基于MATLAB软件的P-Q分解法潮流计算综述.doc

基于MATLAB软件的P-Q分解法潮流计算摘要电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种重要的分析计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各母线的电压，各元件中流过的功率，系统的功率损耗。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性，可靠性和经济性。所以，电力系统潮流计算是进行电力系统故障计算，继电保护整定，安全分析的必要工具。随着电力系统网络的急剧扩大和不断复杂，运用手算进行潮流计算已经不现实。但是，伴随着计算机技术的飞速发展，基于计算机的潮流计算也就应运而生了。这样，通过潮流计算，实现对系统的分析成为可能。本文结合潮流计算的三个基本要求，紧跟该领域的发展，介绍了基于MATLAB软件P-Q分解法潮流计算的程序，该程序用于粗略的计算中小型电力网络的潮流，实现对其的分析。本文所设计的程序，在计算中，所用的算法通俗易懂并对以往的主流算法做了一些改进，提高了计算速度。同时，该程序采用了GUI人机对话，将Excel表格、TXT文档与MATLAB程序紧密联系起来，使输入输出界面更加人性化。关键词：电力系统潮流计算；P-Q分解法；MATLAB软件Power flow calculation of P-Q mode based on MATLAB softwareAbstractPower flow calculation is one of the important calculations which are to study the operation of power system steady state analysis. It is based on the given operating conditions and system wiring to identify the various parts of the power system operating state: the buses voltage, the stream components power, system power loss. both power system planning design and operation of existing power system mode of study are need to use the power flow calculation to quantitatively compare the program or run mode power supply reasonable, reliability and economy. Therefore, the power flow calculation is an essential tool for a calculation of power system faults, protection setting, security analysis. with the rapid expansion of power system network and continuing to be more complex, using hand calculation for flow calculation has been unrealistic. But ,with the celerity development in computer technology, computer-based power flow calculation has also emerged. In this way, It is possible to analysis power system through the power flow calculation.Based on the three basic requirements of power flow calculation and followed by the development of the field, This paper introduces the PQ mode power flow calculation procedure based on MATLAB software .It is used for a rough calculation of the small and medium power network to achieve its analysis. The algorithm used in the procedure mentioned in this paper is more easy to understand and made some improvements to enhance the computing speed rather than the past. At the same time, the program uses the GUI man-machine dialogue. So Excel table, TXT documents is closely linked with the MATLAB program to make the input and output interfaces more humanity. Keywords:power flow calculation；P-Q decomposition mode；MATLAB software不要删除行尾的分节符，此行不会被打印目录 摘要IAbstractII第1章 绪论11.1 课题背景11.2 电力系统潮流计算11.2.1 电力系统潮流计算简介11.2.2 电力系统潮流计算的基本要求21.3 潮流计算的意义及其发展31.4 本次毕业设计主要工作4第2章 潮流计算的原理及具体算法过程62.1 电力网络的数学模型62.1.1 电力网络的基本方程62.1.2 导纳矩阵的形成72.1.3 电力网络中几种特殊的数学模型82.2 电力系统潮流计算112.2.1 电力系统潮流计算数学模型112.2.2 电力系统节点分类122.2.3 潮流计算的约束条件132.3 牛顿-拉夫逊法求解潮流计算132.3.1 牛顿-拉夫逊法原理132.3.2 P-Q分解法潮流计算15第3章 基于MATLAB软件 P-Q法潮流计算203.1 P-Q分解法程序框图203.2 计算步骤及实现各部分功能的程序213.2.1 原始数据的输入213.2.2 导纳矩阵及，形成233.2.3 计算不平衡功率Pi及修正相角i253.2.4 计算不平衡功率Qi及修正相电压Vi263.2.5 程序运行结果的输出27第4章 算例验证与分析284.1 算例说明及分析284.1.1 算例说明284.1.2 算例分析284.2 根据算例输入相应节点线路参数284.3 算例运行结果29结论32致谢33参考文献34附录36附录46附录63千万不要删除行尾的分节符，此行不会被打印。在目录上点右键“更新域”，然后“更新整个目录”。打印前，不要忘记把上面“Abstract”这一行后加一空行第1章 绪论1.1 课题背景电力是衡量一个国家经济发展的主要指标，也是反映人民生活水平的重要标志，它已成为现代工农业生产、交通运输以及城乡生活等许多方面不可或缺的能源和动力。电力系统是由发电、输电、变电、配电和用电等环节组成的电能生产与消费系统。它的功能是将自然界的一次能源通过发电动力装置转化成电能，再经输电、变电和配电将电能供应到各用户。为实现这一功能，电力系统在各个环节和不同层次还具有相应的信息与控制系统，对电能的生产过程进行测量、调节、控制、保护、通信和调度，以保证用户获得安全、经济、优质的电能如图1-1所示。图1-1 电力系统示意图电力系统的出现，使电能得到广泛应用，推动了社会生产各个领域的变化，开创了电力时代，出现了近代史上的第二次技术革命。20世纪以来，电力系统的发展使动力资源得到更充分的开发，工业布局也更为合理，使电能的应用不仅深刻地影响着社会物质生产的各个侧面，也越来越广地渗透到人类日常生活的各个层面。电力系统的发展程度和技术水准已成为各国经济发展水平的标志之一。1.2 电力系统潮流计算1.2.1 电力系统潮流计算简介电力系统潮流计算1是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各母线的电压，各元件中流过的功率，系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性，可靠性和经济性。此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。所以，潮流计算是研究电力系统的一种很重要和基础的计算。电力系统潮流计算也分为离线计算和在线计算两种，前者主要用于系统规划设计和安排系统的运行方式，后者则用于正在运行系统的经常监视及实时控制。1.2.2 电力系统潮流计算的基本要求对潮流计算的要求可以归纳为下面三点：计算方法的可靠性或收敛性；占用内存少，计算速度快； 计算的方便性和灵活性。1.2.2.1 收敛性一直以来，为了解决潮流计算中的收敛问题，人们做了各种努力，首先要保证输入正确的数据，这样才可以使潮流收敛2。有不少研究是对基本的牛顿拉夫逊法和P-Q分解法的改进。在牛顿拉夫逊算法中，应用矩阵分块求逆方法对阶数较高的雅可比阵求逆计算进行改进，使阶数较高的雅可比矩阵的求逆变为阶数较低的四个子阵的求逆3，可以提高收敛速度。也有文章讨论通过对雅克比矩阵的简化4-5，提高计算速度。在P-Q分解法中，和的不同组合形式会直接影响潮流的收敛性，文献6详细分析了对地并联支路导纳在形成时的作用，并且通过多个系统的潮流计算结果验证了：在形成时考虑支路电阻，在形成时忽略支路电阻，并且将节点的并联电纳和线路的并联电纳做二倍处理时，P-Q分解法收敛最快。针对病态系统，出现了最优乘子7和线性规划法8，有些文章还讨论了潮流计算中对负荷电压静特性的考虑，迭代中PV节点无功越限问题，以及不平衡功率的分配等问题9。1.2.2.2 减少内存占用量自1967年美国学者WF.Tinney将稀疏矩阵技术引入电力系统潮流计算，用于牛顿潮流计算中，不仅减少了内存占用量，还大大提高了潮流计算的速度。虽然随着计算机技术的不断发展，计算机的内存不断增加，但是稀疏存储在节省运算量和计算机内存还是有其必要性的。文献10提到的三元素牛顿拉夫逊法是基于这样的假设，各节点只与2个相邻节点连接，且在取节点号时可假设节点1仅和节点2，3连接，节点2仅和节点3，4连接，以此类推，其它节点之间的连接被忽略。这样进行高斯消去时，只需对偶数行消元，且只需消去一个元素，消元计算量将大大减少，但是这种算法节点编号麻烦，需要重新进行节点编号。动态形成十字链表，同时存储网络的拓扑结构信息和参数信息，适合于电力系统中运行方式变化及故障等情况下的对网络结构的修改11，与之相应的要增加存储空间，对于网络结构不经常变化的系统，没有必要采用这种存储方式。1.2.2.3 计算的方便性和灵活性完善的潮流程序应该可以重复应用，可移植性高。为了使程序的可复用性最大化，以使软件的维护和升级所需费用和时间降低，文献12采用了CBD（基于构件的开发）和OOP（面向对象程序设计）技术。OOP技术的应用主要集中在通过其继承特性重复应用已经存在的类。另外，还出现了一些对传统算法的综合和改进的算法。电力系统松弛算法13就是综合了时间增量松弛法与波形松弛法的优点，得到的一种改进的新方法。对初值要求严格，迭代速度快的特点，利用电力网的结构特点，使用高斯塞德尔迭代法的第一次迭代结果作为牛顿拉夫逊法的计算初值14。这样既解决了牛顿-拉夫逊法对初值要求高的问题，又提高了收敛速度。随着GPS技术的出现，出现了一些应用PMU的潮流计算的方法。根据PMU测量精度和配置的不同，可以采用不同的方式将PMU的测量结果应用于潮流计算中15-16。但是由于PMU的配置还没有普遍，故该方法并不实用。1.3 潮流计算的意义及其发展电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。即节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷。各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。潮流计算的结果对电力系统稳态研究，安全估计或最优潮流等对潮流计算的模型和方法有直接影响。实际电力系统的潮流技术主要采用牛顿-拉夫逊法及其衍生的P-Q分解法。在运行方式管理中，潮流是确定电网运行方式的基本出发点；在规划领域，需要进行潮流分析验证规划方案的合理性；在实时运行环境，调度员潮流提供了多个在预想操作情况下电网的潮流分布以校验运行可靠性。在电力系统调度运行的多个领域都涉及到电网潮流计算。潮流是确定电力网络运行状态的基本因素，潮流问题是研究电力系统稳态问题的基础和前提。在用数字计算机解电力系统潮流问题的开始阶段，普遍采取以节点导纳矩阵为基础的逐次代入法。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机内存量比较低，适应20世纪50年代电子计算机制造水平和当时电力系统理论水平。但它的收敛性较差，当系统规模变大时，迭代次数急剧上升，在计算中往往出现迭代不收敛的情况。这就迫使电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为基础的逐次代入法。阻抗法改善了系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法求解的一些系统的潮流计算，在60年代获得了广泛的应用。阻抗法的主要缺点是占用计算机内存大，每次迭代的计算量大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，60年代中期发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需要存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间联络线的阻抗，这样不仅大幅度地节省了内存容量，同时也提高了计算速度。克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿-拉夫逊法。这是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。在解决电力系统潮流计算问题时，是以导纳矩阵为基础的，因此，只要我们能在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的效率。自从60年代中期，在牛顿法中利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性。内存要求。速度方面都超过了阻抗法，成为60年代末期广泛采用的优秀方法。但随着网络规模的扩大以及计算机从离线计算向在线计算的发展，牛顿-拉夫逊法的内存需要量及计算速度方面越来越不适应要求。70年代中期出现的快速分解法比较成功的解决了上述问题，使潮流计算在牛顿-拉夫逊法的基础上向前迈进了一大步，成为取代牛顿-拉夫逊法的算法之一。近30年来，潮流问题算法的研究仍非常活跃，但是大多数研究是围绕着改进牛顿拉夫逊法和P-Q分解法进行的。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐引入潮流计算。但是，到目前为止，这些新模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。由于电力系统的不断扩大和对计算速度要求的不断提高，计算机的并行技术也引起一些研究人员的兴趣。1.4 本次毕业设计主要工作本文致力于研究分析电力网络的运行情况。结合电力系统潮流计算及暂态稳定计算的特点，设计MATLAB程序实现较复杂电力网络的潮流计算。探讨学习潮流计算的基本原理。P-Q法潮流计算的基础是牛顿-拉夫逊法潮流计算。所以，要实现对前者的了解，就要对后者有深刻的理解。本文较详细的说明了对各种电力系统网络导纳矩阵形成过程，阐述了牛顿-拉夫逊法潮流计算公式的形成过程、原理。基于MATLAB的编程。本文对MATLAB软件编程中所用的M语言有一定的介绍，说明了常用函数的作用，并对M语言中所涉及到的逻辑关系符，运算符，矩阵的正确输入以及简单的人机对话功能有了初步的解释。举例验证。真实的电力网络是复杂的又是简单的，复杂在于其网络的结构各式各样十分复杂，但大多结构是不同简单结构的不断重复；简单在于其所包含的器件基本上相同。对于本文来说，寻找到一个包含所有类型元件，并包含少许节点和线路的例子就可证明改程序对所有类型的电力系统网络适用。人机对话的形成。本文介绍了将程序的运算移到了“幕后”，展现在用户面前是个人性化界面的人机对话功能。本设计通过简单的程序段将MATLAB软件与Excel表格和TXT文档联系在一起，使用户更好的完成计算工作。第2章 潮流计算的原理及具体算法过程2.1 电力网络的数学模型2.1.1 电力网络的基本方程在潮流问题中，任何复杂的电力系统都可以归纳为以下元件（参数）组成。发电机（注入电流或功率）负荷（注入负的电流或功率）输电线支路（电阻，电抗）变压器支路（电阻，电抗，变比）母线上的对地支路（阻抗和导纳）线路上的对地支路（一般为线路充电点容导纳）集中了以上各类型的元件的简单网络如图2-1所示。图2-1 潮流计算用的电网结构图将图2-1中的发电机和负荷节点用无阻抗线从网络中抽出（为不失一般性，将非发电机又非负荷的浮动节点当作零注入功率的母线抽出网络之外），剩下的部分即由接地和不接地支路组成一个无源线性网络如图2-2所示。图2-2 潮流计算等值网络由图2-2，根据电路理论里边的戴维南定理，电力网络的节点电压方程可表示为17： (2-1)它展开为： (2-2)公式(2-1)中，Y是一个n×n阶节点导纳矩阵，其阶数就等于网络中节点总数。2.1.2 导纳矩阵的形成节点导纳矩阵的对角元素Yii (i=1，2，n)成为自导纳。自导纳Yii数值上就等于在i节点施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点i注入网络的电流，因此，它可以定义为： (2-3)节点i的自导纳数值上就等于与节点直接连接的所有支路导纳的总和。节点导纳矩阵的非对角元素Yij(j=1，2，n;i=1，2，n;ji)称互导纳，由此可得互导纳数值上就等于在节点i施加单位电压，其他节点全部接地时，经节点j注入网络的电流，因此可定义为： (2-4)节点j，i之间的互导纳数值上就等于连接节点j，i支路到导纳的负值。显然，恒等于。互导纳的这些性质决定了节点导纳矩阵是一个对称稀疏矩阵。而且，由于每个节点所连接的支路数总有一个限度，随着网络中节点数的增加非零元素相对愈来愈少，节点导纳矩阵的稀疏度，即零元素数与总元素的比值就愈来愈高。注意字母几种不写法的不同意义：粗体黑字表示导纳矩阵，大写字母为矩阵中的第i行第j列元素，即节点i和节点j之间的互导纳。小写字母i，j支路的导纳等于支路阻抗的倒数，。根据定义直接求取节点导纳矩阵时，注意以下几点：节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中除去参考节点外的节点数。参考节点一般取大地，编号为零。节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非零非对角元素就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。节点导纳矩阵的对角元素就等于该节点所连接导纳的总和。因此，在没有接地支路的节点对应的行或列中，对角元素为非对角元素之和为负值。节点导纳矩阵的非对角元素等于连接节点i，j支路导纳的负值。因此，在一般情况下，节点导纳矩阵的对角元素往往大于非对角元素的负值。节点导纳矩阵一般是对称矩阵，这是网络的互易特性所决定的。从而，一般只要求取这个矩阵的上三角或下三角部分。2.1.3 电力网络中几种特殊的数学模型2.1.3.1 架空输电线输电线路的参数有四个：反映线路通过电流时产生有功功率损失效应的电阻；反映载流导线产生磁场效应的电感；反映线路带电时绝缘介质中产生泄漏电流及导线附近空气游离而产生有功功率损失的电导；反映带电导线周围电场效应的电容。输电线路的这些参数通常可以认为是沿全长均匀分布的，每单位长度的参数为电阻r0。电感L0，电导g0及电容C0，其一项等值电路如图2-3所示。图2-3 架空线等值电路在工程计算中，既要保证必要的精度，又要尽可能的简化计算，采用近似参数时，遵守以下规则：当线路长度l<100km，线路可用“一”字型等值电路代替。图2-4 架空线“一”字型等值电路当线路长度100km<l<300km，线路可用“”型等值电路代替。图2-5 架空线“”型等值电路当线路长度300km<l，线路可用串型连接的多个“”型电路来模拟，每个“”型电路代替长度为200km-300km的一段线路。还需指出这里所讲的处理方法仅适应于工频下的稳态计算。本论文中，涉及到架空线导线问题的，均为前两种情况，所以第三种情况的示意图略。 2.1.3.2 非标准变比变压器等值电路双绕组变压器如图2-6可用阻抗与一个理想变压器串联的电路表示理想变压器只是一个参数，那就是变比k=V1/V2。本论文涉及到的变压器阻抗按实际变比分别归算到低压侧和高压侧，现将变压器型等值电路分别介绍如下： 图2-6 双绕组变压器原理图1、变压器阻抗归算到低压侧等值模型如图2-7所示。 图2-7 阻抗归算到低压侧变压器原理图流入和流出理想变压器的功率相等，即： (2-5)式中， 是理想变压器的变比V1和V2分别为变压器高、低绕组的实际电压，从图2-7直接可得： (2-6)从而可得： (2-7)式中，又因节点电流方程应具有如下形式： (2-8)将式(2-7)与(2-8)比较，得： 因此可得各支路导纳为： (2-9)由此可得用导纳表示的变压器型等值电路如图2-8所示。图2-8 阻抗归算到低压侧变压器等值电路 2、变压器阻抗归算到高压侧等值模型如图2-9所示。图2-9 阻抗归算到高压侧变压器原理图同理，可得用导纳表示的变压器型等值电路如图2-10所示。图2-10 阻抗归算到高压侧变压器等值电路2.2 电力系统潮流计算2.2.1 电力系统潮流计算数学模型电力系统潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，是对复杂电力系统正常和故障条件下稳态运行状态的计算。潮流计算的目标是求取电力系统在给定运行状态的计算。即节点电压和功率分布，用以检查系统各元件是否过负荷。各点电压是否满足要求，功率的分布和分配是否合理以及功率损耗等。对现有电力系统的运行和扩建，对新的电力系统进行规划设计以及对电力系统进行静态和暂态稳定分析都是以潮流计算为基础。采用导纳矩阵时，节点注入电流和节点电压构成如式(2-1)所示线性方程组可展开如下形式： (2-10)由于实际电网中测量的节点注入量一般不是电流而是功率，因此，必须将式中的注入电流用节点注入功率来表示。节点功率与节点电流之间的关系为 ： (2-11)式中，因此用导纳矩阵时，PQ节点可以表示为，把这个关系代入式(2-10)中 ，得到如下公式： (2-12)2.2.2 电力系统节点分类用一般的电路理论求解网络方程，目的是给出电压源（或电流源）研究网络内的电流(或电压)分布，作为基础的方程式，一般用线性代数方程式表示。然而在电力系统中，给出发电机或负荷连接母线上电压或电流(都是向量)的情况是很少的，一般是给出发电机母线上发电机的有功功率(P)和母线电压的幅值(V)，给出负荷母线上负荷消耗的有功功率(P)和无功功率(Q)。主要目的是由这些已知量去求电力系统内的各种电气量。所以，根据电力系统中各节点性质的不同，很自然地把节点分成三类18：PQ节点对这一类点，事先给定的是节点功率(P，Q)，待求的未知量是节点电压向量(V，)，所以叫PQ节点。通常变电所母线都是PQ节点，当某些发电机的输出功率P，Q给定时，也作为PQ节点。PQ节点上的发电机称之为PQ机(或PQ给定型发电机)。在潮流计算中，系统大部分节点属于PQ节点。PV节点这类节点给出的参数是该节点的有功功率P及电压幅值V，待求量为该节点的无功功率Q及电压向量的相角。这类节点在运行中往往要有一定可调节的无功电源，用以维持给定的电压值。通常选择有一定无功功率储备的发电机母线或者变电所有无功补偿设备的母线做PV节点处理，PV节点上的发电机称为PV机(或PV给定型发电机)。平衡节点在潮流计算中，这类节点一般只设一个。对该节点，给定其电压值，并在计算中取该节点电压向量的方向作为参考轴，相当于给定该点电压向量的角度为零。也就是说，对平衡节点给定的运行参数是V和，因此有城为V节点，而待求量是该节点的P，Q，整个系统的功率平衡由这一节点承担。关于平衡节点的选择，一般选择系统中担任调频调压的某一发电厂(或发电机)，有时也可能按其他原则选择，例如，为提高计算的收敛性。可以选择出线数多或者靠近电网中心的发电厂母线作平衡节点。以上三类节点4个运行参数P，Q，V，中，已知量都是两个，待求量也是两个，只是类型不同而已。2.2.3 潮流计算的约束条件 电力系统运行必须满足一定的技术和经济上的要求。这些要求构成了潮流问题中某些变量的约束条件，常用的约束条件如下：节点电压应满足小于节点最大额定电压并大于最小额定电压，即： (2-13)从保证电能质量和供电安全的要求来看，电力系统的所有电气设备都必须运行在额定电压附近。PV节点电压幅值必须按上述条件给定。因此，这一约束条件对PQ节点而言。节点的有功功率和无功功率应满足小于节点最大额定功率并大于最小额定功率，即： (2-14) PQ节点的有功功率和无功功率，以及PV节点的有功功率，在给定时就必须满足上述条件，因此，对平衡节点的P和Q以及PV节点的Q应按上述条件进行检验。节点之间电压的相位差应满足小于最小额定相角差，即： (2-15) 为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位不超过一定的数值。这一约束的主要意义就在于此。 因此，潮流计算可以归结为求解一组非线性方程组，并使其解答满足一定的约束条件。常用的方法是迭代法和牛顿法，在计算过程中，或得出结果之后用约束条件进行检验。如果不能满足要求，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统的运行方式，重新进行计算。2.3 牛顿-拉夫逊法求解潮流计算2.3.1 牛顿-拉夫逊法原理潮流计算的结果可用如电力系统稳态研究，安全估计或最优潮流等对潮流计算的模型和方法有直接影响的分析。实际电力系统的潮流技术主要采用牛顿-拉夫逊法及其衍生的P-Q分解法。以下用牛顿-拉夫逊法为例分析潮流计算的基本原理。牛顿-拉夫逊法(简称牛顿法)在数学上是求解非线性代数方程式的有效方法。其要点是把非线性方程式的求解过程变成反复地对相应的线性方程式进行求解的过程。即通常所称的逐次线性化过程。 非线性代数方程组： (2-16)在待求量x的某一个初始估计值x(0)附近，将上式展开成泰勒级数并略去二阶及以上的高阶项，得到如下的经线性化的方程组： (2-17)上式称之为牛顿法的修正方程式。由此可以求得第一次迭代的修正量： (2-18)将x(0)和x(0)相加，得到变量的第一次改进值x(1)。接着就从x(1)出发，重复上述计算过程。因此从一定的初值x(0)出发，应用牛顿法求解的迭代格式为： (2-19)上两式中：是函数对于变量x的一阶偏导数矩阵，即雅可比矩阵J，k为迭代次数。由上式可见，牛顿法的核心便是反复形式并求解修正方程式。应用牛顿拉夫逊法时，当初始估计值x(0)和方程的精确解足够接近时，收敛速度非常快，具有平方收敛特性。牛顿拉夫逊潮流算法突出的优点是收敛速度快，若选择到一个较好的初值，算法将具有平方收敛特性，一般迭代45次便可以收敛到一个非常精确的解。而且其迭代次数与所计算网络的规模基本无关。牛顿拉夫逊法也具有良好的收敛可靠性，对于以节点导纳矩阵为基础的高斯法呈病态的系统，牛顿法拉夫逊也能可靠收敛。牛顿法所需的内存量及每次迭代所需时间均较高斯法多。牛顿-拉夫逊法的可靠收敛取决于有一个良好的启动初值。如果初值选择不当，算法有可能根本不收敛或收敛到一个无法运行的节点上。对于正常运行的系统，各节点电压一般均在额定值附近，偏移不会太大，并且各节点间的相位角差也不大，所以对各节点可以采用统一的电压初值(也称为平直电压)，如假定： 这样一般能得到满意的结果。但若系统因无功紧张或其它原因导致电压质量很差或有重载线路而节点间角差很大时，仍用上述初始电压就有可能出现问题。解决这个问题的办法可以用高斯法迭代12次，以此迭代结果作为牛顿-拉夫逊法的初值。也可以先用直流法潮流求解一次以求得一个较好的角度初值，然后转入牛顿-拉夫逊法迭代。2.3.2 P-Q分解法潮流计算2.3.2.1 极坐标下的潮流计算模型以下讨论的是用极坐标形式叙述牛顿-拉夫逊法潮流的求解过程。当采用极坐标时，潮流问题的待求量为各节点电压的幅值和相角Vi，i 由于平衡节点的电压向量是给定的，不参加迭代；系统有m个PQ节点，则PV节点有n-(m+1)个。对于PV节点，因为电压幅值给定，这就减少了n-(m+1)个未知数，同时，PV节点的注入无功功率为可调节量，不能预先给定，Qi也就失去了约束作用。因此，对于PV节点，将式(2-20)按泰勒级数展开并略去Q，V二次及以后各项，修正方程为式(2-22）。 取 ，得到潮流方程的极坐标形式： (2-20)式中ij=i-j表示i，j两节点电压的相角差。则每个节点的功率差表示为以下方程组： (2-21)方程式把节点功率差P(,V)，Q(,V)表示为节点电压V和相角的函数，其中Pis ，Qis为外加功率，表示发电机等注入功率时符号为正，表示负荷等流出功率时符号为负，节点功率差为两者的代数和。则由式(2-20)、(2-21)可知，对各节点的P，Q分别对，V求偏导数并将各节点的，V值代入，可得到雅可比矩阵J。其具体形式如下式：则可得修正方程组： (2-22)该修正方程可用分块矩阵的形式简化如下： (2-23)在式(2-23)中，电压幅值的修正量采用Vi/Vi的形式，是为了使雅克比矩阵中各元素有比较相似的形式。雅克比矩阵中各，V元素对式(2-24)取偏导数求得，其计算式为： 需要指出的是，在上述的迭代过程中，由于某个PV节点因无功越线而转为PQ节点时，修正方程中也应更换或增加相应的行。在极坐标系下，应增加一行对应于节点的无功功率不平衡量Qi的关系式，在列向量中，若时，取；若时，取。2.3.2.2 PQ分解法潮流计算P-Q分解法是从简化牛顿法极坐标形式计算潮流程序的基础上提出来的。由于交流高压电网中输电线路等元件的xr，因此电力系统呈现了这样的物理特性，即电力系统中有功功率主要与各节点电压相角有关，无功功率则主要受各节点电压幅值的影响。因此 ，P-Q 分解法的基本思想是：把节点功率表示成电压向量的极坐标方程式，以有功功率误差作为修正电压相角的依据，以无功功率误差作为修正电压幅值的依据，把有功功率和无功功率迭代分开来进行。即将式(2-23)简化为： (2-24)这样，由于把 2n 阶的线性方程组变成了两个n 阶的线性方程组，因而，计算量和内存方面都有很大的改善。但是， H、L 在迭代过程中仍然不断变化，而且又都是不对称矩阵，因此，牛顿法的第二个简化，就是把式(2-24)中的系统矩阵简化为在迭代过程中不变的对称矩阵。一般情况下，线路两端电压相角差是不大的（通常不超过10°-20°），因此可以认为 ： (2-25)此外，与系统各节点无功功率相应的导纳B LI必定远远小于该节点自导纳的虚部，即B (2-26) 因此， (2-27) 考虑到以上的关系，式(2-24)的系数矩阵中的各元素可表示为： 而系数矩阵H和L则可以分别写成： (2-28) (2-29)将式(2-28)和(2-29)代入式(2-24)中，得到 用 和 分别左乘以上两式,便得这就是简化了的修正方程式，它们也可展开写成 (2-30) (2-31)在这两个修正方程式中系数矩阵元素就是系数导纳矩阵的虚部，因而系数矩阵是对称矩阵，且在迭代过程中保持不变。这就大大减少了计算工作量。 式(2-30)和(2-31)构成了P-Q分解法迭代过程的基本方程。第3章 基于MATLAB软件 P-Q法潮流计算目前，电子计算机已广泛应用于电力系统的分析计算尤其是在潮流计算之中，MATLAB是其基本应用软件之一。3.1 P-Q分解法程序框图P-Q分解法的实现过程应用到循环嵌套原理，其程序框图如图3-1所示。图3-1 P-Q分解法程序框图3.2 计算步骤及实现各部分功能的程序3.2.1 原始数据的输入3.2.1.1 原始数据的输入为了让程序更有通用性，以及方便初学用户使用，近几年，MATLAB编程大多都用到GUI功能。本次设计也不例外，用到了简单的人机对话界面作为原始数据输入界面。在这次设计中，用到了一个Excel表格作为原始数据输入界面，通过该界面，用户不用依照矩阵的形式，将一连串的数据输入，而是，按照图表的提示，在图表中填入要求的电力系统节点、支路的参数，节点、支路个数以及要求精度即可。数据输入界面如图3-