[工学]小波变换咋图像降噪中的应用.doc

摘 要随着信息时代的快速发展，人们对数字图像的质量要求越来越高。但是数字图像在采集和传输过程中，图像经常受到各种噪声影响，所以要对图像进行处理。随着小波理论的不断完善，小波在图像降噪中也得到了广泛的应用，因此图像降噪具有很强的理论意义和应用价值。小波域降噪是根据信号和噪声在小波变换下表现的方式不同，构造出相应的规则，把噪声产生的系数减小以至完全滤除由，同时最大限度的保留有效信号。本文主要研究基于小波变换在图像降噪中的应用，并得出一些结果。本文的主要工作是：首先简述了小波分析的发展、图像降噪的方法，并提出小波变换应用在图像降噪中的原因，以及小波图像降噪的必要性，小波图像降噪的发展方向；然后阐述小波分析的基本理论，其中包括小波变换理论、多分辨率分析以及图像的小波变换理论，这是小波图像降噪的基本理论；接着研究小波收缩阈值降噪，其中主要研究小波函数的选择和小波阈值的选取，并通过仿真实验说明这些对小波图像降噪的影响；最后介绍了维纳滤波器，把小波阈值法和维纳滤波器相结合，提出一种更好的降噪方法，通过实验仿真，比较小波阈值降噪和改进的维纳滤波器降噪的效果，进而得出结论。关键词： 图像降噪 小波变换 小波函数 阈值函数 维纳滤波器AbstractWith the rapid development of the information age, people's quality of digital images have become increasingly demanding. But digital image is usually corrupted by the various noise in its acquisition or transmission. So image needs to be denoised in the image processing. Recently, with the constant improvement of wavelet theory, wavelet transform in image denoising has been widely used, meanwhile, the image denoising has a strong theoretical significance and applied value. Wavelet shrinkage is a method that creating certain regulation according to the different representation of signal and noise in wavelet domain and processing the wavelet coefficients. The essential lies in shrinking or deleting the coefficients raised from noise and reserve those raised from signal.This article mainly study image denoising methods based on wavelet transform. A series of results are obtained from the research of the image denoising. The main work is : First, outlined the development of wavelet analysis, image denoise method, and proposed application of wavelet transform in image denoising the reasons and the need for wavelet image denoising, the direction of development in wavelet image denoising , And then describes the basic theory of wavelet analysis, including the wavelet transform theory, multi-resolution wavelet analysis and image theory, which is the basic theory of wavelet image denoising; then thresholding of wavelet shrinkage, mainly of the wavelet function Selection and the selection of wavelet threshold, and through simulation experiments illustrate these effects on the wavelet image denoising; Finally, the Wiener filter, the wavelet thresholding and Wiener filter proposed by combining a better Noise reduction method, simulation experiments to compare the wavelet threshold noise reduction and improved the effect of noise reduction Wiener Filter, and then draw conclusions.Key word: Image denoising Wavelet Transform Wavelet Function Treshold Function Wiener Filter 目 录摘 要IAbstractII1 绪论11.1 课题背景及研究意义11.2 空间域图像降噪11.3 频域图像降噪21.4 基于小波变换的图像降噪41.4.1 小波降噪的发展历程41.4.2 小波降噪的描述61.5 小波图像降噪的发展方向72 小波分析的基本理论82.1 小波变换理论82.1.1 连续小波变换82.1.2 离散小波变换102.2 多分辨率分析理论122.2.1 多分辨分析122.2.2 的正交分解152.2.3 Mallat算法152.3 常用小波函数介绍162.4 图像小波变换203 小波阈值收缩降噪法223.1 图像降噪质量的评价223.2 小波阈值收缩算法233.2.1 小波收缩函数的选取233.2.2 小波收缩阈值的选择243.2.3 小波基的选择273.3不同的阈值函数在降噪中的实验274 小波域的维纳滤波器设计294.1 维纳滤波器304.2 小波变换域维纳滤波器的设计314.2.1 经验维纳滤波器的设计314.2.2 改进的经验滤波器设计314.3 实验仿真325 结论35致 谢37参考文献3839徐州师范大学本科生毕业设计 小波变换在图像降噪中的应用1 绪论1.1 课题背景及研究意义数字图像随着数字技术的发展，在人类生活和活动中开始扮演越来越重要的角色，例如卫星电视、X射线透视、天文观测、地理信息系统的开发等领域都要用到数字图像。然而图像传感器所采集到的图像数据经常会被噪声污染，所以常要先对图像进行降噪处理，再对图像做进一步处理（如三维重建、模式识别、纹理分析等）。电子噪声和光电子噪声是数字图像中噪声的主要两类来源，照片颗粒噪声和信息传输中的误差等同样也是影响数字图像的噪声。电子噪声主要是阻性电子器件中电子随机热运动而造成的。电子噪声具有一个高斯函数性状的直方图分布以及平坦的功率谱，可用它的方差来完全表示，也可用零均值高斯白噪声作为电子噪声的模型。由于每个图像元素接收到的光子数目是有限的，在光电转换过程中光的统计性质是不同的，这就是光电子噪声产生的原因。在弱光的情况下，这种噪声比较严重，此时常用具有泊松分布的随机变量作为光电子噪声的模型。当光照较强时，这类噪声趋向于高斯分布1 Castleman K R.Digital image processingM. Prentice-Hall，Inc., 1966.。图像降噪在图像处理领域已研究了数十年的时间，是图像处理中的一个经典问题。一般图像降噪技术可分为两大类：空间域降噪和变换域降噪。空间域降噪指图像平面本身，这类方法直接对图像的像素进行处理。变换域降噪法是指将图像进行变换，在变换域中对图像的变换域进行处理，处理完毕后再进行逆变换，获得降噪后的图像。目前使用最多的变换方法就是傅里叶变换和小波变换。1.2 空间域图像降噪在待处理图像中空域滤波逐点地利用掩模进行点点直接处理。设在点处的图像为，通过事先定义的关系来计算滤波器在该点的响应。线性空间滤波，其响应由滤波器系数与滤波掩模扫过区域的相应像素的数值的乘积之和给出。如，在的图像上，用大小的滤波器掩模进行线性滤波的公式为： （1-1）式中，为线性滤波器。非线性空间滤波利用掩模处理一幅图像的原理和空间滤波线性处理是一样的，都是基于邻域处理。一般说来，空间滤波处理不能直接使用某种乘积求和的方式，而是取决于所考虑的邻域像素点的值来处理的，并且利用非线性滤波器可以有效地降低噪声。最简单的空间域图像降噪法是均值滤波器2 Vaseghi S V. Advanced signal processing and noise reduction, second editionM. John Wiley & Sons Inc., 2000.，它对一些图像进行线性滤波可去除图像中某些类型的噪声，记观测的含噪声的图像为： （1-2）式中，x为原始图像；n为噪声；i表示像素位置。则均值滤波器的输出为 （1-3）式中，为以i为中心的局部领域窗口；M为窗口中的像素总数。均值滤波器把图像中不连续的阶跃变化平滑成缓慢变化，这使得图像变得模糊，这样在空间域降噪的同时，也滤除了图像的细节信息。由于均值滤波器的这一缺点，很多的研究学者不断地提出改进的均值滤波方法，例如 ：双边带滤波法（Bilateral Filtering）3 Tomasi C, Manduchi R. Bilateral filtering for gray and color images. Proceeding of the Sixth International Conference on Computer VisionJ. Bombay, India, 1988：839-846.双边带滤波法自适应于图像的局部形状调整均值系数的权重；非局部平均滤波法4 Buades A，Coll B，Morel J M. A review of image denoising algorithms, with a new oneJ. Multiscale Modeling & Simulation, 2005，4(2)：490-530.是近期提出的一种改进的均值滤波法，与均值滤波法不同的是，非局部平均滤波法不是在一个局部邻域窗口中计算均值，而是在整幅图像中计算均值，因此称为非局部平均滤波法；基于偏微分方程（PDE）的图像降噪也是空域滤波很重要的方法5 熊保平,杜明.基于PDE图像去噪方法J, 2007, 27（8）：2025-2029，这些基于PDE的空域滤波方法对高斯白噪声降噪效果一般,但是对于脉冲噪声有很强的抑制能力。1.3 频域图像降噪傅里叶变换的降噪法是频域降噪法的基本思想。图1-3是频域图像降噪的一般过程：图1-3 频域图像降噪的一般过程通常情况下，图像的边缘及噪声都对应于幅度谱的高频段，而图像的能量大部分集中在幅度谱的低频和中频段。为了更好的实现图像平滑和降噪，可以通过对频域范围内的高频分量进行衰减。频域滤波可用下述关系式表示： （1-4）式中，是加噪后图像的傅立叶变换。通过函数使的高频分量衰减，输出。是经过傅立叶反变换后则可得到的平滑图像。因为频域滤波把低频信息全部保留下来，而滤掉了高频分量，所以称为低通滤波，函数即为低通滤波器的传递函数。常用的几种频域低通滤波器有：维纳滤波器、理想低通滤波器、巴特沃斯低通滤波器、指数低通滤波器等。低通滤波器是最简单的频域滤波器。低通滤波器通过降低高频成分的幅度来减弱噪声的影响。频域的维纳滤波器是一种最小均方误差滤波器，它的表达式如下： （1-4）式中，为降噪后图像的傅里叶变换； 为不含噪声图像的功率谱；为零均值高斯白噪声的方差；为含噪声图像的傅里叶变换。因为图像是非平稳信号，对于估计图像的功率谱会比较困难，这样限制了维纳滤波器的应用，后文介绍了小波域上的维纳滤波器，是小波收缩阈值与维纳滤波器的结合，取得了较好的降噪效果。在实际中，图像不可能时平稳信号，而且图像中经常包含大量不连续的突变部分，但是基于傅里叶变换的降噪法要求图像是平稳信号，这与实际图像不相符合，因此应用傅里叶变换的降噪效果一般不能使人满意。然而，频域滤波最近又开始受到关注。是因为局部傅里叶变换能够克服这个缺陷。例如，Foi提出一种逐点自适应离散余弦降噪法6 Foi A, Katkovnik V, Egiazarian K. Pointwise shape-adaptive DCT for high-quality denoising and deblocking of grayscale and color ImageJ. IEEE Trans. Image Processing, 2006, 16(5)：1395-1411.。这种方法首先是在每一点寻找一个局部区域，然后对这一区域进行自适应离散余弦变换，再用阈值降噪法降噪，这样会取得较好的降噪效果。传统的图像降噪法仅具有空域或频域的局部分析能力，在抑制图像噪声的同时，难免损坏图像的边缘细节信息，同时也去除了图像的部分边缘信息，而人眼对图像的边缘很敏感，不仅使降噪后的图像变得模糊而且也降低了降噪图像的主观质量。而且传统的降噪方法是将被噪声干扰的信号通过一个滤波器，滤掉噪声频率成分，但对于脉冲信号、白噪声、非平稳过程信号等，传统方法存在一定的局限性。对这些信号，在低信噪比情况下，经过滤波器处理后，不仅信噪比得不到较大的改善，而且信号的边缘信息也被模糊掉了。最近几年来，由于小波变换理论具备良好的时频局部化能力和多分辨率分析能力得到了较广泛的应用，同样，在图像降噪的领域中，小波变换在空域和频域同时具有良好的局部化的特点，在滤除噪声的同时能够较好地保留图像的细节信息，提高图像的质量。所以，小波变换技术在图像降噪中得到了广泛的研究并获得了较好的应用效果，已成为图像降噪的主要方法之一。1.4 基于小波变换的图像降噪从1822年傅里叶发表“热传导解析理论”以来，在信号处理领域中傅里叶变换一直是应用最常的一种分析方法，虽然它在时域无任何分辨能力，但是频域的定位性是完全准确的，也就是说傅里叶变换是不能提供任何局部时间段上的频域信息，只能反映的是全部时间下整个信号的整体频域特性。与傅里叶变换情况完全相反的是，当一个函数使用函数展开时，其在频域无任何分辨能力，它在时间域上的定位性是完全准确的，也就是说函数不能提供任何频域率段所对应的时间信息，只能反映信号在全部频率域上的整体时域特征。然后在实际运用中，对于一些常见的非平稳信号，如二维图像，经常包含大量不连续的凸变部分；语言信号，在不同的时间对应不同的音节；如音乐信号，在不同的时间演奏不同的音符等，它们的频域特性都随时间（对二维图像是位置）的变化而变化。通常对于这些非平稳信号进行分析，需要提取某一频率段或某一时间段的频域信息所对应的时间信息，这样就增加了数字处理的复杂性。所以，信号处理领域需要解决的一个问题一直是寻求一种介于傅里叶分析和分析之间的，且具有一定的频率和时间分辨力的基函数来分析非平稳信号，。 1.4.1 小波降噪的发展历程1981年，在分析地质探测数据时法国地理物理学家Morlet首先提出了小波分析的概念。随后他和法国物理学家Grossmann一起研究小波变换理论，研究发展了连续小波变换的概念体系。这一体系成为傅里叶分析划时代的发展结果。正如三角函数的基本组成单元是傅里叶分析，而小波函数的基本组成单元是小波分析。又因为小波函数具有紧支撑特性，使得小波分析具有处理非平稳信号的能力。1985年，Meyer、Grossmann、Daubechies等一起的共同研究，得到了一组离散小波基（又称为小波框架）。1986年，Meyer在证明不可能同时在时域和频域都存在具有一定正则性的正交小波基时，却意外地发现了具有一定衰减性和光滑性的规范正交小波基，这样便证明了正交小波基确实存在。Daubechies在1988年提出了具有紧支集的正交基Daubechies基。后来，Mallat在小波分析中应用了计算机视觉领域内的多尺度分析的思想，并提出了多分辨率分析的定义，使在此之前的所有具体正交小波基的构造得到了统一，同时提出了相应的分解和重构快速算法。这些都是小波理论突破性的研究成果。Weaver等研究学家最早在图像降噪中使用了小波变换。他们所用的算法是一种简单的阈值降噪法。阈值滤波算法就是把小波系数同一个阈值进行比较，如果小波系数比阈值大，则把小波系数完全保留或进行调整后保留；如果小波系数比阈值小，则把小波系数置为零。之后Donoho、Johnstone等人对小波阈值算法作了系统阐述，成为一个具有里程碑意义的小波滤波方法的研究结果。1992年，Donoho和Johnstone提出了小波阈值收缩方法（Wavelet Shrinkage)，并提出了小波收缩域值，同时还证明了是在渐近意义上的小波收缩最佳域值的上限。但是上面的提出的小波阈值收缩算法有一个严重的缺点是：必须知道噪声的大小(方差)，才能进行降噪。可是在实际运用中是无法预先知道噪声的大小的，针对这一缺陷，Marraten Jasen等人提出了GCV(generalized cross validation)方法，这种方法无需知道噪声大小的先验知识，较好地解决了这一问题。另一方面，因为Donoho和Jobnstone提出的阈值对于小波系数有很严重的“过扼杀”倾向，所以很多学者研究阈值的选择的问题，并提出了许多种阈值选择确定的方法。后来，人们发现阈值函数也影响降噪效果，便针对阈值函数的选择也进行了研究；但是因为这些方法都是基于独立同分布噪声的假设，并且大多数都是由阈值收缩方法发展而来的，所以当这些方法用到非高斯、有色噪声的场合中时，降噪的效果却不是很理想。最后对于噪声服从独立正态分布的假设，而这些方法的降噪性能也只能依靠小波收缩阈值方法来确定阈值。因此，有人提出了具有尺度适应性的阈值选取法，就是用来解决具有正态分布的有色噪声的小波降噪问题。目前，基于小波收缩阈值算法的小波图像降噪方法的研究仍然非常多，近年来还是不断有更新的方法出现，同时可以看出，人们的研究已经不仅仅是阈值和函数的选择了，研究方向己转为如何最大限度地获得信号的先验信息，然后用这些信息来寻找更合适的阈值或阈值向量，取得更好的降噪效率。1.4.2 小波降噪的描述小波降噪的问题在数学就是一个函数的逼近问题，本质上便是在小波函数空间中，这个空间是由小波母函数伸缩和平移所展成的空间，如何根据提出的衡量准则，寻找对原始信号的最佳逼近，以完成原始信号和噪声信号的区分。因此可见，小波降噪也就是为了得到原始信号的最佳恢复，寻找从实际信号空间到小波函数空间的最佳映射。从信号学的角度来看，小波降噪就是一个信号滤波的问题，虽然在很大程度上可以把小波降噪看作是低通滤波，但是因为降噪后，小波降噪还能成功地保留图像特征，不会模糊图像的边缘信息，所以在这一点上比传统的低通滤波器要有更好的降噪效果。因此可以看出，小波降噪实际上就是低通滤波器和特征提取的结合，其流程图可表示为如图1-4-2所示：图1-4-2小波降噪示意图一开始，人们为了缓解低通滤波产生的边缘模糊，通过对边缘进行一些处理。虽然在这一点上与小波降噪相似，但小波变换是因为其多分辨率的特性，才能很好地保留边缘。原因是图像在小波变换后，图像在特征处的小波系数幅值较大7 Donoho D L, Johnstone IM. Ideal spatial adaptation via wavelet shrinkageJ. In：Biometrika，1944，81：425-455.，且在相邻尺度层间具有很强的相关性8 Pan Quan, Zhang Pan, Dai Guanzhong et al, Two denoising methods by wavelet transformJ. In: IEEE Trans. Signal Processing, 1999,47(12)：3401-3406.，这样便于图像信号的特征提取和保护。小波降噪相对于早期的研究方法而言，对于边缘等特征的提取和保护，小波降噪是有较强的数学理论背景，并更有利于系统的理论分析。1.5 小波图像降噪的发展方向虽然小波降噪方法已成为研究学者主要的研究方向，但是大多数的理论仅仅是都是对高斯白噪声的研究，而非高斯噪声的研究理论和文献都很少，虽然有些学者已经主要到这方面的问题，然而要把这些研究成果发展到非高斯噪声，还是有一定的难度的。2 小波分析的基本理论小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，是分析和处理非平稳信号的一种有力工具，经过大量学者不断探索研究，它是以局部化函数所形成的小波基作为基底而展开的，小波分析在保留傅里叶分析优点的基础上，具有许多特殊的性能和优点，而小波分析则是一种更合理的时频表示和子带多分辨分析方法。所以理论基础渐已扎实，理论体系逐步完善，在工程领域已得到广泛应用。本章系统地阐述了小波分析的基本理论，其中包括连续小波变换、离散小波变换、多分辨分析理论及图像的小波变换，而作为小波分析在图像处理中的应用研究，这些理论奠定了研究基础。2.1 小波变换理论2.1.1 连续小波变换定义2.1 小波函数的定义9 刘涛, 曾祥利, 曾军.实用小波分析入门M.北京：国防工业出版社, 2006.：设为一平方可积函数，也即，若其傅里叶变换满足条件： （2-1）则称是一个基本小波或小波母函数（Mother Wavelet），并称上式为小波函数的容许性条件。由定义2.1可知，小波函数具有两个特点：1）小：它们在时域都具有紧支集或近似紧支集。由定义的条件知道任何满足可容许性条件的空间的函数都可以作为小波母函数（包括实数函数或复数函数、紧支集或非紧支集函数等）。但是在一般的情况下，常常选取紧支集或近似紧支集的同时具有时域和频域的局部性实数或复数函数作为小波母函数，让小波母函数在时域和频域都具有较好的局部特性，这样可以更好的完成实验。2）波动性：若设在点连续，则由容许性条件得： （2-2）也即直流分量为零，同时也就说明必是具有正负交替的波动性，这也是其称为小波的原因。定义2.2 连续小波基函数的定义：将小波母函数进行伸缩和平移，设其收缩因子（即尺度因子）为a，平移因子为b，使其平移伸缩后的函数为，则有， a>0, （2-3）称为依赖于参数a，b的小波基函数。由于伸缩因子a，平移因子b都是取连续变化的值，因此又称为连续小波基函数。它们是一组函数系列，这组函数系列是由同一母函数经伸缩和平移后得到的。定义2.310 梁学章, 何甲兴, 王新民, 李强.小波分析M.北京：国防工业出版社, 2005. 若，函数在小波基下进行展开，则的连续小波变换（CWT）定义为： （2-4）由定义2.3可知，小波基具有收缩因子a和平移因子b，若将函数在小波基下展开，就是把一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面上，把一个一维函数变换为一个二维函数，即连续小波变换是在函数上的“投影”。小波函数若满足容许性条件(2-1)，则存在其逆变换。由小波变换的系数可以重构信号，其重构公式为： （2-5）定理2.1 连续小波变换是一种线性变换，具有如下性质：（1） 叠加性：设，则： （2-6）（2） 时移不变性：设，则： （2-7）（3） 尺度变换：设，则： （2-8）该性质说明，信号在连续小波变换的尺度a和位移b上做拉伸时，其信号也在时域拉伸，且能保持拉伸前后的形状不变。（4） 内积定理：对于，则有，并且对，会有： （2-9）（5） 能量关系：当内积定理中的信号时，内积定理变为： （2-10）同时称式（2-10）为能量关系。性质（4）和性质（5）表明，信号的变换域内积和时域内积之间保持着一定的联系，小波变换系数的幅度平方在尺度位移平面内的积分实际上是在尺度位移域内能量的积累，它与原始信号的能量成正比。2.1.2 离散小波变换由前文定义的连续小波基函数： （2-11）式中，满足容许性条件，并且伸缩因子a,平移因子b是连续变化的。由于连续小波变换系数的信息量是冗余的，虽然在有些情况下，连续小波变换的冗余性是有益的（例如在图像降噪，进行数据恢复及特征提取时，连续小波变换以牺牲计算量、存储量为代价来获得更好的结果），但是许多情况下，需要考虑的是在数字处理中压缩数据和节约计算量，这样便希望可以再不丢失原信号的情况下，尽量减小小波变换的冗余度，为了解决这一问题，提出了将其离散化，最大程度地消除或降低冗余性，这才适合数字计算机处理。离散小波变换11 郑治真, 沈萍, 杨选辉, 万玉莉.小波变换及其MATLAB工具的应用M.北京：地震出版社，2001.是相对于连续小波变换的变换方法，本质上是对收缩因子a和平移因子b分别进行离散化处理。（1）收缩因子离散化：将收缩因子按幂级数进行离散化，即取，这时离散后的函数变为（2）平移因子离散化：在尺度j下，平移因子均匀离散化，即使平移量b以作为采样间隔量，其中是j=0时的均匀采样间隔量。因而离散后的函数变为在实际运用中，我们通常取=2，=1，这时变为，这时记，称为为离散小波。定义2.4若，则的离散小波变换定义为： （2-12）其相应的逆变换为： （2-13）上文表述的对连续小波进行离散化时，若取离散的栅格，即相当于只将伸缩参数a进行二进制离散，而平移参数b仍取连续变换，则得到的离散小波称为二进小波。定义2.512 石智. 小波理论M. 西安：西安建筑科技大学, 2007.函数，若存在二常数，使得 （2-14）那么称为二进小波。其时域表示为：函数在的二进小波变换定义为： （2-15）其相应的逆变换为： （2-16）二进小波是介于连续小波和离散小波之间的一种“半离散”化小波，它只是对伸缩参数进行了离散化，而在时间域上的平移参数仍保持连续变化，因此二进小波变换仍具有连续小波变换的时移共变性，这是它与离散小波相比，所具有的独特优点。正因为如此，它在奇异性检测、图像处理等方面十分有用。2.2 多分辨率分析理论由于离散化小波的信息量仍是冗余的，因此再次从数字计算机处理的角度考虑，人们仍然希望减小离散化小波的冗余量，直到得到一组正交基。这组正交基称为正交小波基。如何构成正交基，构造小波母函数，而解决这些问题的方法就是多分辨率分析理论。多分辨分析（Multi-resolution Analysis MRA），又称为多尺度分析，是建立在函数空间概念上的理论。其创建者S.mallat是在1988年在构造正交小波基时提出的，在研究图像处理问题时建立这套理论的。MRA不仅为正交小波基的构建提供了一种比较简单的方法，并且对正交小波变换的快速算法提供了理论根据。但其思想又同多采样滤波器不谋而合，这样把小波变换和数字滤波器理论相结合起来。这使在小波变换理论中多分辨率分析具有重要的地位。2.2.1 多分辨分析多分辨分析的基本思想是随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗及细地观察目标。为了更好的理解这个思想，把尺度想象为照相机的镜头，当尺度由大到小变化时，就相当于照相机镜头由远及近的观察目标。在大的尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标的大概，而在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，则可观看到目标的细微部分。定义2.613 彭玉华. 小波变换与工程应用M. 北京：科学出版社, 1999. 空间中的多分辨分析是中满足如下条件的一个闭子空间序列：（1） 一致单调性：；（2） 渐进完全性：；（3） 伸缩规则性：；（4） 平移不变性：；（5） 正交基存在性：正交基存在性条件可放宽为Riesz基存在性，存在函数构成的Riesz基，即存在，使得对均能唯一地分解为： （2-17）其中 （2-18）定义2.6所描述的多分辨分析在人类视觉系统对物体认识的直观解释。事实上，如果把看作是某人眼睛在尺度j下观察到的一个物体，而这个物体实际上是三维物体的两面，那么当尺度增加到j+1时，这个人所观察到的就是物体的全部，也就是三维物体的三个面，这样就表示人进一步的观察了物体，相当于拉近了照相机的镜头。因而比包含更多的信息，即。所以，尺度越大，距目标越近，则观察到的信息越丰富；尺度越小，距目标越远，则观察到的信息越少。多分辨率分析的空间关系可用图2-2-1来表明。图2-2-1多分辨率分析的空间关系图正交多分辨率分析就是在多分辨率分析中，存在使得是的正交基。定理2.214 刘明才. 小波分析及其应用M.北京：清华大学出版社, 2005. 若的平移族构成空间的标准正交基，即：的充要条件是。正交多分辨率分析是由尺度函数生成每个空间的一组正交基所完全刻画而成的。正交多分辨率分析对小波基函数的构造提供了理论基础，由多分辨率分析的伸缩规则性可知，我们通过尺度函数的伸缩，在已知任意一个子空间基函数的情况下，可以得到与这个子空间相邻空间的基函数，从而得出所有子空间的基函数。设是一个正交多分辨率分析，若存在一个函数，的平移族构成子空间的正交基。因为，又因，所以一定存在唯一的序列使得 （2-14）式中，序列为离散滤波器，称式（2-14）是双尺度方程对式（2-14）的两边同时作傅里叶变换，有： （2-15）令，则 （2-16）定理2.3 若是一个尺度函数，则满足频域正交条件的等价形式为： （2-17）2.2.2 的正交分解因为，则令是在中的正交补，即，则存在空间中的小波函数为的标准正交基。从而，得出了定理2.4。定理2.415 王大凯，彭进业. 小波分析及其在信号处理中的应用M.北京：电子工业出版社，2006. 证明：由于，则：下面用表示在中的正交补，故：，所以又因为而在中稠密，所以 这就证明了所以定理2.4实现了对的正交分解。2.2.3 Mallat算法1989年，Mallat在图像处理的运用和小波变换多分辨率分析理论的研究中，受到塔式算法的启发，提出了信号的塔式多分辨率的分解与重构的算法，这种算法就称之为Mallat算法16 S.Mallat.A theory for multiresolution signal decomposition：the wavelet representationJ. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1989,11(7)：674-693。若和是和的标准正交基，和用来表示在和下的投影，则可以得到以下定理：定理2.5 信号的小波分解： （2-18） （2-19）信号的小波重构： （2-20）式中， h，g为共扼镜像滤波器，其值由所选择的小波基决定。式（2-20）可以看作是先将的尺度系数和小波系数分别在每两个数据点间插零的采样的形式，再分别和序列h和g卷积，再将卷积的结果相加。图2-2-3（a）描述了式（2-18）和（2-19）的一步分解算法，图2-2-3（b）描述了式（2-20）的一步重建算法。 图2-2-3（a）一步离散小波分解算法 图2-2-3（b）一步离散小波重建算法2.3 常用小波函数介绍在小波分析理论在数学和工程领域中一个很重要的问题就是小波基的选择，选择一个最优的小波基，可以使图像处理更加优化。在小波分析理论中有很多种的小波函数，下面介绍一些常用的小波基函数：（1）Haar小波Haar小波是Haar于1990年提出的一种正交小波，它是小波理论分析发展过程中用的最早的小波。Haar小波是由一组互相正交归一的函数集，即Haar函数衍生产生的，其是具有紧支撑的正交小波函数，其定义如下：Haar小波是一个最简单的时域不连续的二进小波，它类似一个阶梯函数，由于它的紧支性和正交性，使得Haar小波的应用很普遍。图2-3-1所示为Haar波的函数图像。图2-3-1 Haar小波函数图像（2）Mexican hat(墨西哥草帽)小波Mexican Hat小波又被称Marr小波。Marr小波函数就是高斯函数的二阶导数，其表达式为：其波形如图2-3-2所示。Marr小波的时域、频域都有很好的局部特性，但它的正交性尺度函数不存在，主要用于信号处理和边缘检测。图2-3-2 Mexihat小波函数图像（3）Morlet小波Morlet小波是高斯下的单频率复正弦函数：式中， i表示虚数，常数。虽然Morlet小波有解析表达式，但其不具有正交性的同时也不存在紧支集。Morlet小波的特点是能够提取信号中