奥数线段与角.docx

直线、射线、线段、角1 直线、射线、线段（1） 在直线的基础上定义射线、线段；直线上的一点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点。 直线上两点间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。（2） 在线段的基础上定义直线、射线。把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线。2 两个重要公理(1) 经过两点有一条直线，并且只有一直线，也称为“两点确定一条直线”。(2) 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”。3 两点之间的距离：连接两点之间线段的长度。4 表示方法(1) 我们经常用大写的英文字母表示点：A,B,C,D(2) 直接的表示方法 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序，如直线AB，如图340（1）也可以写作直线BA。 用一个小写字母来表示，如直线l，如图3-40（2）。(3) 射线的表示方法： 用两个大写字母来表示第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点如射线OA，如图3-41(1)，但不能写作射线A0 用一个小写字母来表示，如射线l，如图3-41(2)(4) 线段的表示方法： 用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，无先后顺序之分，如线段AB，如图3-42(1)，也可以写作线段BA 也可以用一个小写字母来表示：如线段l，如图3-42(2)5 直线、射线、线段的主要区别6 中点：把线段分成相等两条线段的点叫做这个线段的中点【例1】 如图343所示根据要求作图：(1)连结AB；(2)作射线AC；(3)作直线BC 解 如图344所示 本题重点考查对直线、射线、线段的理解 注意连结AB表示“作线段AB”【例2】 平面上有四个点，经过两点画一条直线，则可以画几条直线?分析 解决本题时需要注意分类： 第一种情况，当四点在同一条直线上的时候，显然只能画一条直线，如图345(1) 第二种情况，当三点在同一条直线上的时候，而另一点却不在这条直线上，则可以画四条直线，如图345(2) 第三种情况，当任何三点不共线的时候，可以画六条直线，如图345(3)解 l或4或6【例3】 如图347，已知线段AB=lOcm，C是线段AB上任意一点，M是AC的中点，N是BC的中点，求MN的长度解 M是AC的中点MCACN是BC的中点CNBCMC+CN=AC+BCMC+CN=MN,AC+BC=ABMN=ABAB=10cmMN=×105cm答 线段MN的长度为5cm。注意: (1)对于很多同学来讲，此题是道极其简单的题目，直接到算式“10÷25”便完成了此题，实际上“l0÷2=5”这个算式便是解决该问题的核心，前面的大部分文字及推理过程都是为了说 明“10÷25”为什么是正确的这些文字说理就是我们学习几何的基本功 (2)做几何题不仅要注意题目中的已知条件“两个中点”，同时也要注意图形自身存在的条件：“整体和部分之间的关系”即“MN=MC+CN，ABAC+BC”(3)几何语言是丰富多彩的，关于M是AC的中点，我们可以得到五个结论：AM=CM，AMAC，CM=AC，AC=2AM，AC=2CM我们应该学会从中选择一个对于解决该问题有利的结论【例4】 如图351，设A、B、C、D为4个居民小区，现要在四边形ABCD内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小，说明理由. 解 应该建在AC、BD的交点P上，如图352所示 首先我们使购物中心到A和C的距离之和最小，那么购物中心就应该建在AC线段的某点处这是因为如果点P不在AC上，根据两点之间，线段最短，可以知道PA+PC>AC同时我们也能看出，购物中心建在线段AC上的任意一点，都可以保证购物中心到A、C距离之和最小 同理，购物中心若到B、D之和距离最小，也必须建在线段BD上，这样购物中心就必须建在AC、BD的交点上练习：1 下列叙述正确的是（C）A可以画一条长5cm的直线B一根拉紧的线是一条直线C直线AB经过C点在直线AB上是一个意思D直线AB与直线BA是不同的直线2 已知平面上任意四点A、B、C、D过其中每两点画一条直线，共可以画（D）A6条B4条C6条或4条D6条，4条或1条3 点C在线段AB上，现有4个等式：（1）AC=BC，（2）BC=AB，（3）AB=2AC,(4) AB=2CB,其中能表示点C是线段AB的中点的有（C）A1个B2个 C3个 D4 个4 线段AB延长到C，使AB=AB,延长BC到D，使CD=BC，若AD=70cm，则AB的长为（D）A20cm B28cm C36cm D40cm角的度量1 角的定义 有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.2 角的表示方法 利用三个大写字母来表示，如图372 注意 顶点一定要写在中间也可记为BOA，但不能写成BAO或ABO等 利用一个大写字母来表示，如图373 注意 用一个大写字母来表示角的时候，这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角有且只有一个 用数字来表示角，如图374 用希腊字母来表示角，如图375 3 角度之间的关系1周角=360° 1平角180° 1直角90°1周角2平角 1平角2直角4 单位换算 l度60分(1°60) 1分=60秒(160)【例5】 在图377中，角的表示方法正确的是 ( )AA BB CC DD解 B说明 本题考查用一个大写英文字母表示角，这种表示角的方法相对于三个大写英文字母来说，简单一些，但是要注意，以该字母为顶点的角必须只有一个故本题选B；【例6】 计算题(1)51°49+24°21 (2)39°41-24°45 (3)23°1342×3 (4)12°13÷4 解 (1)51°49+24°2175°7076°10(2)39°41-24°4538°101-24°4514°56(3)23°1342×369°416(4)12°13÷43°315注意 度分秒计算过程中是“逢60进1”，在减法运算中是“借1当60”，在计算乘法时，有时稍显得繁杂一点，我们可以采用如下方式：做除法运算时，也需要注意单位的转化【例7】 (1)3243° ° (2)65°4312 °解 (1) 首先在第一个空上填上32，然后计算(3243°-32°)043°，043°O43×60258在第二个空填上258上的整数25(25825)08，08×60=48，所以在第三个空上填上48因此得到答案：3243°32°2548(2) 这是如何把度分秒形式的度数转化成小数的形式，首先把12化为分，即12÷6002，43+02432再把分化成度432÷60072°所以65°43126572° 练习1. 如图379，下列角除了用三个大写字母表示外，还可以用一个大写字母表示的是 ( C )ABDC BADC CABC DACB2. 20°15的一半是 ( D )A10° B10°7 C10°8 D10°7303. (1)77°42+34°45 112°27 ；(2)108°18-56°23 51°55 ；(3)180°-(34°54+21°33) 123°33 4. 如图384，指出OA表示什么方向的一条射线，仿照这条射线画出表示下列方向的射线：(1)南偏东60°；(2)北偏西70°；(3)西南方向(即南偏西45°)解：OA表示北偏东40°,如图3154 角的比较与计算1. 余角和补角 如果两个角的和等于90°就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角 如果两个角的和等于180°,就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2. 两个基本定理 等角的补角相等(同角的补角相等) 等角的余角相等(同角的余角相等)3. 两个补充内容 邻补角，如图387，由一个角的一边及另一边的反向延长线构成的角是原角的邻补角 对顶角：如图388由角的两边的反向延长线构成的角是原角的对顶角：如1和2，因为1和2都和3是邻补角，根据同角的补角相等，可知12，因此可得到对顶角相等4. 角平分线从个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分线如图389，12，则OC就是AOB的角平分线5. 方向角以正北、正南的方向为基准如图390指向北偏东30°，图391指向南偏东65°【例8】 如图392，在直角ABC中ACB90°，CDAB于D求证：ADCB(提示：利用三角形内角和为180°)证明 A+B+ACB180°， ACB90° A+B180°一90°90° DCB+B+CDB180°，CDAB CDB90，DCB+B180°一90°90° ADCB【例9】 如图393，已知A0B90°，BOC40°，OD是AOC的平分线，求BOD解 AOB=90°，BOC=40° AOCAOB一BOC90°一40°50° OD是AOC的平分线 COD =A0C（AOC） =×50°=25°BOD=BOC+COD=40°+25°=65°【例10】 一个3×3的正方形如图394所示，其中1、2、39九个角，你能想出一个巧妙的方法求出这九个角的和吗?分析 3、5、7都是一个直角等腰三角形的锐角，所以3=5=7=45°把这个图形沿着一条对角线对折，由对称性可知1=因为+9=90°，所以1+9=90°同理可知2+6=90°，4+8=90°解 3=5=7=45°，1+9=2+6=4+8=90° 1+2+9 =(1+9)+(2+6)+(4+8)+(3+5+7) =3×90°+3×45° =405°练习1. 如图397，AOC40°，B0D50°，0M平分AOC，0N平分BOD，则MON是 ( A )A135° B140° C160° D165°2. 如图399，已知OAOB，OCOD，BOCAOD，则BOC ( A )A225° B305° C45° D165°3. 如果1和2互补，且1：25：4，则1-2 20° 。