奥数-乘法公式-第1讲教师版.docx

乘 法 公 式 1一、推导、观察与探索【例 1】 推导的展开式，并总结公式.【解析】 或.帮助学生认清每一项是由哪一部分产生的！【变式】根据例题结论请直接写出下面式子的答案.【例 2】 推导、的公式，比较、的公式，并探索规律.【解析】 观察上述三个公式，可发现如下规律： 一、项数：设字母（或者说元）的个数为，则公式的展开式的项数为； 二、次数：每个公式的展开式中的每一项的次数均为2； 三、系数：每个公式中每个字母的二次项的系数为1，其余均为2. 根据上述规律，可写出任意个字母的完全平方公式.【变式】利用例题得出的规律推导、的展开式.【解析】令中，也就是以替换可得， 同理可知， 根据例题中归纳出来的规律，的展开式共有15项，所有字母的二次项的系数均为1，其他项的系数均为2，每一项的次数均为2，由上述特点可知【例 3】 推导的公式，比较、，并探索规律.【解析】； ； 观察上述几个公式，可以发现如下规律： 一、项数：公式展开后的项数等于公式左端的指数加1； 二、次数：展开式中字母的次数均等于公式的指数，比如完全平方公式的指数为2，则展开式中字母的次数也都是2，展开式按的降幂排列的同时，按的升幂排列. 三、系数：首末两项的系数都是1，且这三个公式的展开式中各项系数满足右图.右图中的系数表叫做杨辉三角（杨辉是我国宋朝数学家，写有详解九章算术一书.）【变式】利用例题得出的结论和相关规律推导、的展开式.【解析】，以替换上述公式中的可得 由例题中归纳出的结论可知，有6项，每一项的次数均为5，各项系数根据杨辉三角可知，分别为1，5，10，10，5，1，故.随练1. 填空：；.【解析】 ；.拓展：=. 填空：；.【解析】 ；.二、三元完全平方公式的运用【例 4】 计算：；填空：；【解析】； .，；，.【例 5】 (河南省中考题)已知，求代数式的值.【解析】 由，可知， 故【例 6】 (06浙江宁波中考题)已知，求的值.【解析】 由可知，故.【例 7】 (第届希望杯培训试题)已知三个数满足方程，求.【解析】 三式相加，得，所以，.拓展：，为有理数且，求的值【解析】 先将已知等式的等号两边分别展开，得：左边；右边对等号两边合并同类项，得即因为，均为实数所以，故.随练3.（广西竞赛题）已知，则_.【解析】 解法一：由已知条件可知，故，. 解法二：由已知条件可知，故，.随练4.（第届希望杯试）若，则 【解析】随练5. 如果，是三边的长，且，那么是( )A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 形状不确定【解析】 已知关系式可化为，即，所以，故，.即选A三、立方和（差）、和（差）立方公式的运用立方和公式：；立方差公式：；和的完全立方公式：；差的完全立方公式：.【例 8】 计算：；【解析】 ； 【例10】 利用立方和、立方差公式填空：；.【解析】 ；，.【例11】 (第八届“祖冲之杯”初中数学竞赛)已知，求的值【解析】 由， 随练6. 计算：【解析】 ；.随练7. 若，求的值.【解析】 解法一：由，故 从而可知， 解法二：由，故随练8. (山西长治初中数学竞赛)已知，求的值【解析】 由，得，即所以四、巧用倒数法【例12】 已知：，求的值.已知：，求的值.【解析】 ，即，即，拓展：设，求的值.【解析】 ，所以【例13】 已知：，求；的值.【解析】 ，即，【例14】 若，则=_.【解析】 【例15】 若，则=_.【解析】 ，.随练9.已知，求、的值.【解析】 由可知， ，又，故 另外，求出之后，结合可知，故.随练10.(101中学期中考试试题)已知，则=_.【解析】 ，随练11. 设，求的值.【解析】 由条件知，因而，即，随练12. 若，求的值.【解析】 解法一：由可知， 解法二：，又，故.角谷猜想角谷静夫是日本的一位著名学者。他提出了两条极简单的规则，可以对任何一个自然数进行变换，最终使它陷入“4-2-1”的死循环。角谷提出的变换法则是：1.当是奇数时，下一步变为；2.当是偶数时，下一步变为。人们把它称为“角谷猜想”。任举几个例子试试看：当N是一位数6时，按规则应变为：66÷233×3+11010÷255×3+11616÷288÷244÷222÷211×3+144÷222÷21最后落入“4-2-1”的死循环。当N为两位数，如46，应变换为：4646÷22323×3+17070÷23535×3+1106106÷25353×3+1160160÷28080÷24040÷22020÷21010÷255×3+11616÷288÷244÷222÷21又落入了“4-2-1”的死循环。不必列举更多的例子，迄今为止，人们还没有遇到例外情况，试验过的数，最终都停留在一个永无休止的循环圈：4-2-1 但是，自然数浩如烟海，对角谷猜想，目前谁也不能证明，更不能否定。