奥数因式分解.doc

一、常用公式：序号公式记忆特征1x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)（十字相乘法）(1) 常数项两数积(2) 一次项系数两数和(3) 二次项系数为12a2-b2=(a-b)(a+b)（平方差公式）3a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2（完全平方公式）4a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2（完全平方公式扩展）(1)三数平方和(2)两两积的2倍5a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a2b-3ab2+b3=(a-b)3（完全立方公式）对照完全平方公式相互加强记忆6a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(1) 近似完全平方公式(2) 缺项之完全立方公式(a+b)(a+b)2-3ab=(a+b)3-3ab(a+b)(a-b)(a+b)2+3ab=(a-b)3+3ab(a+b)7a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)对照公式4相互加强记忆8an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)n=整数（平方差公式扩展）(1) 短差长和；(2) a指数逐项递减1；(3) b指数逐项递增1；(4) 长式每项指数和恒等于n-1。9an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)n=偶数（立方差公式扩展）(1) 短式变加长式加减相间；(2) a指数逐项递减1；(3) b指数逐项递增1；(4) 每项符号b指数决定偶加奇减。10an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)n=奇数（立方和公式扩展）对比公式9的异同公式1练习：第一组第二组第三组第四组第五组x2+6x+52x2+8x-10x3-8x2+15x2x2-x-3x2+2xy-15y2x2-x+423x2+3x-36x3+20x2+51x-3x2+11x-6x3+2x2y-15xy2x2+2x-355x2-10x-15x3-12x2+32x-4x2-8x-32x2-xy+3y2x2+4x-457x2-35x+42x3-11x2+30x6x2-2x-84x2-2xy+2y2二、常用因式分解方法1、提取公因式法2、运用公式法3、分组分解法4、十字相乘法5、拆项、添项法三、例题讲解1、提取公因式法例1x(a-b)2n+y(b-a)2n+1提示：(b-a)2n=(a-b)2n,(b-a)2n+1=-(a-b)2n+1解：原式=(a-b)2nx-y(a-b)=(a-b)2n(x-ay+by)例2(ax+by)2+(ay-bx)2+c2y2+c2x2提示：先展开再合并同类项解：原式=a2x2+2abxy+b2y2+a2y2-2abxy+b2x2+c2y2+c2x2（原式展开）=(a2+b2+c2)x2+(a2+b2+c2)y2（合并同类项）=(a2+b2+c2)(x2+y2)（提取公因式）2、运用公式例1x7y-xy7提示：先取公因式，然后用公式。用公式时注意尽量将指数降到最低（2或3最佳）解：原式=xy(x6-y6)（提取公因式）=xy(x3)2-(y3)2（公式2：平方差公式）=xy(x3-y3)(x3+y3)（公式6：立方和/差公式）=xy(x-y)(x2+xy+y2)(x+y)(x2-xy+y2)例2(a+2b+c)3-(a+b)3-(b+c)3提示：第一个多项式为另外两个多项式之和原式=(a+2b+c)3-(a+b)3+(b+c)3（添括号形成立方和的形式）=(a+2b+c)3-(a+2b+c)(a+b)2-(a+b)(b+c)+(b+c)2（应用立方和公式展开）=(a+2b+c)(a+2b+c)2-(a+b)2+(a+b)(b+c)-(b+c)2（提取公因式a+2b+c形成平方差公式）=(a+2b+c)(2a+3b+c)(b+c)+(a+b)(b+c)-(b+c)2（提取公因式b+c）=(a+2b+c)(b+c)(2a+3b+c)+(a+b)-(b+c)（合并化简）=3(a+b)(b+c)(a+2b+c)例3若x=，y=，则x6+y6的值是：解：x6+y6=(x2)3+(y2)3=(x2+y2)(x2)2-x2y2+(y2)2（应用立方和公式）=(x2+y2)(x2+y2)2-3x2y2（应用完全平方公式）x2+y2=()2+()2=4,3x2y2=3×()2×()2=6x6+y6=4×(426)=403、分组分解法提示：合理适当地分组产生公因式。关键之处在合理分组，多尝试不同地分组以触动灵感。1) 按系数分组例2ax-10ay+5by-bx=(2ax-10ay)+(5by-bx)=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)2) 按字母分组例x3(a+1)-xy(x-y)(a-b)+y3(b+1)=ax3+x3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+y3（去括号）=ax3-axy(x-y)+bxy(x-y)+by3+x3+y3（适当分组）=(ax3-ax2y+axy2)+(bx2y-bxy2+by3)+(x3+y3)（去括号化简）=ax(x2-xy+y2)+by(x2-xy+y2)+(x+y)(x2-xy+y2)（提取公因式及应用立方和公式）=(x2-xy+y2)(ax+by+x+y)3) 按次数分组例(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)=(xy-1)2+(x+y)-2)(x+y)-2xy（分组）=(xy-1)2+(x+y)2-2xy(x+y)-2(x+y)+4xy（多项式相乘）=(xy-1)2+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)+4xy（提取公因式整理）=(xy-1)2+4xy+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)（再次分组）=(xy)2-2(xy)+1+4(xy)+(x+y)2-2(x+y)(xy+1)（完全平方公式展开）=(xy+1)2-2(xy+1)(x+y)+(x+y)2（合并后得到新的完全平方）=(xy+1)-(x+y)2（再次应用完全平方公式）=(xy-x-y+1)25、添拆项法例1x5+x+1提示：原因无法直接应用任何公式，可通过添加-x2+x2后分组应用公式原式=(x5-x2)+(x2+x+1)（添加-x2+x2后分组）=x2(x3-1)+(x2+x+1)（提取公因式）=x2(x-1)(x2+x+1)+(x2+x+1)（应用立方差公式）=(x2+x+1)x2(x-1)+1（提取公因式）=(x2+x+1)(x3-x2+1)例22x4-15x3+38x2-39x+14提示：把-15x3拆成-13x3和-2x3，把38x2拆成13x2和25x2，把-39x拆成-25x和-14x，分组提取公因式原式=2x4-2x3-13x3+13x2+25x2-25x-14x+14（拆项分组）=2x3(x-1)-13x2(x-1)+25x(x-1)-14(x-1)（各自提取公因式）=(x-1)(2x3-13x2+25x-14)（提取公因式x-1）=(x-1)(2x3-7x2-6x2+21x+4x-14)（再次拆项）=(x-1)x2(2x-7)-3x(2x-7)+2(2x-7)（分组各自提取公因式）=(x-1)(2x-7)(x2-3x+2)（提取公因式2x-7）=(x-1)(2x-7)(x-1)(x-2)（对进行x2-3x+2十字相乘分解）=(x-1)2(x-2)(2x-7)真题精解：1） 已知多项式ax3+bx2+cx+d除以x-1时的余数是1，除以x-2时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2)时所得的余数是什么？（第12届“希望杯”试题）解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n)，当x=1时，原式=1，即m+n=1；当x=2时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n的方程组得m=2,n=-1，故原式除以(x-1)(x-2)时的余数为x-12） k为何值时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解成两个一次因式的积？（天津市竞赛试题）解：原式中不含y的项为x2+3x+2可分解为?(x+1)(x+2)，故可设原式=(x+1)+ay(x+2)+by，将其展开得：x2+(a+b)xy+aby2+3x+(2a+b)y+2，与原式对比系数得：a+b=-2,ab=k,2a+b=-5，解之得a=-3,b=1,k=-33） 如果x3+ax2+bx+8有两个因式x+1和x+2，求a+b的值。（美国犹他州中学竞赛试题）解法1：设原式=(x+1)(x+2)(x+k)，展开后得：x3+(3+k)x2+(3k+2)x+2k，对比原式系数得a=3+k,b=3k+2,8=2k，所以a+b=4k+5=16+5=21解法2：因当x=-1或x=-2时，原式=0，分别代入后得a-b+8=0,4a-2b+8=0，解得a=7,b=14，故a+b=14真题实练：1下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）A.(x+1)(x-1)=x2B.(a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)C.ab-a-b+1=(a-1)(b-1)D.m2-2m-3=m(m-2-3/m)（第8届“希望杯”试题）（提示：本题简单，因式分解的概念）2下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（）a2b2-a2-b2-1x3-9ax2+27a2x-27a3x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b3m(m-n)+6n(n-m)(x-2)2+4xA.B.C.D.（第10届“希望杯”试题）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）3设bc，且满足()(a-b)+(b-c)=a-c，则的值（）A.大于零B.等于零C.小于零D.正负号不确定（第12届“希望杯”试题）（提示：按(a-b)和(b-c)重新整理分组合并）4已知x2+ax-12能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a的个数是（）A.3个B.4个C.6个D.8个（第7届“希望杯”试题）（提示：对-12以十字相乘法拆分穷举）5y-2x+1是4xy-4x2-y2-k的一个因式，则k的值是（）A.0B.-1C.2D.4（第14届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）6将多项式x2-4y2-9z2-12yz因式分解结果是（）A.(x+2y-3z)(x-2y-3z)B.(x-2y-3z)(x-2y+3z)C.(x+2y+3z)(x+2y-3z)D.(x+2y+3z)(x-2y-3z)（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）7分解因式：x2-4y2-9z2-12yz=。（第9届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）8分解因式：x5+x-1=。（第9届“希望杯”试题）（提示：添项+立方和）9x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，则k=。（第10届“希望杯”试题）（提示：分组成每项都含x+1）10分解因式：xy-1-x+y=。（第10届“希望杯”试题）（提示：分组提取公因式）