奥数新讲义-一元二次方程-根与系数的关系2(师).docx

第2讲 一元二次方程2：根与系数的关系根与系数的关系应用很广，很多题目不仅涉及根与系数的关系，还综合了整数的性质（奇偶性、质数等）、因式分解等内容，具有一定的技巧性.一、 基础知识1韦达定理若一元二次方程有两个根，则与方程的系数a、b、c之间有以下关系：；这是法国数学家韦达（15401603年）发现的定理.反之，若；，则以为根的一元二次方程为更一般地，如果一元n次方程的根为，那么2根与系数的关系的应用一元二次方程的根与系数的关系应用十分广泛，常见的类型如下:(1) 已知方程的一个根，求方程的另一根及方程中的字母系数；(2) 已知两根之间的关系，求方程中字母的取值和取值范围或字母之间的关系；(3) 判断一元二次方程实根的符号；(4) 不解方程，求一元二次方程两根的有关代数式的值；(5) 已知两根，求作一元二次方程；(6) 非一元二次方程问题中构造一元二次方程解题.二、 例题部分例1（）已知方程的一个根为2，求另一个根；【解】设另一个根为，则，检验：，方程的另一根为例2（）方程的两根的比为3:4，判别式的值等于2，求此方程的二根.【解】：设方程的二根为3k，4k，则，即，又，解得所求的二根为或例3（）已知关于x的二次方程的两个实根为，且，那么p的值为多少？【解】：依题意，得；又即，例4（，91年希望杯初二1试）当时，方程的根的情况是（ ）A两负根B一正根、一负根且负根的绝对值大C一正根、一负根且负根的绝对值小D没有实数根【解】当时，易得设方程两根为，则，表示方程两根一正一负；又，表示负根绝对值小于正根，故选C例5（）已知方程，k为实数，试证明此方程有两实根，并判断两实根与1的大小关系；【解】：，此方程有两实根；不妨设为，由韦达定理，得：考虑的积的正负性，则有当k0时，方程化为，此时一根等于1，一根大于1；当k0时，知一正一负，即中一个大于1，一个小于1.例6（，第9届“祖冲之杯”）如果二次方程有两个相等的实根，那么_；【解】：常规思路是根据判别式为0进行推导，化简得到，则，但是比较麻烦，观察可知方程系数和为0，说明是方程的解，由于方程有两个相等的实根，另一根也是1，化简得，例7（，94年希望杯初二2试）已知关于x的二次方程的两个实数根的平方和为，则a的值为_；【解】：设两根为，则整理（b）得，解得或将a3代入(a)式，得；将a11代入(a)式，得，不满足；a的值为3例8（，第七届“祖冲之杯”）若m、n是二次方程的两个根，试求的值；【解】：m、n是二次方程的两个根；例9（，98年江苏省竞赛）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两根为2和4，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为1和4，那么的值为_；【解】：由于乙只是看错了某一项系数的符号，因此当二次项系数化为1时，方程与方程只相差某一项或两项系数的符号.依题意，设甲把方程看成了，由韦达定理：，即说明原方程中应该异号，或而当时，方程有实根，不符合题意，因此于是例10（）已知方程的两根为，求：（1）；（2）；（3）【解】：由韦达定理得；（1）；（2）；（3）例11（）已知二次方程的两根为，求：（1）；（2）；（3）；（4）【解】由韦达定理知（1）；（2）；（3）；（4）拓展（）a、b、c为方程的三根，求：（1）；（2）【解】由韦达定理可知：；（1）（2）例12（）已知二次方程的两根为，求作：（1）以为根，二次项系数为1的二次方程；（2）以为根，二次项系数为1的二次方程；（3）以为根，二次项系数为1的二次方程；【解】：由韦达定理得：（1），故所求以为根，二次项系数为1的二次方程为：（2），故所求以为根，二次项系数为1的二次方程为：（3），故所求以为根，二次项系数为1的二次方程为：例13（）已知方程，求作一个二次方程，使它的一个根为原方程两根和的倒数，另一根为原方程两根差的平方；【解】设为的两根，由韦达定理得：；设所求方程为，并设其两根为，则；则求作的方程是例14（，91年希望杯初二2试）已知，且，且，则的值为多少？【解】依题意a是方程的一个根；b是方程的一个根；也可看作是的根，或者说是的根；a和是方程的两个根，由韦达定理：【注：保证了a和是方程的两个不等的实根】例15（，1990年希望杯初二2试）已知a、b、c满足，则c的取值范围是_；【解】由已知，得故a、b可以看作的两个实根；由于所以或，即或例16（）已知x、y是实数，且，求代数式的取值范围【解】设，又，；又，则因而x、y是方程的两个实数根；即综上三、 练习题1（，第4届希望杯）若方程的两根之积等于1，则a的值是（ ）ABCD【解】B2（，第2届希望杯）两个质数a、b是关于x的整系数方程的两个根，则等于（ ）A2213BCD【解】D3.(，第10届江苏省竞赛)设是方程的两个实数根，且，则k的值是（ ）A3或1B3C1D的实数【解】C4()若关于x的方程有两个不相等的实数根，且两根之差的平方小于1，那么实数m的取值范围是（ ）ABCD【解】D5（）已知二次方程的两根为，求作以为根，二次项系数为1的二次方程_；【解】；以为根，二次项系数为1的二次方程为6（，1996年全国竞赛）设是方程的两个根，则的值是_；【解】是方程的两个根，；即；又7（，12届江苏省竞赛）已知关于x的一元二次方程没有实数根，甲由于看错了二次项系数，求得两根为12和4，乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为2和6，那么的值为_；【解】设甲将a误看成d，由根与系数关系可知,由于原方程没有实数根，而一次项系数的符号不影响判别式的值，因此乙看错的是a或c的符号，从而有：，即，于是8（）已知及，求的值【解】：答案9（，98年黄冈）已知实数a、b、c满足，则的最小值是_；初中数学竞赛同步辅导第三分册，P22，例2答案：最小值410（，加拿大第10届中学生奥林匹克）已知x、y、z为实数，且，求z的最大值和最小值；奥赛金牌题典初中数学，广西师范大学出版社，P41，103题答案：最大值，最小值-1