奥数-第3讲三角形中与比例线段有关的定理竞赛班学生版.docx

第三讲 三角形中与比例线段有关的几个定理梅涅劳斯（Menelaus）是约公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学及三角学书籍下面以他名字命名的定理是他首先发现的，发表在球面几何学的教科书球论里，有着广泛的应用，不仅可以证明点共线，对其他几何问题也非常有用塞瓦（Ceva）是17世纪意大利数学家兼水力工程师，1678年塞瓦自己发现了后来以他名字命名的定理，同时他重新发现梅涅劳斯定理，当时他一并刊登发表，两个定理齐名流传至今一、 基础知识1 梅涅劳斯定理（Menelaus theorem）在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，若D、E、F共线，则：；2 梅涅劳斯定理的逆定理在ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，若，则D、E、F共线3 塞瓦定理（Ceva theorem）设O是ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则4 塞瓦定理的逆定理设点D、E、F分别在ABC的边BC、AB、CA上，若，则AD、CE、BF交于一点二、 例题部分梅氏定理及逆定理的应用例1（）设AD为ABC的一条中线，作任一直线CF交AD于E，交AB于F，求证：例2（，97年湖北荆州竞赛题）如图，D为ABC的BC边的中点，E为AC边上的点，且AC3CE，BE和AD交于F点，求的值；例3（）图中AD是ABC的中线，E是AD上的点，且AE2DE，连结BE并延长交AC于F（1）求证：AFFC；（2）求的值；例4（，90年全国部分省市初中通讯赛）设D、E分别在ABC的边AC与AB上，BD与CE交于F，AEEB，40，求例5（，第七届“祖冲之杯”数学邀请赛）图中，ABC的B的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BEAD4，求ABC的三边例6（，93年第19届全俄中学生竞赛）在梯形ABCD的对角线AC的延长线上任意取一点P，过P点及梯形两底中点的直线分别交腰AB及CD于M、N点，求证：线段MN与梯形的底平行；例7（）如图，已知，求证：BPQDPQ例8（）如图ABC的A的外角平分线与边BC的延长线交于P点，B的平分线与边CA交于Q点，C的平分线与边AB交于R点，求证：P、Q、R三点共线例9（，笛沙格（Desargues）定理）若ABC与ABC的对应顶点连线AA，BB，CC相交于一点O，则对应边BC与BC，CA与CA，AB与AB的交点D、E、F共线三、 例题部分塞瓦定理及逆定理的应用例10（）求证：（1）三角形的三条中线共点（重心）；（2）三角形的三条内角平分线共点（内心）；（3）锐角三角形的三条高所在的直线共点（垂心）；例11（，78年全国高中竞赛）在ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DEBC，设BE与CD交于S，求证：AS通过BC边的中点M例12（）ABC中，M是BC的中点，AD平分A，BEAD于E，BE交AM于N，求证：DNAB例13（）试证：过三角形三顶点且平分三角形周长的三条直线共点例14（，99年全国联赛）四边形ABCD中，对角线AC平分BAD，在CD上取一点E，连BE交AC于F，延长DF交BC于G，求证：GACEAC；四、 练习题1（）在ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R，满足AQ:QB2:1，AR:RC1:2，连结QR交CB延长线于P，那么PC:PB等于（ ）A4:1B2:1C1:4D1:22（）ABCD为平行四边形，BC12，DC10，对角线AC与BD交于O，E是BC延长线上一点，且CE4，OE交DC于F，那么CF的长是（ ）A1B2C0.5D33（）已知M、N分别在ABC的边AC、AB上，且MNBC，BM、CN交于O点，连结AO并延长交BC于D，那么BD:DC（ ）A大于1B小于1C等于1D以上都可能4（）在ABC中，如果AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD、BE、CF相交于一点，那么等于_；5（）在ABC的BC边上任取一点D，设ADB、ADC的平分线与AB、AC分别相交于F、E，求证AD、BE、CF交于一点；6（）在ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DCm：1，CE：EAn：1，AD与BE相交于F，那么_；7（）在ABC中，D是BC上的点，E是AC中点，AD、BE相交于点O，CO交AB于F，求四边形BDOF的面积与ABC的面积之比8（）在面积为1的ABC的三边上分别取D、E、F，使，连结AD、BE、CF交出MNP，试求9（，2005年全国初中数学联赛）锐角三角形ABC中，AB>AC，CD、BE分别是AB、AC边上的高，DE与BC的延长线交于T，过D作BC的垂线交BE于F，过E作BC的垂线交CD于G，求证：F、G、T三点共线