圆章节知识点及练习题.docx

圆章节知识点及其练习题、圆的概念集合形式的概念:圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆：至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3 、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;4 、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定 长的两条直线;5 、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。、点与圆的位置关系1、点在圆内d cr、点C在圆内;2、点在圆上d =r、点B在圆上;3、点在圆外d Ar、点A在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离d >r、无交点;2、直线与圆相切d =r、有一个交点;3、直线与圆相交d c r、有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离（图1)无交点、dR +r ;外切（图2)有一个交点、d = R +r ；相交（图3)有两个交点、R_r <d c R + r ；内切（图4)有一个交点、d =R-r ；内含（图5)无交点、d cR r ；五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1: （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧只要知道其中 2个即弧AC =弧AD以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中,可推出其它3个结论，即:AB是直径 AB丄CD CE=DE 弧BC =弧BD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在O O 中， AB / CD弧 AC =弧 BDDCAOC V六、圆心角定理DB勺推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在O O中， AB是直径或 N C =90° Z C =90° AB是直径CBA圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 的弧相等，弦心距相等。此定理也称1推3定理，即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论,即： NAOB =NDOE ， AB = DE ；OC =OF :弧BA =弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： NAOB和丄ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角:丄 AOB =2NACB2、圆周角定理的推论:推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆 周角所对的弧是等弧;即：在O O中， N C、ZD都是所对的圆周角AO推论3 :若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是 直角三角形。即：在 ABC 中， OC =OA =OB ABC是直角三角形或 NC =90。注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半 的逆定理。八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在O O中,四边形ABCD是内接四边形 Z C +Z BAD =180 NB +ND =180®NDAE =NCE九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件:过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MN丄0A且MN过半径OA外端(2)性质定理:推论推论 MN是O 0的切线切线垂直于过切点的半径(如上图)1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理: 即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线即： PA、PB是的两条切线的夹角。P0平分N BPAD0BP一、圆幕定理(1 )相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在O O中，弦 AB、CD相交于点P ,:.PA ”PB = PC PD(2 )推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项。即：在O O中，直径 AB丄CD ,- CE2 = AE -BE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在O O中， PA是切线，PB是割线E圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆即：O O、O O2相交于A、B两点- O1O2垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式:(1)公切线长：RUO1O2C中,AB2 =cOi2；(4) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。即：在O O中， PB、PE是割线 PC PB = PD ”PE十二、两圆公共弦定理的公共弦。如图：O1O2垂直平分AB。(2)外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和 十四、圆内正多边形的计算(1 )正三角形在O O中 ABC是正三角形，有关计算在 RUBOD中进行：0D: BD :0B = 1: J3:2 ；正四边形同理,四边形的有关计算在RtAOAE 中进行，0E : AE : 0A =1:1: 72 :同理,十五、正六边形六边形的有关计算在RtiOAB 中进行，AB:0B:0A=1: J3:2 .扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：(1)弧长公式：I = n比180(2 )扇形面积公式：S =360ln:圆心角 R:扇形多对应的圆的半径2、圆柱:l :扇形弧长 S :扇形面积(1)圆柱侧面展开图务=S侧+ 2S底 = 2兀 rh +2兀 r2D!'底面圆周长A母线长D1(1)圆柱的体积：V =r2h圆锥侧面展开图务=S侧+ S底MRr Er21 2圆锥的体积：V =-兀r2hC1二、选择题：13.若两圆相切，且两圆的半径分别是2, 3，则这两个圆的圆心距是（A. 5B. 1C. 1 或 5D. 1 或 414. O O1和O O2的半径分别为1和4,圆心距O1O2= 5，那么两圆的位置关系是（）A.外离B.内含C.外切D.外离或内含15.如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（）A. 2个16.若两圆半径分别为 R和r （ R> r）,圆心距为d,且R2+ d2- r2= 2Rd,则两圆的位置关B. 3个C. 4个D. 5个系是（）A.内切B.外切C.内切或外切17.如图，O O的直径为10厘米，弦 AB的长为6cm, M是弦aAB上的一动点，则线段I / 丿D.相交OM的长的取值范围是（C. 3 < OM < 5D. 4 < OM < 518.已知：O 01和O 02的半径是方程X2- 5x+ 6= 0的两个根,且两圆的圆心距等于5则O O1和O O2的位置关系是（）A.相交B.外离C.外切D.内切佃.如图， ABC为等腰直角三角形,A= 90AB = AC =72 , O A 与 BC 相切，则图中阴影部分的面积为（兀A. 1 -2兀B. 1-320.如图，点B在圆锥母线VA上，且兀C. 1 -41 VB = VA,过点3兀D. 1 -5B作平行于底面的平面截得一个小圆锥,（A. S1 =21.22.若小圆锥的侧面积为S,原圆锥的侧面积为S,则下列判断中正确的是3sB. S1= -S4C. S1= -S6D. S1= - S9填空题若半径分别为O O1 和 O O26和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是的半径分别为20和15,它们相交于A, B两点，线段 AB = 24,则两圆的圆心距022=O23.O O1和O O2相切，O O1的半径为4cm,圆心距为6cm,则O O2的半径为O O1和O O2相切，O O1的半径为6cm,圆心距为4cm，则O O2的半径为24. O O1、O O2和O O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若OO2分别与O O1,O O3相交，0 Oi与O O3不相交，则O Oi与O O3圆心距d的取值范围是 25.在 ABC, / C= 90°, AC= 3, BC= 4,点O是 ABC的外心，现在以 O为圆心,分别以2、2.5、3、为半径作O O,则点C与O O的位置关系分别是 26.如图在O O中，直径 AB丄弦CD，垂足为 P,/ BAD = 30°，则/ AOC的度数是度.27.在Rt ABC，斜边AB = 13cm，BC= 12cm，以AB的中点 O为圆心，2.5cm为半径画圆,则直线BC和O O的位置关系是 28.把一个半径为12厘米的圆片，剪去一个圆心角为 120°的扇形后，用剩下的部分做成一cm2 （结个圆锥侧面，那么这个圆锥的侧面积是29.已知圆锥的母线与高的夹角为30°,母线长为4cm，则它的侧面积为.果保留n) 030. 一个扇形的弧长为4n,用它做一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为四、解答题：31.已知：如图，O O1和O O2相交于点 A、B,过点 A的直线分别交两圆于点 C, D点M 是CD的中点直线，BM分别交两圆于点 E、F O求证：CE/DF求证：ME = MF32. ABC的三边长分别为 6、8、10,并且以A、B、C三点为圆心作两两相切的圆，求这 三个圆的半径33.如图所示，O O1和O O2相切于P点，过P的直线交O O1于A,交O O2于B,求证：OjA/ O2B34.如图，A为O O上一点，以 A为圆心的O A交O O于B、C两点，O O的弦AD交公 共弦BC于E点。(1) 求证：AD平分/ BDC AC2= AE AD(2) 求证：O的半径OC与直径AB垂直，点P在OB上，CP的延长线交O O于点D,35.如图，O 在OB的延长线上取点 E，使ED = EP .(1) 求证：ED是O O的切线；(2) 当OC= 2, ED = 2时，求/ E的正切值tanE和图中阴影部分的面积.C*36.两圆相交于 A、B,过点A的直线交一个圆于点 C,交另一个圆于点 D，过CD的中点 P和点B作直线交一个圆于点 E，交另一个圆于点 F，求证：PE=PF .