道路工程习题第五章投影变换习题.ppt

第五章 投影变换,5-1用更换投影面法作直线AB的实长及对投影面的倾角、。,X,O,a,a1,b1,b1,a1,b,a,b,x1,o1,x1,o1,X,分析：作直线AB的实长及对投影面的倾角、，只要把直线AB换面成对应面的平行线即可。步骤一：作新轴O1X1ab，在H/V1体系中，作出AB的新投影a1b1，即得AB的实长及倾角。步骤二：作新轴O1X1ab，在H/V1体系中，作出AB的新投影a1b1，即得AB的实长及倾角。,5-2用换面法求点A到直线BC间的垂直距离。,O,X,c2（b2）,x1,o1,a,c1,b1,c,b,c,b,a,a,o2,x2,a2,分析：求点A到直线BC间的垂直距离，只要把直线BC换面成对应面的垂线即可。步骤一：作新轴O1X1bc，在H/V1体系中，作出BC的新投影b1c1和a1。步骤二：作新轴O2X2垂直于b1c1，在V1/H2体系中，作出BC的新投影积聚点c2（b2）和a2，点c2（b2）和a2之间的距离就是点A到直线BC间的垂直距离。,5-3用换面法求平面ABC对H面的倾角。,O,X,c,b,a,c,a,b,c1,b1,a1,o1,x1,1,1,分析：求平面ABC对H面的倾角，只要把平面ABC换面成对正垂面即可。步骤一：在平面ABC求作水平线C1。步骤二：作新轴O1X1垂直水平线C1，在H/V1体系中，作平面ABC的积聚新投影a1b1c1，则积聚新投影a1b1c1与O1X1的夹角就是平面ABC对H面的倾角。,5-4用换面法求ABC分角线BD。,O,X,a,c1,d1,a1,b1,c2,d1,b2,a2,c,a,c,b,o1,x1,b,o2,x2,d,d,1,1,分析：求ABC分角线BD，首先将平面ABC转化为垂面，然后转化为平行平面，反映实形，最后作出ABC分角线BD，根据换面法原理反推分角线BD投影。步骤一：在平面ABC求作水平线A1。步骤二：作新轴O1X1垂直水平线A1，在H/V1体系中，作平面ABC的积聚新投影a1b1c1。步骤三：作新轴O2X2平行于平面ABC的积聚新投影b1a1c1，在V1/H2体系中，作ABC的实形a2b2c2。步骤四：作实形a2b2c2的分角线b2d2。步骤五：根据换面法原理反推分角线BD投影bd和bd。,5-5求P平面实形。,O,X,p,p,X1,O1,分析：由图可知，P平面是正垂面，利用和垂面积聚的投影平行的新轴，将P平面转化为平行平面，反映实形。步骤一：作新轴O1X1平行P平面垂面积聚的投影。步骤二：根据换面法原理，在V/H1体系中，作平面P的实形。,5-6已知A点至平面DEF的距离为15，求A点的V面投影。,O,X,a1,f1,e1,d1,o,x,f,d,a,e,f,d,e,1,1,15,a,分析：已知A点至平面DEF的距离为15，可利用投影变换将平面DEF转换垂面，距离积聚投影15的线上必定是A点所在的位置，根据换面法原理反推，求出a。步骤一：在平面DEF求作水平线E1。步骤二：作新轴O1X1垂直水平线E1，在H/V1体系中，作平面DEF的积聚新投影d1e1f1。步骤三：作距离积聚新投影d1e1f1为15个单位的直线，和aa1交于a1点。步骤四：根据换面法原理反推求出点a的投影。,5-7用换面法作直线AB、CD公垂线的两面投影。,X,O,b,a,b1,a,a1,b,d,c,d1,d,c1,c,X2,O2,X1,O1,b2,a2,c2(d2)(m2),k2,k1,k,k,m1,m,m,分析：要求直线AB、CD的公垂线，可以先作CD的投影面平行面，再作CD的投影面垂直面，使直线CD在V2投影面上积聚成一点。过c2(d2)作直线a2b2的垂线，即为直线AB、CD 间的实际距离，垂足记为k2。作K在V1投影面的投影k1，在 V1/H2体系中，KM为H2面的平行线，由投影特性，即可得m1。由换面法原理，即可得K、M的H面和V面投影，连接k、m和k、m，即得公垂线KM的两面投影。步骤一：作新轴O1X1cd，在H/V1体系中，作出CD的新投影c1d1,以及AB的新投影a1b1。步骤二：作O2X2c1d1，在V1/H2体系中，作出CD的新投影c2(d2),以及AB的新投影a2b2。步骤三：过c2(d2)作直线a2b2的垂线，即为直线AB、CD 间的实际距离，垂足记为k2。步骤四：作K在V1投影面的投影k1，在 V1/H2体系中，KM为H2面的平行线，由投影特性，过k1作直线c1d1的垂线，垂足即为m1。步骤五：由换面法原理，作K、M的H面和V面投影，连接k、m和k、m，即得公垂线KM的两面投影。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-8已知AB、CD两平行线之间的距离为15，用换面法求CD的V面投影。,X,O,c1,b,a,a2(b2),a,b,c,d,d1,c,d,a1,b1,X2,O2,c2(d2),O1,X1,15,分析：两直线AB和CD互相平行，他们的间距能在垂直于两直线的新投影面上反映出来。因此，先把直线变换成为投影面平行线，然后再将投影面平行线变换成投影面垂直线。根据CD的H面投影，可以作出c2(d2)必须所在的一条直线上，再以a2(b2)为圆心，15为半径画圆弧，与c2(d2)所在的直线的交点即为c2(d2)。过c2(d2)作O2X2的垂线，过c、d作O1X1的垂线，它们交于c1、d1,根据c1、d1到O1X1的距离即可作出CD的V面投影cd。步骤一：作新轴O1X1ab，在H/V1体系中，作出AB的新投影a1b1。步骤二：作O2X2a1b1，在V1/H2体系中，作出AB的新投影a2b2。步骤三：根据CD的H面投影，可作出CD的V2面投影c2(d2)所在的一条直线，再以a2(b2)为圆心，15为半径画圆弧，与c2(d2)所在的直线的交点即为c2(d2)。步骤四：过c2(d2)作O2X2的垂线，过c、d作O1X1的垂线，它们交于c1、d1,根据c1、d1到O1X1的距离即可作出CD的V面投影cd。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-9锥顶为S，底为ABC，高为30，用换面法完成该锥的两面投影。,X,O,b,a,a,X1,O1,b,c,c,c1,a1,b1,s,s1,s,1,1,30,分析：当把一个平面变换成投影面垂直面时，任一点到该平面的距离即为实际距离。因此，根据正平线，先将ABC变换成投影面垂直面，该平面在新的投影面上积聚成直线b1a1c1，过s作O1X1的垂线，在该垂线上找到一点到直线b1 a1c1的距离为30，该点即为s1，根据s1到O1X1的距离作出S的水平投影。依次连接s到a、b、c，以及s到a、b、c的连线，即可得该锥的两面投影。步骤一：ABC内找一条正平线A1，作新轴O1X1垂直A1，过a、b、c作O1X1的垂线，再根据a、b、c到OX轴的距离即可得到ABC在新的投影面上的投影，即为直线b1a1c1。步骤二：过s作O1X1的垂线，在该垂线上找到一点到直线b1c1的距离为30，该点即为s1。步骤三：根据s1到O1X1的距离作出S的水平投影。步骤四：依次连接s到a、b、c，以及s到a、b、c的连线，即可得该锥的两面投影。步骤五：绘制完成后，检查各点、线投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-10用换面法求作平面ABC和BCD的夹角。,X,O,a,b,a,c,b,d,c,d,d1,c1,b1,a1,d2,b2(c2),a2,X2,O2,X1,O1,分析：要反映两平面的夹角，这两个面的交线必须垂直于一个新投影面。ABC和BCD的交线为BC,先将ABC和BCD的交线变换成投影面水平线，再将ABC和BCD的水平交线变换成投影面垂直线，两平面积聚形成的两直线的夹角即为平面ABC和平面BCD的夹角。步骤一：作新轴O1X1交线bc，在H/V1体系中，BC为V1面平行线。作出ABC和BCD在V1面上的新投影a1b1c1和b1c1d1。步骤二：作新轴O2X2b1c1，在V1/H2体系中，BC为H2面垂直线。作出ABC和BCD在H2面上的新投影a2b2(c2)和b2(c2)d2。步骤三：平面的积聚直线b2a2与b2d2的夹角即为两平面的夹角。步骤四：绘制完成后，检查各点、线投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-11用换面法求直AB与平面CD的交点。,X,O,a,b,a,b,d,c,e,e1,e,d,c,a1,d1,c1,X1,O1,b1,分析：为了方便找到直线AB与平面CDE的交点，就要让面CDE在新投影面上垂直投影面积聚为一条直线。因此，先将平面CDE转换成投影面垂直面，积聚为直线d1c1e1，则直线d1c1e1和直线a1b1的交点即为所求。根据换面法的原理反推，即可得到交点的H面和V面投影。由AB的H面投影，判断AB在CE线之前，在DE线之后，即得AB的V面可见性。由AB的V面投影，判断AB在CE线之上，在CD线之下，即得AB的H面可见性。步骤一：在CDE 平面内过点A作水平线，使新投影面V1垂直于该水平线，在H/V1体系中，CDE成为V1面垂直面，CDE在V1面上的投影积聚成直线d1c1e1。步骤二：作直线d1c1e1和直线a1b1的交点所在的H面和V面投影。步骤三：根据交点的H面投影，判断交点在CE线之前，在DE线之后，即得交点到ce的边界可见，交点到de的边界不可见。步骤四：根据交点的V面投影，判断交点在CE线之上，在CD线之下，即得交点到ce边界可见，交点到cd的边界不可见。步骤五：绘制完成后，检查各点、线投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-12用换面法求ABC和DEF的交线。,X,O,a,b,a,b,e,m1,c,e1,e,d,c,a1,d1,c1,O1,b1,X1,f,f1,f,k,k1,d,m,k,m,分析：为了求ABC和DEF的交线，可以作DEF的投影面垂直面，使其在新的投影面上积聚成一条直线。此时，a1b1c1与直线e1f1的交点即构成ABC和DEF的交线。根据换面法原理反推，得到交线的V面投影和H面投影。根据重影点法，选K为重影点，由H面投影,判断AB在EF线之前，在DF线之后，即得AB的V面可见性,根据虚实相间原则，即得两平面在V面投影，由V面投影，判断AB在DF线之上，在DE线之下，即得AB的H面可见性,根据虚实相间原则，即得两平面在H面投影。步骤一：在DEF 平面内过点D作水平线，使新投影面V1垂直于该水平线，在H/V1体系中，DEF成为V1面垂直面，DEF在V1面上的投影积聚成直线e1d1f1。步骤二：作积聚直线e1d1f1和a1b1c1的交点k1和m1所在的H面投影，连接k、m即得交线的H面投影。同理，得交线KM的V面投影。步骤三：由K 的H面投影，判断AB在EF线之前，在DF线之后，即得k到ef的边界可见，k到df的边界不可见,根据虚实相间原则，即得两平面在V面投影。步骤四：由K 的V面投影，判断AB在DF线之上，在DE线之下，即得k到df的边界可见，k到de的边界不可见,根据虚实相间原则，即得两平面在H面投影。步骤五：绘制完成后，检查各点、线投影、可见性及其标记的字符名称齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-13用旋转法求AB的实长及倾角的实形。,X,O,b,a,b,a,O(),a1,a1,2,1,分析：旋转法求AB的实长及倾角的实形。就是旋转AB成为正平线，H面反映AB实形，及倾角实形。步骤一：过点B且垂直于V面的OB为轴，将点A旋转到a1，使a1bOX轴。步骤二：a1和a得出a1。步骤三：连接b和a1，线段ba1就是AB的实长。步骤四：ba1与直线侧垂线12的夹角，就是AB对V面的倾角。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-14已知直线AB的H面投影方向，其实长50，=30用旋转法完成AB的两面投影。（任求一解）,X,O,a,a,O(),50,30,b1,b1,b,b,1,2,c,分析：已知直线AB的H面投影方向，其实长50，=30。在立面过a点，一个边平行OX轴，作实长50，=30的AB投影直角三角形ab1c，线段ac就是ab1水平投影的长度，且ab1OX轴。用旋转法将ab1旋转到AB的H面投影方向上，由b和b1作图得b的投影。步骤一：在立面过a点，一个边平行OX轴，作实长50，=30的AB投影直角三角形ab1c，线段ac就是ab1水平投影的长度，且ab1OX轴。步骤二：用旋转法，过点A且垂直于H面的OA为轴，将ab1旋转到AB的H面投影方向上，得b点的投影。步骤三：由b和b1作图得b的投影。步骤四：线段ab和ab就是要求的AB的两面投影。步骤五：绘制完成后，检查各点、线二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-15用旋转法求平面ABC的实形。,X,O,a,b1,b,c,a,c,b,a1,c1,a1,c1,b1,分析：由已知可见平面ABC是铅垂面，将积聚面投影abc旋转成与OX平行时，得a1、b1、c1投影，abc的Z值高不变，结合a1、b1、c1，在V面上求出a1、b1、c1点的投影，则a1b1c1就是平面ABC的实形。步骤一：将积聚面投影abc旋转成与OX平行，得a1、b1、c1投影。步骤二：abc的Z值高不变，结合a1、b1、c1，在V面上求出a1、b1、c1点的投影。步骤三：连接a1b1c1a1点，则a1b1c1就是平面ABC的实形。步骤四：绘制完成后，检查各点、线二面投影标记的字符名称要齐全，最后整理、加深所求作的图形，使之更加美观整洁。,5-16求出ABC的外接圆圆心O的两面投影。,X,O,a,b,c,c,b,d,a,d,b1,a1,c1,a1,c1,b1,a2,c2,b2,b2,c2,a2,O2,O1,分析：ABC的外接圆圆心是到三个顶点的距离相等。所以，首先要求出ABC的实形，要求一般位置面的实形（即把一般位置面旋转为投影面的平行面），必须先把一般位置面旋转成投影面的垂面。步骤一：先把一般位置面旋转成投影面的垂面。步骤二：把垂面旋转成投影面的平行面。步骤三：在平行面内求出外接圆圆心。步骤四：将外接圆圆心的投影返回到已知二面投影内。,5-17用水平轴旋转法，求点P到水平线AB的距离。,X,O,a,a,b,b,p,p,p0,o1,分析：求点P到水平线AB的距离，就是利用水平轴旋转法，借助水平线AB的投影，直接求点到直线的距离，简便易行。步骤一：因为AB是水平线，在H面上，自p点作直线垂直ab，确定旋转轴中心o1的投影和旋转半径O1P的投影o1p。步骤二：用直角三角形法求出O1P的实长O1P0。O1P0就是点P到水平线AB的距离。,5-18用水平轴旋转法，求ABC的实角大小。,X,O,a,a,b,b,c,b0,o1,c,1,1,b1,a1,分析：求ABC的实角大小，就是利用水平轴旋转法，求ABC所在的平面的实形。步骤一：过C点作一条水平线C1。步骤二：由C1水平线，在H面上，自b点作直线垂直c1，确定旋转轴中心o1的投影和旋转半径O1B的投影o1b。步骤三：用直角三角形法求出O1B的实长o1b0，并利用o1b0作出B点的H面新投影b1。步骤四：连接b11，过a作直线垂直于c1，与b11的延长线交于a1。步骤五：连接a1b1和b1c，a1b1c就是ABC的实角大小。,