奥数新讲义-三角函数-第6讲解直形师.docx

第六讲 解直角三角形解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定、和作图有着密切的联系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角的大小和面积等.锐角三角函数的定义本质上揭示了直角三角形中边角之间的关系，它是解直角三角形的基础，每个边角关系式都可以看作方程，因此解直角三角形可以根据已知条件，正确地选择直角三角形中边角关系式，通过方程进行求解。一、 基础知识1 0°,180°角三角函数的定义在角所在平面上作直角坐标系，使原点在的顶点，x轴正半轴Ox在的始边上（从而y轴确定），再在的终边上任意取一点P，设P点坐标为（x, y），那么它到原点的距离，定义：由此可见，当0°90°时，该定义与三角形内的锐角三角函数定义是一致的；注意，当90°180°时： 0°30°45°60°90°120°135°150°180°sin010cos101tan01不存在10cot不存在101不存在2 勾股定理在ABC中，ABc，BCa，CAb，如果C90°，那么就有；反之，如果，那么ABC为直角三角形，且C90°.3 正弦定理在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么4 余弦定理在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么；注意勾股定理可以看作余弦定理的特例.二、 例题部分解直角三角形例1（）在直角三角形ABC中，C90°，AD是A的平分线，且CD，DB，求ABC的三边长.奥数教程初三年级P100，例2例2（）如图，在RtABC中，C90°，AD是BC边上的中线；（1）若BD，B30°，求AD的长；（2）若ABC，ADC，求证：tan=2tan.例3（）在RtABC中，C90°，AD是BAC的平分线；（1）若，求B；（2）在（1）的条件下，若BD4，求ABC的面积.例4（）在RtABC中，C90°，D为BC上一点，ABC45°，ADC60°，BD1，求AB；例5（）如图，三角形ABC中，CDAB，DEAC，且A，AE1，求AB的长；例6（，1999年全国联赛）在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且NMBMBC，求tanABM.初中数学竞赛同步辅导第三分册P187，例2三、 练习题1（）如图，在ABC中，BC10，B60°，C45°，则点A到BC边的距离是（ ）ABCD【解】C2（）如图，D是ABC的边AB上的点，且BD2AD，已知CD10，sinBCD，那么BC边上的高AE等于（ ）A9【解】AB8C12D63（）在ABC中，B60°，AB6，BC8，则ABC的面积是（ ）AB12CD【解】A4（）如图在ABC中，C90°，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC；（1）求DC的长；（2）求sinB的值.【解】5（）已知在四边形ABCD中，ADCD，AB7，tanA2，DB90°，求BC的长。奥数教程初三年级P101，例3四、 例题部分正弦定理，余弦定理补充正弦定理、余弦定理的证明，参考奥数教程第三分册P92、P97例7（）ABC中，ABc，BCa，CAb，求证：【证明】：作高线即可；例8（）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且；求sinA:sinB:sinC.奥数教程第三分册P93例9（，85年全国联赛）如图，O为凸五边形ABCDE内一点，且12，34，56，78，求证：9与10相等或者互补；例10（）ABC中，sinA : sinB，且，求ABC的度数；数学奥林匹克初中版新版，提高篇，P106，例1例11（，82年上海）已知ABC中，AD、BE、CF为高，H为垂心，求证：（1）；（2）全国初中数学竞赛试题分类集锦几何分册，P195，答案P202例12（）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，求证：【证明】：，由余弦定理，得，再分解因式即可；例13（）已知凸四边形边长分别为a、b、c、d，对角线相交所成的锐角为45°，若S为四边形的面积，求证：例14（，2000年全国联赛）如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH所夹的锐角为，且BEG与CFH都是锐角，已知EGm，FHn，四边形EFGH的面积为S；（1）求证：；（2）试用m、n、S来表示正方形ABCD的面积.初中数学竞赛同步辅导第三分册P189，例4五、 练习题6（）在ABC中，A30°，CB60°，若BCa，则AB的长是（ ）ABCD初中数学竞赛同步辅导第三分册，P192，（2）7已知ABC中，B为60°，C为75°，ABC的面积为，若BCa，则a等于（ ）A1BC2D初中数学竞赛同步辅导第三分册，P192，（5）6（）在ABC中，BCa，ACb，ABc，C90°，CD和BE是ABC的两条中线，且CDBE，那么a：b：c（ ）A1：2：3B3：2：1CD奥数教程初三年级，P106，67（）如果三角形的三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，并满足a cosAb cosBc cosC，那么这三角形一定是（ ）A等边三角形B以a为斜边的直角三角形C以b为斜边的直角三角形D上述都不对全国初中数学竞赛试题分类集锦几何分册P194，二28可再用初中数学竞赛同步辅导第三分册P192194的几道题目