培优专题5代数式的化简和求值.doc

用数值代替代数式里的字母，按照代数式里指明的运算计算出的结果，就叫代数式的值，经常利用代数式的值进行比较、推断代数式所反映的规律 在求代数式的值时，我们经常先将代数式化简，再代入数值计算，从而到达简化计算的目的在化简代数式时常用到去括号法则、合并同类项法则、绝对值的意义及分类讨论的思想等 例1 已知x<-3，化简3+2-1+x 分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可以从里到外一层一层地去绝对值符号 解：x<-3，1+x<0，3+x<0 原式=3+2+（1+x） =3+3+x =3-（3+x） =-x=-x 练习11化简：3x2y-2xy2-2（xy-x2y）+xy+3xy22当x<-2时，化简3化简：3x+1+2x-1 例2 设（2x-1）5=a5x5+a4x4+a33x+a22x+a1x+a0， 求：（1）a1+a2+a3+a4+a5+a6的值；（2）a0-a1+a2-a3+a4-a5的值；（3）a0+a2+a4的值 分析 可以取x的特殊值 解：（1）当x=1时， 等式左边=（2×1-1）5=1， 等式右边=a5+a4+a3+a2+a1+a0， a0+a1+a2+a3+a4+a5=1 （2）当x=-1时， 等式左边=2×（-1）-15=-243， 等式右边=-a5+a4-a3+a2-a1+a0 a0-a1+a2-a3+a4-a5=-243 （3）+得， 2a0+2a2+2a2=-242a0+a2+a4=-121练习2 1当x=2时，代数式ax3-bx+1的值等于-17，那么当x=-1时，代数式12ax-3bx3-5的值等于_2某同学求代数式10x9+9x8+8x7+7x6+6x5+5x4+4x3+3x2+2x+1，当x=-1时的值时，该生由于将式子中某一项前的“”号误看成“”号，算得代数式的值为7，那么这位同学看错了几次项前的符号？ 3已知y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a、b、c、d、e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35；那么e的值为（ ） A-6 B6 C-12 D12 例3 若，求x+y+z的值 分析 对于连等我们常设它们的比值为k，或用其中一个表示数的字母把其它的数表示出来 设=k，则：x=k（a-b），y=k（b-c），z=k（c-a）即x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka， x+y+z=0 练习31已知=，求2已知a=3b，c=5a，求的值3已知-=2，求的值 例4 若a+b+c=0，且=0， 求的值 分析 先代入使a+b+c=0、0成立的a、b、c的特殊值，如a=b=1，c=-2，可求得所求代数式的值为0，给出求值方向下面我们来说明所求代数式的值为0 解：由：a+b+c=0，两边同乘以abc，得： a2bc+ab2c+abc2=0 由=0，两边同乘以abc，得： bc（b-c）+ac（c-a）+ab（a-b）=0， 即 a2（b-c）+b2（c-a）+c2（a-b）=0 +得：a2（bc+b-c）+b2（ac+c-a）+c2（ab+a-b）=0 两边同除以a2b2c2得： =0原式的值为0. 练习41已知（x-3）2+n-2=0，求代数式3xn+xn-1-（x3+xn-1-3）的值2已知A=3x2-9xy+y2，B=3x2-9xy-y2，化简：2A-3B-A+2（B-A）3如果无论x取什么值，代数式（分母不为零）都得到同样的值，那么a与b应满足什么条件？ 例5 已知三个正数a、b、c满足abc=1，求的值 分析 本题若直接通分，计算较复杂，考虑到abc=1，可将原式第二个分式的分子、分母同乘以a，第三个分式的分子、分母同乘以ab，达到通分的目的解：原式=+=+ =1 练习51若a、b为正数，且ab=1，求的值2已知a+=1，b+=1，求c+的值3若a、b、c、d是四个正数，且abcd=1，求的值答案:练习11xy2+xy 原式=3x2y-2xy2-2xy+3x2y+xy+3xy2=3x2y-2xy2+2xy-3x2y-xy+3xy2=xy2+xy21 +1-x（因为1-x>0） =1+1-x =2-x（因为2-x>0） =2-x 原式=13当x<时，原式=-5x；当x<时，原式=x+2；当x时，原式=5x 用零点区间讨论法： 由3x+1=0、2x-1=0，得零点，x=-，、x=，把这两个零点标在数轴上，可把数轴分为三部分，即x<-、-x<、x，这样就可以分类讨论化简原式了 当x<-时，原式-（3x+1）-（2x-1）=-5x； 当-x时，原式（3x+1）-（2x-1）=x+2； 当x时，原式（3x+1）+（2x-1）=5x练习2122当x=2时，8a-2b+1=-17，即4a-b=-9； 当x=-1时，-12a+3b-5=-3（4a-b）-5=-3×（-9）-5=2225 设看错的是x的n次项前的符号，那么他计算的代数式实际是10x9+9x8+2x+1-2（n+1）xn，由题意得：10×（-1）9+9×（-1）8+2×（-1）+1-2（n+1）（-1）n=7，即（n+1）（-1）n=-6 n=53A当x=2时，27·a+25·b+23·c+2d+e=23 当x=-2时，-27·a-25·b-23·c-2d+e=-35 +得2e=-12，e=-6选A练习31或-1设=k，则： x=k（y+z）；y=k（x+z）；z=k（x+y） +得：x+y+z=2k（x+y+z），（x+y+z）（2k-1）=0 当x+y+z=0时，=-1，当2k-1=0时，k=，即=2-c=5a=15b，把a=3b，c=15b代入原式，原式=-3-由-=2，知y-x=2xy，故原式=-练习413 由题意知x=3，n=2 原式=3xn+xn-1-x3-xn-1+3=3xn-x3+3=3×32-33+3=322y2原式=2A-3B-A+2B-2A =2A-3B-A-2B+2A =2A-3B+A+2B-2A =A-B =3x2-9xy+y2-（3x2-9xy-y2）=2y234a=3b因不论x取什么值，代数式的值都相同，所以我们可以取x=0，得：=，即不论x取什么值，该代数式的值都为，再取x=1，得=，故4a=3b练习511由ab=1得，a=，故原式=+=+=121由题意知a=1-=，= =1-b，c=- c+=-+=131利用abcd=1把它们化为同分母：； 原式=1