段渐近线是一条斜率为的直线。显然，当，即是两条渐近线的相交点，所以，振荡环节的自然频率就是其转折频率。振荡环节的对数幅频特性不仅与有关，而且与阻尼比有关，因此在转折频率附近一般不能简单地用渐近线近似代替，否则可能引起较大的误差，图5-27给出当取不同值时对数幅频特性的准确曲线和渐近线，由图可见，在时，曲线出现谐振峰值，值越小，谐振峰值越大，它与渐近线之间的误差越大。必要时，可以用图5-28所示的误差修正曲线进行修正。由式（5-28）可知，相角也是和的函数，当时，；当时，；当时，不管值的大小，总是等于，而且相频特性曲线关于点对称，如图5-27所示。>> 图5-27 Matlab程序ks=0.1 0.2 0.3 0.5 0.7 1.0;om=10;for i=1:length(ks) num=om*om; den=1 2*ks(i)*om om*om; bode(num,den);hold on; 图5-27 振荡环节的Bode图endgrid;图5-28 振荡环节的误差修正曲线>> 图5-28 Matlab程序ks=0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0;wwn=0.1:0.01:10;for i=1:length(ks) for k=1:length(wwn) Lw=-20*log10(sqrt(1-wwn(k)2)2+(2*ks(i)*wwn(k)2); if wwn(k)<=1 Lw1=0; else Lw1=-40*log10(wwn(k); end m(k)=Lw-Lw1; end ab=semilogx(wwn,m,'b-');set(ab,'linewidth',1.5);hold on;endgrid;7. 二阶复合微分环节 二阶复合微分环节的频率特性， 式中， ，对数幅频特性： 对数相频特性： 二阶复合微分环节与振荡环节成倒数关系，其Bode图与振荡环节Bode图关于频率轴对称。8. 延迟环节 延迟环节的频率特性式中 因此 （5-49） （5-49）上式表明，延迟环节的对数幅频特性与线重合，对数相频特性值与成正比，当时，相角迟后量也。延迟环节的Bode图如图5-29所示。5.3.2 开环系统的Bode图设开环系统由个环节串联组成，系统频率特性为式中 取对数后，有: （5-50） （5-50）表示各典型环节的幅频特性，和分别表示各典型环节的对数幅频特性和相频特性。式（5-20）表明，只要能作出所包含的各典型环节的对数幅频和对数相频曲线，将它们分别进行代数相加，就可以求得开环系统的Bode图。实际上，在熟悉了对数幅频特性的性质后，可以采用更为简捷的办法直接画出开环系统的Bode图，具体步骤如下：（1）将开环传递函数写成尾1标准形式，确定系统开环增益，把各典型环节的转折频率由小到大依次标在频率轴上。（2）绘制开环对数幅频特性的渐近线。由于系统低频段渐近线的频率特性为，因此，低频段渐近线为过点（）、斜率为的直线（为积分环节数）。（3）随后沿频率增大的方向每遇到一个转折频率就改变一次斜率，其规律是遇到惯性环节的转折频率，则斜率变化量为；遇到一阶微分环节的转折频率，斜率变化量为；遇到振荡环节的转折频率，斜率变化量为等。渐近线最后一段（高频段）的斜率为；其中、分别为分母、分子的阶数。（4）如果需要，可按照各典型环节的误差曲线对相应段的渐近线进行修正，以得到精确的对数幅频特性曲线。（5）绘制相频特性曲线。分别绘出各典型环节的相频特性曲线，再沿频率增大的方向逐点叠加，最后将相加点连接成曲线。图5-30 例5-5图下面通过实例说明开环系统Bode图的绘制过程。例5-5 已知开环传递函数试绘制开环系统的Bode图。解 首先将化为尾1标准形式此系统由比例环节、积分环节、惯性环节、一阶微分环节和振荡环节共个环节组成。确定转折频率：惯性环节转折频率: ；一阶复合微分环节转折频率 ；振荡环节转折频率 。开环增益，系统型别，低频起始段由决定。绘制Bode图的步骤如下（如图5-30所示）。1) 过点作一条斜率为的直线，此即为低频段的渐近线。2) 在处，将渐近线斜率由变为，这是惯性环节作用的结果。3) 在处，由于一阶微分环节的作用使渐近线斜率又增加，即由原来的变为。4) 在处，由于振荡环节的作用，渐近线频率改变形成了的线段。5) 若有必要，可利用误差曲线修正。6) 对数相频特性，比例环节相角恒为零，积分环节相角恒为，惯性环节、一阶微分和振荡环节的对数相频曲线，分别如图5-29中、所示。开环系统的对数相频曲线由叠加得到，如曲线所示。 5.3.3 最小相角系统和非最小相角系统当系统开环传递函数中没有在右半s平面的极点或零点，且不包含延时环节时，称该系统为最小相角系统，否则称为非最小相角系统。在系统的频率特性中，非最小相角系统相角变化量的绝对值大于最小相角系统相角变化量的绝对值。在系统分析中应当注意区分和正确处理非最小相角系统。例5-6 已知某系统的开环对数频率特性如图5-31所示，试确定其开环传递函数。解 根据对数幅频特性曲线，可以写出开环传递函数的表达形式 根据对数频率特性的坐标特点有 ，可以确定开环增益 。根据相频特性的变化趋势（），可以判定该系统为非最小相角系统。中一阶复合微分环节和惯性环节至少有一个是“非最小相角”的。将系统可能的开环零点极点分布画出来，列在表5-3中。表5-3 例5-6用表序零极点分布12 34 分析相角的变化趋势，可见，只有当惯性环节极点在右半s平面，一阶复合微分环节零点在左半s平面时，相角才符合从到的变化规律。因此可以确定系统的开环传递函数为: 对于最小相角系统，对数幅频特性与对数相频特性之间存在惟一确定的对应关系，根据对数幅频特性就完全可以确定相应的对数相频特性和传递函数，反之亦然。由于对数幅频特性容易绘制，所以在分析最小相角系统时，通常只画其对数幅频特性，对数相频特性则只需概略画出，或者不画。5.4 频域稳定判据5.4.1 奈奎斯特稳定判据闭环控制系统稳定的充要条件是：闭环特征方程的根均具有负的实部，或者说，全部闭环极点都位于左半平面。第3章中介绍的利用闭环特征方程的系数判断系统稳定性的劳斯稳定判据，其特点是利用闭环信息来判断闭环系统的稳定性。这里要介绍的频域稳定判据则是利用系统的开环信息开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。频域稳定判据是奈奎斯特于1932年提出的，它是频率分析法的重要内容。利用奈奎斯特稳定判据，不但可以判断系统是否稳定（绝对稳定性），也可以确定系统的稳定程度（相对稳定性），还可以用于分析系统的动态性能以及指出改善系统性能指标的途径。因此，奈奎斯特稳定判据是一种重要而实用的稳定性判据，工程上应用十分广泛。1 辅助函数对于图5-32所示的控制系统结构图，其开环传递函数为 （5-51）相应的闭环传递函数为 （5-52）式中，为开环传递函数的分子多项式，阶；为开环传递函数的分母多项式，阶，。由式(5-51)、(5-52)可见，和分别为闭环和开环特征多项式。现以两者之比定义为辅助函数 （5-53）实际系统传递函数分母阶数总是大于或等于分子阶数，因此辅助函数的分子分母同阶，即其零点数与极点数相等。设，和，分别为其零、极点，则辅助函数可表示为 （5-54）综上所述可知，辅助函数具有以下特点： （1）辅助函数是闭环特征多项式与开环特征多项式之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。（2）的零点、极点的个数相同，均为个。（3）与开环传递函数之间只差常量1。的几何意义为：平面上的坐标原点就是平面上的（）点，如图5-33所示。 2 幅角定理辅助函数是复变量的单值有理复变函数。由复变函数理论可知，如果函数在平面上指定域内是非奇异的，那么对于此区域内的任一点，都可通过的映射关系在平面上找到一个相应的点 (称为的像)；对于平面上的任意一条不通过任何奇异点的封闭曲线，也可通过映射关系在平面(以下称平面)找到一条与它相对应的封闭曲线 (称为的像)，如图5-34所示。图5-34 平面与平面的映射关系设平面上不通过任何奇异点的某条封闭曲线，它包围了在平面上的个零点和个极点。当以顺时针方向沿封闭曲线移动一周时，则在平面上相对应于封闭曲线的像将以顺时针的方向围绕原点旋转圈。与、的关系为 （5-55） 3 奈奎斯特稳定判据为了确定辅助函数位于右半平面内的所有零点、极点数，现将封闭曲线扩展为整个右半s平面。为此，设计曲线由以下3段所组成：i 正虚轴：频率由0变到；ii 半径为无限大的右半圆：，由变化到；iii 负虚轴：频率由变化到0。这样，3段组成的封闭曲线（称为奈奎斯特路径）就包含了整个右半平面，如图5-35所示。 在平面上绘制与相对应的像：当沿虚轴变化时，由式（5-53）则有 （5-56）式中，为系统的开环频率特性。因而将由下面几段组成： i 和正虚轴对应的是辅助函数的频率特性，相当于把右移一个单位； ii 和半径为无穷大的右半圆相对应的辅助函数。由于开环传递函数的分母阶数高于分子阶数，当时，故有； iii 和负虚轴相对应的是辅助函数频率特性对称于实轴的镜像。图5-36绘出了系统开环频率特性曲线。将曲线右移一个单位，并取镜像，则成为平面上的封闭曲线如图5-37所示。图中用虚线表示镜像。对于包含了整个右半平面的奈氏路径来说，式（5-55）中的和分别为闭环传递函数和开环传递函数在右半平面上的极点数，而则是平面上曲线顺时针包围原点的圈数，也就是平面上系统开环幅相特性曲线及其镜像顺时针包围（）点的圈数。在实际系统分析过程中，一般只绘制开环幅相特性曲线不绘制其镜像曲线，考虑到角度定义的方向性，有