奥数-等腰三角形和等边△-第十讲教师版.docx

第十讲 等腰三角形和等边三角形一、 基础知识1等腰三角形的性质及推论：（1） 等腰三角形的两底角相等（2） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）（3） 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于2等腰三角形的判定及推论：（1）从定义入手，证明一个三角形的两条边相等（2）从角入手，证明一个三角形的两个角相等（3）有一个角为的等腰三角形是等边三角形尤其要注意全等在等腰、等边三角形中的应用.二、名校真题回放1(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)如图，在中，它的周长为24，又于，的周长为20，则的长为多少？解答：82(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)在等边三角形中，分别在边上，,.请你判断的大小关系，并证明你的结论.解答： 3(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知：如图，中，为上一点，.求证：解答：利用三角形内角和. 4(北京市西城区2006年抽样测试八年级（上）试卷)已知的三边满足等式：，试说明是等腰三角形.解答：5. （2006年海淀区八年级第一学期期末测评）如图为一张梯形纸片,.将其沿对角线翻折后压平，和相交于点，则图中的等腰三角形有_,_（只写出两个正确结论）解答：，等等.三、活题巧解（一）等腰三角形的性质例1.（竞赛选题）在ABC中，AB=AC，A=100°，BD为B的平分线，求证：BC=BD+AD。 证明：在BC上截取BE=BD，截取BF=BA，连接DE，DFABFECAB=AC, A=100°,C=40°，DBC20°DEB=80°CDE=DEB-C=80°-40°=40°CDEC，DEEC 又AB=BF，ABD=FBD，BD=BD，ABDFBDDA=DF 又DFC=180°-DFB=180°-A=80°，DEB=DFC=80°，DE=OF 由的EC=ADBC=BE+EC=BD+AD例2（2002年上海市竞赛题）如图，相交于，平分，且，有以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）是等边三角形.其中正确的结论是什么？解答：（2）（3）例3 等腰ABC中，AB=AC，A=20°，D是AB边上一点，AD=BC，连接CDCADE求证：BDC=30°证明：作AEDBAC，连接EC，则AED=BAC 20°， DAE=ADE=B=ACB=80°CAE=DAE-BAC=80°-20°=60°又AE=AB=ACACE是一个多边三角形，有AE=EC=EDDEC=AEC-AED=40°EDC=（180°-40°）=70°BBDC=180°-（ADE+EDC）=30°例4（第11届“希望杯”试题）如图，在中，将折叠，使得点和点重合，折痕为，则的面积是多少？解答： 例5 （竞赛选题）ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，点D是ABC内一点，且DAC=DCA=150°求证：BD=BABACDE 证明：以AD为边在ADB由作等边AOE，连接BE，则1=2=3=60°，AE=ED=ADDAC=150°，EAB=90°-1-DAC=150°，DAC=EAB又DA=AE，AB=ACEABDAC，EBA=DCA=150°BEA=180°-EBA-EAB=150°BED=360°-BEA-AED=150°BEA=BED又BE=BE，AE=EDBEABEDBD=BA 例6(1997年天津市竞赛题)如图，是边长为1的等边三角形，点分别在上，且，连结，求证：的周长等于2.解答：延长至，使，连结.先证，再证.例7(2000年无锡市竞赛题)在中，过某一顶点的直线可将分成两个等腰三角形，试求各内角的度数.解答：共有4种情况，其内角相应度数为：（二）等腰三角形的判定例8(2002年泰州市中考题)如图，在中，分别为的角平分线，且相交于，则图中的等腰三角形有几个？解答：8个例9（第64届莫斯科数学竞赛题）如图，在ABC中，作出它的角平分线AK，中线BL和高CM，如果KLM是等边三角形，证明：ABC也是等边三角形ALCBMK证明： AMC是直角三角形，L是斜边AC中的中点。 AL=LC=ML 又ML=LK=MK AL=LC=LK ACK也是直角三角形 AKBC AK既是ABC的角平分线，又是它的高。 ABC是等腰三角形，AB=AC 又在RtBMC中，K是BC中点，BC=2MK=2KL=AC AB=BC=AC ABC为等边三角形例10（1999年江苏省竞赛题）已知是等边三角形，是延长线上的任意一点，也是等边三角形，若分别是线段的中点，求证：是等边三角形.解答：先证，再证，得到例11（1996年北京市竞赛题）三角形三边长满足，则三角形一定是（ ）A.等边三角形 B.以为底边的等腰三角形C.以为底边的等腰三角形 D.等腰三角形解答：把原式恒等变形，得到，故选D.例12（第3届“希望杯”试题）等腰三角形的周长为，一腰的中线将周长分成的两部分，则此三角形的底边长是多少？解答：分情况讨论，两种情况里舍去一种，解得底边长为例13（2001年唐山市中考题）如图，在中，为外一点，则与的大小关系如何？解答：延长至，使，连结.得到例14(1999年天津市竞赛题)如图，中，是边上的中线，是上的一点，且，延长交于，求证：解答：延长至，使，连结.BCADNEFM例15（第11届初二培训）如图，已知等边三角形ABC内有一点N，NDBC，NEAB，NFAC，D，E，F都是重足，M是ABC中异于N的另一点，若P1=ND+NE=NF，P2=MD=ME=MF，即P1与P2的大小关系是 。解：如图，连结AN，BN，CN的ABN，BCN，ACN，则SABC=SABN+SBCN+SACN设ABC的边长AB=BC=CA=a，高为h则ah=a·NE+a·ND+a·NFND+NE+NF=h同理，LLM作MDBC，MFAC，MEAB可得：MD+ME+MF=h又MDMD，MEME，MFMF，且其中至少有一个式子的等号不成立。P1=ND+NE=NF<MD+ME+MF=P2四、练习ACBMN1.（第10届初二希望杯试题）如图，C是线段AB上，在AB的同侧作等边三角形ACM和BCN，连结AN，BM，若MBN=38°，则ANB= 。解：由ACM与BCN均为等边三角形，知AM=CM=AC，CN=BN=BC，在ACN与MCB中，AC=MC，CN=CB，CAN=60°+MCN=MCB所以ACNMCB，ANC=MBC。因为MBN=38°，所以MBC=60°-38°=22°，ANB=ANC+CNB=82° 2(2005年银川市中考题)如图，以直角三角形的两直角边为一条边，分别作等边和等边，连接.求证：（1）；（2）.解答：证明3（2001年柳州市中考题）如图，在等边中，相交于点，于.求证：.解答：证明4（1998年南宁市竞赛题）如图，正三角形中，分别是的中点，为上任意一点，为正三角形.求证：.解答：连接5(2001年沈阳市中考题)如图，是平行四边形，以为边长在两侧各作一个正三角形，求证：为平行四边形.解答：，故，同理，6. （第7届初二第2试）如图，P是等边ABC中的一个点，PA=2，PB=，PC=4，则ABC的边长是 。解：如图，将BAP绕B点逆时针旋转60°，则BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处，所以BM=BP，MC=PA，PBM=60°。BACMP于是BAM是等边三角形，PM=PB=，在MCP中，PC=4，MC=PA=2，PM=所以 PC2=PM2=MC2，且PC=2MC。可知PCM是直角三角形，且CMP=90°，CPM=30°又PBM为等边三角形，BPM=60°，BPC=90°.BPC边为RtBC2=BP2+PC2=（）2+42=28，BC=ABC的边长为。 7.若ABC的边长是a、b、c，且满足a4=b4+c4-b2c2,b4=c4+a4-a2c2c4=a4+b4-a2b2，则ABC是（ ）（A）纯角三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形答案 D.8(2002年江苏省初二第二试)如图，在中，是上一点，于，交于，求证：是的平分线. 解答：延长相交于.五、难度系数（1）活题巧解题号12345星级题号678910星级题号1112131415星级（2）练习题号1234星级题号5678星级