奥数-平行四边形-7-9教师版.docx

第九讲 平行四边形 【例1】 考点突破角（1）在平行四边形ABCD中，的值可能是（ ）A B C D考点突破边 在同一平面内，从；， 这四个条件中任选两个，能使四边形是平行四边形的选法有（ ）A3 种 B4 种 C5 种 D6 种 考点突破对角线 下面给定的条件中，能画出平行四边形的是（ ） A以60cm 为一对角线，8cm、10cm 为两边邻边； B以6cm、10cm 为对角线，8cm 为一边； C以60cm 为一对角线，20cm、34cm 为两条邻边； D以20cm、36cm 为对角线，22cm 为一边 考点突破计算 的周长是120cm，对角线相交于点，比的周长小10cm， 则 ， 考点突破构造 已知三角形，若存在点使得以为顶点的四边形是平行四边形，则这样的点有 个若已知的周长为3 则以所有点围成的多边形周长为 . 考点突破面积 如图，平行四边形中,是形内任意一点，ABP，BCP，CDP，ADP的面积分别为则一定成立的是（ ） A B C D = + 考点突破应用 如图，四边形ACED为平行四边形，DF垂直平分BE，甲乙两虫同时从A点开始爬行到F点，甲虫沿着A-D-E- F的路线爬行，乙虫沿着A-C-B-F的路线爬行，若它们的爬行速度相同，则（ ）A甲虫先到 B乙虫先到 C两虫同时到 D无法确定【解析】 C B D AB35cm, BC25cm， 3，6 D C【例2】 已知：如图平行四边形ABCD ， E 、F 是直线BD 上两点，且DE = BF 求证：AE =CF （至少用2种方法解答）【解析】 方法一四边形ABCD是平行四边形， AD = BC，ADCBÐADB =ÐCBD，ÐADE =ÐCBFDE = BF DADEDCBF(SAS)， AE =CF 方法二：四边形ABCD为平行四边形， AB = DC，ABDCÐABD =ÐCDB又DE = BFDE + BD= BF + BD即EB = FDABECDF（SAS） AE =CF方法三：四边形ABCD是平行四边形，连结AC 交BD于O，则OA = OC，OB = ODDE = BF ，OD+ DE =OB + BF ，即：OE =OFÐAOE =ÐCOF，DAOEDCOF(SAS)， AE =CF 方法四：连结AC 交BD于O，分别连结AF 、EC 四边形ABCD是平行四边形，OA = OC，OB = ODDE = BF ，OD+ DE =OB + BF ，即：OE =OF四边形AECF 为平行四边形， AE =CF 【点评】 已知平行四边形求线段相等的问题，往往是利用已知平行四边形的性质，证三角形全等或构建新的平行四边形，得证线段相等此题可用多种方法解答，充分复习了平行四边形的性质及判定的重要性质【建议】前三种方法实质为同一种方法证全等，重点讲解方法四，传递一种新的思维方式：证明等量关系时，不再以全等三角形方法为首选，也可尝试构造平行四边形的方法【例3】 已知，在等腰ABC中，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BDEC，连结DE求证： 【分析】 结合铺垫题目及解答，很快得到解法一 【解析】 解法一： 过E作EGAB交BC延长线于G，连结DG，BE过D作于M，于N BDGE四边形BDGE为平行四边形 ， = 易证DFMEFNFMFNBMGNBMCNBCMN2FM DFFMDEBC 解法二思路：也可以平移线段DE或BC，造平行四边形，同时将BD、CE转移到同一三角形中 证明： 过B作BGDE，连结CG、GE，GE交BC延长线于H。四边形BDEG为平行四边形 在GCH中，【点评】 方法一本质是构造了以DE为对角线的平行四边形，实现将线段DE转移到线段BC所在直线上。【例4】 如图，在四边形ABCD中，ABCD，AB+BC=AD+CD 求证：四边形ABCD为平行四边形+【分析】 从已知条件出发，重点考虑AB+BC=AD+CD的应用结合所要证明的结论，我们只需证明ABCD先将ABCD，ADCD分别并为一条线段，所以我们分别延长AB、CD，使BEBC，DFAD，得AECF已知ABCD， 则 AECF 【解析】 证明：如图，延长AB至E，使BEBC，连结CE延长CD至F，使DFAD，连结AF。 即ABCD AECF四边形AECF为平行四边形 AF=CE， ，在ADF和CBE中 ADFCBE ABCD四边形ABCD为平行四边形。【例5】 在ABC中，AB =AC，D、E分别为AB、AC上任意两点，满足BDAE求证：。【分析】 本题形式简洁，条件少而分散，结论也不简单我们还是从结论突破， 由问题将已知条件串起来 思路一：联想两点之间线段最短，构造三角形，证明， 如图（1）；思路二：利用垂线段最短，造直角三角形，先需构造出的线段，如图（2） 【解析】 方法一：证明：如图（1），过B作BFDE，连结EF、CF。四边形BDEF为平行四边形 BDEF DAECEF（SAS） 根据两点之间线段最短：，方法二：证明：如图（2），取AB、AC中点M、N，连结MN过D作DFMN，交AC于F，过N作NGAB交DF于G MNBC，四边形DMNG为平行四边形 DMGN，DGMN =NGFADFABAC BC Ð=AMBMANCNDBAEADCE，ADAMCECN即DMENENGN GENNGEDFMN， MNBCDFAB ADFB，AFDCADFAFDNGFNFG在EGF中， 根据垂线段最短 DEDG DEMN,【例6】 (中考题）阅读下列材料： 小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图1 所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形 他的做法是：按图2 所示的方法分割后，将三角形纸片绕AB的中点O旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG 请你参考小明的做法解决下列问题： 现有5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图3 所示请将其分割后拼接成一个平行四边形要求：在图3中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）； 如图4，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E 、F、G、 H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连结AF 、BG、CH、 DE得到一个新的平行四边形MNPQ请在图4 中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）【分析】 依葫芦画瓢，照猫画虎 【解析】 拼接成的平行四边形是平行四边形ABCD（如图3）。 正确画出图形（如图4）平行四边形MNPQ的面积为。【例7】 已知：如图所示，在ABC中,D、G分别为AB、AC上的点，且BDCG,M、N分别是BG、CD的中点，过MN的直线交AB于点P，交AC于点Q，求证：APAQ 【分析】 不难发现，若连结DG则与铺垫题一样 【解析】 连DG，找DG的中点E，连ME、NE， M、N分别是BG与CD的中点。MEAB，NEAC， ，BDGC， EMEN， ， ， 【点评】 还可以取BC的中点方法总结：已知四边形对角线中点，则取一边中点，可出两条中位线 【例8】 （中考题改编）实验与探究 在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1， 2，3中的顶点的坐标，它们分别是（5，2）， ， ； 在图4 中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（点C坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）； 归纳与发现 通过对图1，2，3，4 的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 A(ab),B(cd), C(mn), D(ef) (如图4)时，则四个顶点的横坐标a,c,m,e之间的等量关系为 ；纵坐标b,d,n, f之间的等量关系为 (不必证明)；运用与推广 在同一直角坐标系中有三个点请求出所有使得以G,S,H,P为顶点的四边形是平行四边形的点P坐标.【解析】 分别过点A，B，C，D作x轴的垂线，垂足分别为,分别过A，D作于E，于点F 在平行四边形ABCD中，CDBA，又。 + 又 BEACFD,， 设C ( x，y) ,由得=ss由 得。（此问解法多种，如利用对角线互相平分，利用坐标中点公式） 若+ GS为平行四边形的对角线，由可得。若SH为平行四边形的对角线，由可得 。若GH为平行四边形的对角线，由可得 综上所述，符合条件的点有， 1. 如图，在ABC中，EF为ABC的中位线，D 为BC边上一点（不与B、C重合），AD与EF交于点O， 连接DE、DF。要使四边形AEDF为平行四边形，需要添加条件_.（只添加一个条件） 【解析】BDCD ，OEOF，DEAC等 = =2 平行四边形的一边的长为10cm,则这个平行四边形的两条对角线的长可以是( ). A. 4cm，6cm B. 6cm，8cm C. 8cm，10cm D. 10cm，12cm 【解析】 D 3 已知四边形ABCD中， AC交BD于点O，如果只给出条件“ABCD ”，那么还不能判定四边形ABCD为平行四边形，给出以下四种说法： 如果再加上条件“BCAD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形 如果再加上条件“”，那么四边形ABCD一定是平行四边形 如果再加上条件“AOOC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形 如果再加上条件“”，那么平行四边形ABCD一定是平行四边形 其中正确的说法是（ ）Ð=ÐA. 和 B. 、和 C. 和 D. 、和【解析】 C 4 如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，AC ，BD 相交于点O，于O，则DCE的周长为_ 【解析】 8cm 5 如图，E ，F 是平行四边形ABCD的对角线AC上的点， 请你猜想：BE与DF有怎样的位置关系和数量关系？并对你的猜想加以证明.【解析】 猜想：BEDF，BEDF = 证法一：四边形ABCD是平行四边形， 又CEAF，BCEDAF， Ð=Ð =BEDF.证法二：连接BD，交AC于点O，连结DE，BF.四边形ABCD是平行四边形，BOOD,AOCO = 又AFCE，AECF，EOFO，四边形BEDF是平行四边形BEDF且BEDF. = 6 已知：如图所示，在ABC中，AD平分,BE垂直AD延长线于E，M是BC中点.求证：【解析】 延长BE交AC的延长线于G，易证ABEAGEBEGE，ABAG又BMCM， 【习题编辑思路】有效复习平行四边形性质、判定及中位线应用