圆周角定理练习题.docx

12圆周角定理练习题选择题（共 16 小题）如图， A、B、 C三点在 O 上， A 152° B76°C 38° 如图， O 是 ABC的外接圆， A 30°B35°C 40若 BOC=76°，则 BAC的度数是（ D14° ACO=45°，则 B 的度数为（ D45）个如图，在图中标出的 4 个角中，圆周角有（A1B 2C3D 44如图，在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若A25° B 30°C40°5如图，已知在 O 中，点B 140 °C3C=25°，则 BOD 的度数是（D50°）第 4 题图6如图， MN 是 O 的直径，A50° B40° C 30°7如图，CD是 O的直径，A、B是 O 上的两点，若 ABD=20°，则 ADC的度数为） B 50°C60°D70PBN=50°，则 MAP 等于（D20°A130 °A40°8如图， AB是半圆的直径，点 D是 的中点， ABC=50°，则 DAB等于（）9如图， AB是 O的直径， A25°B 30°10如图， 1、 2、 3、A4<1<2< 3C 4< 1<3211如图，AB 是半圆 O 的直径，C， D为圆上两点， AOC=130°，则 D 等于（ ）C 35°D50°4 的大小关系是（）B 4< 1=3< 2D 4< 1< 3= 2BAC=60°，D是半圆上任意一点， 那么 D的度数是（ C 60°D90°）12如图，在A15° 13在 O 中，A42° 14如图所示， 的度数等于（A90°15已知如图，A60°第 11 题图O 中， OABC， AOC=50°，则 ADB 的度数为（B20°C 25°D50点 A、B 在 O上，且 AOB=84°，则弦 AB 所对的圆周角是（B84°C 42°或 138 °D84°或 96°在 O中， AB是 O的直径， ACB的角平分线 CD交O于 D，则 ）B 60°C45°AB是O 的直径， CD是O 的弦，B 50C40°D30° CDB=40°，则 CBA 的度数为（ D30°ABD16如图， AB 是圆的直径，A30 °BABCD， BAD=30°，50 °C60°则第 12 题图AEC的度数等于（）D70°二填空题（共 8 小题）17如图， O 的直径 CD经过弦 EF的中点 G， DCF=20°，则 EOD等于第 17 题图第 18 题图第 19 题图18如图，点 A、B在 O上， AOB=100°，点 C是劣弧 AB上不与 A、B重合的任意一点， 则 C= °19在 O中，弦 AB=2cm， ACB=30°，则 O的直径为cm20如图， O 中弦 AB 等于半径 R，则这条弦所对的圆心角是，圆周角是第 20 题图 第 21 题图 第 22 题图21如图，等腰 ABC的底边 BC的长为 4cm，以腰 AB为直径的 O交BC于点 D，交 AC 于点 E，则 DE 的长为cm22如图，在 “世界杯 ”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C点有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二 种是甲将球传给乙，由乙射门第三种是甲将球传给丙，由丙射门仅从射门角度考虑， 应选择 种射门方式三解答题（共 16 小题）25 28如图， AB是 O的直径， C是 O上的点， AC=6cm，BC=8cm， ACB的平分线交 O 于点 D，求 AB 和 BD 的长26如图，已知 CD是 O的直径，弦 ABCD，垂足为点 M，点P是 上一点，且 BPC=60°试 判断 ABC的形状，并说明你的理由27、如图， ABC的高 AD、BE相交于点 H，延长 AD 交 ABC的外接圆于点 G，连接 BG 求证： HD=GD28已知：如图，AB为 O的直径， AB=AC，BC交 O于点 D，AC交 O于点 E BAC=40°（1）求 EBC的度数；2）求证： BD=CD29如图， ABC是 O 的内接三角形， A=30°，BC=3cm求 O 的半径30如图， AB 是 O 的直径，过圆上一点 AF 交 CD于点 E，连接 BC交 AF 于点 G （1）求证： AE=CE；C作 CDAB 于点 D，点 C是弧 AF的中点，连接31如图， ABC中，AB>AC，BAC的平分线交外接圆于（1）求证： BE=CM（2）求证： AB AC=2BED，DE AB于 E，DM AC于 M32如图， OA是 0的半径，以 OA为直径的 C与0 的弦 AB相交于点 D求证： AD=BD求证：34如图， ABC的三个顶点都在 BCEO 上， CD 是高， D 是垂足， CE是直径，求证：ACD=33如图，已知： AB是 O的弦， D为O上一点， DC AB于 C，DM 平分 CDO M 是弧 AB 的中点35已知：如图， AE是 O的直径， AFBC于 D，证明： BE=CF37如图， AB是圆 O的直径， OCAB，交 O于点 C，D是弧 AC上一点， E是AB上一点，ECCD，交 BD于点 F问： AD 与 BF相等吗为什么38如图， AB是 O的直径， AC、DE是 O的两条弦，且 DEAB，延长 AC、DE相交于点 F，求证： FCD= ACE39如图，已知 O 是 ABC的外接圆， AD是O 的直径，作 CEAD，垂足为 E，CE的延 长线与 AB 交于 F试分析 ACF与 ABC是否相等，并说明理由40如图， ABC内接于 O，AD 为 ABC的外角平分线，交 O于点 D，连接 BD，CD， 判断 DBC 的形状，并说明理由41如图， AB是 O的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，G是 上的任意一点， AG、DC的延长线相交于点 F， FGC与 AGD的大小有什么关系为什么42如图， AB是圆 O的直径， C是圆 O上一点， D是弧 AC中点， DEAB垂足为 E，AC分 别与 DE、DB 相交于点 F、G，则 AF与 FG是否相等为什么43如图， OA是 O的半径，以 OA为直径的 C与O的弦 AB交于点 D，求证： D是 AB 的中点44如图，在 ABC中， ACB=90°， D是 AB的中点，以 DC为直径的 O 交 ABC的边于G，F，E 点求证：（1）F 是 BC的中点；（2） A= GEF45如图，圆内接四边形 ABCD的外角 DCH= DCA，DP AC垂足为 P，DHBH 垂足为 H， 求证： CH=CP，AP=BH选择题（共 16 小题）D14圆周角定理 22参考答案与试题解析A、B、C三点在 O上，若 BOC=76°，则 BAC的度数是 （解答】 解： 所对的圆心角是 BOC，圆周角是 BAC，又 BOC=7°6 ， A=76°× =38°故选 C2（2015眉山）如图， O是 ABC的外接圆， ACO=45°，则 B的度数为（）A30° B 35° C40° D45° 【解答】 解： OA=OC， ACO=4°5 ， OAC=4°5 ， AOC=18°0 45° 45°=90°，）个3（2010秋海淀区校级期末）如图，在图中标出的4 个角中，圆周角有（【解答】 解：1 和 3 符合圆周角的定义，A1B 2C3D42 顶点不在圆周上， 4 的一边不和圆相交， 故图中圆周角有 1 和 3 两个故选 B4（ 2015 珠海）如图，在 O 中，直径 CD垂直于弦 AB，若 C=25°，则 BOD的度数是（）AOB=4°0A25° B 30° C40° D50°【解答】 解：在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， DOB=2C=50°故选： D AOB=80°，则 ACB等于（5（1997陕西）如图，已知在 O中，点 A，B，C均在圆上，C145°D150°【解答】 解：设点 E是优弧 AB上的一点，连接 EA， EB AOB=8°0 ACB=18°0 E=140° 故选： B6如图， MN 是 O的直径， PBN=50°，则 MAP 等于（）A50° B 40° C30° D20°【解答】 解：连接 OP，可得 MAP= MOP， NBP= NOP，MN 为直径， MOP+ NBP=18°0 ， MAP+ NBP=90°， PBN=50°， MAP=9°0 PBN=40°故选 B7（2007太原）如图， CD是 O的直径， A、B是 O上的两点，若 ABD=20°，则 ADCA40° B 50° C60° D70【解答】 解： ABD=20° C= ABD=20°CD是O 的直径 CAD=9°0 ADC=9°0 20°=70° 故选 D ABC=50°，则 DAB 等于（）8（2013 苏州）如图，AB 是半圆的直径， 点 D 是 的中点，A55° B 60° C65° D70° 【解答】 解：连结 BD，如图，点 D 是 的中点，即弧 CD=弧 AD， ABD= CBD，而 ABC=50°， ABD= × 50°=25°，AB 是半圆的直径， ADB=90°， DAB=90° 25°=65°故选 C9（2009 枣庄）如图，AB是 O的直径， C，D 为圆上两点，AOC=130°，则 D 等于（）50 BOC=5°0 ，D= BOC=2°5故选 A10（2013 秋沙洋县校级月考）如图， 1、2、3、4 的大小关系是（A4<1<2<3 B4<1=3<2C 4< 1< 32 D4<1< 3= 2【解答】 解：如图，利用圆周角定理可得：1=3= 5=6，根据三角形的外角的性质得： 5> 4，2> 6， 4< 1= 3< 2， 故选 B11（2012 秋天津期末）如图， AB 是半圆 O的直径， BAC=60°，D 是半圆上任意一点，那 么 D 的度数是（ ）A30° B 45° C60° D90°【解答】 解：连接 BC，AB 是半圆的直径 ACB=90° BAC=60°， ABC=90° BAC=30°， D= ABC=30°故选 A12（2009 塘沽区二模）如图，在 O中， OABC， AOC=50°，则 ADB的度数为（）， ADB= AOC=2°5 故选 C13（2012 秋宜兴市校级期中）在 O中，点 A、B在O 上， 的圆周角是（ ）AOB=84°，则弦 AB 所对A42° B84° C42°或 138°D84°或 96解答】 解：如图， AOB=8°4 ， ACB= ADB=18°0 ACB=13°8 弦 AB 所对的圆周角是： 42°或 138°故选 C14（2011 南岸区一模）如图所示，在 O中， AB是 O的直径， O 于 D，则 ABD 的度数等于（） ACB的角平分线 CD 交A90° B 60° C45° D30°【解答】 解：连接 AD，在 O中，AB是O 的直径， ADB=90°，CD 是 ACB的角平分线，=， AD=BD， ABD是等腰直角三角形， ABD=45°故选 C15（2015秋合肥校级期末）已知如图， AB是 O的直径， CD是 O的弦， CDB=40°，则 CBA 的度数为（）A60° B 50° C40° D30°【解答】 解：连接 AC，AB 是 O 的直径， ACB=90°， A= CDB=4°0 ， CBA=90° A=50°故选 B16（2013 万州区校级模拟）如图， AB 是圆的直径， AB CD， BAD=30°，则 AEC的度数 等于（ ）A30° B 50° C60° D70【解答】 解： BAD=30°， =60°，AB 是圆的直径， AB CD， = =60°， =180° 60°=120°， AEC= =× 120°=60故选 C二填空题（共 8 小题）17（2016 大冶市模拟）如图， O 的直径 CD 经过弦 EF的中点 G， DCF=20°，则 EOD【解答】 解： O的直径 CD过弦 EF的中点 G， DCF=20°，弧 DF=弧 DE，且弧的度数是 40°， DOE=4°0 ， 答案为 40°18（2015 历城区二模）如图， AB是半圆的直径，点 D 是弧 AC的中点， ABC=50°，则点 D 是 的中点，即弧 CD=弧 AD， ABD= CBD，而 ABC=50°， ABD= × 50°=25°，AB 是半圆的直径， ADB=90°， DAB=90° 25°=65° 故答案为 65°19（2013秋滨湖区校级期末）如图，点A、B在 O上， AOB=100°，点 C是劣弧 AB上不与 A、B 重合的任意一点，则 C= 130 °【解答】 解：在优弧 AB 上取点 D，连结 AD、BD，如图， D= AOB= × 100°=50°， D+ C=180°， C=180° 50°=130°故答案为 13020（2008 秋苏州校级期中）球员甲带球冲到 A 点时，同伴乙已经助攻冲到 B 点有两种射 门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门仅从射门角度考虑，应 选择 第二种 种射门方式较为合理【解答】 解：连接 OC 根据圆周角定理，得 PCQ= B， 根据三角形的外角的性质，得 PCQ> A， 则 B> A故答案为第二种21（ 2015 黄岛区校级模拟）在O 中，弦 AB=2cm， ACB=30°，则 O 的直径为4 cm 解答】 解：连接 OA， OB， ACB=30°， AOB=6°0 ， AOB是等边三角形， OA=OB=AB=2cm， O 的直径 =4cm22（2014春海盐县校级期末）如图， O中弦 AB等于半径 R，则这条弦所对的圆心角是 OAB为等边三角形，B为弦 AB 所对的圆周角，如图， AOB=6°0 ， APB= AOB=3°0， APB=180° APB=150°， 即这条弦所对的圆心角是 60°，圆周角是 30°或 150° 故答案为 60°；是 30°或 150°23（2012 义乌市模拟）如图，等腰 ABC的底边 BC的长为 4cm，以腰 AB为直径的 O 交 BC于点 D，交 AC于点 E，则 DE 的长为 2 cm解：连接 AD， DEC为圆内接四边形 ABDE的外角， DEC=B，又等腰 ABC，BC 为底边，AB=AC， B=C， DEC=C，DE=DC，AB 为圆 O 的直径， ADB=90°，即 AD BC，BD=CD= BC，又 BC=4cm，DE=2cm故答案为： 224（2012 秋哈密地区校级月考）如图，在 “世界杯 ”足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ 进 攻，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到 C点有三种射门方式： 第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门第三种是甲将球传给丙，由丙射 门仅从射门角度考虑，应选择 第二 种射门方式【解答】 解：设 AP 与圆的交点是 C，连接 CQ； 则 PCQ> A；由圆周角定理知： PCQ= B； 所以 B> A； 因此选择第二种射门方式更好 故答案为：第二三解答题（共 16 小题）25（2009沈阳模拟）如图， ABC的高 AD、BE相交于点 H，延长 AD交 ABC的外接圆于 点 G，连接 BG求证： HD=GD【解答】 证明： C=G， ABC的高 AD、 BE， C+ DAC=9°0 ， AHE+ DAC=9°0 ， C= AHE， AHE=BHG= C， G= BHG，BH=BG，又 AD BC，HD=DG26（2013 秋虞城县校级期末）如图，已知 CD是 O 的直径，弦 ABCD，垂足为点 M，点P 是 上一点，且 BPC=60°试判断 ABC 的形状，并说明你的理由【解答】 解： ABC 为等边三角形理由如下： ABCD，CD为O 的直径， 弧 AC=弧 BC，AC=BC， 又 BPC= A=60°， ABC 为等边三角形27（ 2013 秋耒阳市校级期末）已知：如图，AC交 O于点 E BAC=40°AB为O 的直径， AB=AC， BC交 O 于点 D，1）求 EBC的度数；2）求证： BD=CD解答】（1 ）解： AB=AC， ABC= C， BAC=40°，180°40°)=70°，AB 为 O 的直径， AEB=90°， EBC=90° C=20°； 证明：连结 AD，如图， AB 为 O 的直径， ADB=90°，ADBC， 而 AB=AC， BD=DC28（2014 秋高密市期中）如图， AB是O 的直径， C是 O上的点， AC=6cm， BC=8cm， ACB的平分线交 O于点 D，求 AB和 BD的长【解答】 解：如图， AB是 O的直径， ACB=90°， ADB=90°AB=10（ cm）AC=6cm， BC=8cm，CD 是 ACB的平分线， ACD= BCD，则= ，AD=BD，综上所述， AB和 BD的长分别是10cm， 5 cm29（2013 秋宜兴市校级期中）如图， ABC是 O的内接三角形， A=30°，BC=3cm求 O 的半径解答】 解：作直径 CD，连结 BD，如图， CD 为直径， CBD=9°0 ， D= A=30°，CD=2BC=2× 3=6，O 的半径为 3cm30（2010 秋瑞安市校级月考）如图， AB是 O的直径，过圆上一点 C作 CDAB于点 D，点 C 是弧 AF 的中点，连接 AF 交 CD于点 E，连接 BC交 AF 于点 G1）求证： AE=CE；2）已知 AG=10，ED： AD=3：4，求 AC 的长【解答】（1）证明：点 C 是弧 AF的中点， B=CAE，AB 是 O 的直径， ACB=90°，即 ACE+BCD=9°0 ，CDAB， B+BCD=9°0 ， B=CAE=ACE，AE=CE （6 分）（2）解： ACB=90°， CAE+CGA=9°0 ，又 ACE+ BCD=9°0 ， CGA= BCD，AG=10，CE=EG=AE=，5ED：AD=3： 4，AD=4，DE=3，AC=（10 分）31（2015 秋扬中市期中）如图， ABC中， AB> AC， BAC的平分线交外接圆于 D，DE AB于 E，DM AC于 M（1）求证： BE=CM（2）求证： AB AC=2BE【解答】 证明：（ 1）连接 BD， DC， AD 平分 BAC， BAD= CAD，弧 BD=弧 CD， BD=CD， BAD= CAD，DEAB，DMAC， M= DEB=90°， DE=DM， 在 RtDEB和 Rt DMC 中，Rt DEB RtDMC（HL）， BE=CM（2） DE AB， DMAC， M= DEA=90°， 在 Rt DEA和 Rt DMA 中Rt DEA RtDMA（HL），AE=AM，ABAC，=AE+BE AC，=AM+BE AC，=AC+CM+BEAC，=BE+CM，=2BE32（2013 宁夏模拟）如图， OA是 0的半径， 以 OA为直径的 C与0的弦 AB相交于点 D求证： AD=BD【解答】 证明：连结 OD，如图，OA 为 C 的直径， ADO=9°0 ，ODAB，AD=BD33（2011 秋宁波期中）如图，已知： AB是 O的弦， D为 O上一点， DC AB于 C，DM 平分 CDO求证： M 是弧 AB 的中点【解答】 解：连接 OM OD=OM， ODM= OMD， DM 平分 ODC， ODM= CDM， CDM= OMD， CDOM， CDAB， OMAB，弧 AM=弧 BM， 即点 M 为劣弧 AB 的中点34（2009秋哈尔滨校级期中）如图， ABC的三个顶点都在 O上， CD是高， D是垂足， CE 是直径，求证： ACD=BCE【解答】 解：连接 AE，CE为直径， EAC=90°， ACE=90° AEC，CD是高， D是垂足， BCD=9°0 B， B=AEC（同弧所对的圆周角相等） ， ACE= BCD， ACE+ ECD= BCD+ECD， ACD= BCE35已知：如图， AE是 O的直径， AF BC于D，证明： BE=CF解答】 证明： AE是O 的直径， ABE=90°， E+ BAE=90°， AF BC 于 D， FAC+ ACB=90°， E= ACB， BAE= FAC， 弧 BE=弧 CF， BE=CF36（2015 秋哈尔滨校级期中）已知 AB为 O的直径，弦 BE=DE，AD，BE的延长线交于点 C，求证： AC=AB【解答】 证明：连接 AE， AB 为 O 的直径， AEB=90°， AEB= AEC=90°，弦 BE=DE，=， DAE= BAE， C=90° DAE， B=90° BAE， B=C， AC=AB37如图， AB是圆O的直径， OCAB，交 O于点C，D是弧 AC上一点， E是AB上一点， ECCD，交 BD于点 F问： AD 与 BF相等吗为什么解答】 解：AD和 BF相等理由：如图，连接 AC、 BC，OCAB， BOC=9°0 BDC= BAC=45°EC CD， DCE= ACB=90°， DCF和ACB都是等腰直角三角形，DC=FC， AC=BC， DCA+ ACF=BCF+ACF=90°， DCA= FCB在 ACD 和 BCF中， ACD BCFDA=BF38如图， AB是 O的直径， AC、DE是 O的两条弦，且 DEAB，延长 AC、DE相交于点 F，求证： FCD= ACE【解答】 证明：连接 AD， AE，AB 是直径 AB DE，AB 平分 DE，弧 ACE=弧 AD， ACD= ADE， A、C、E、D 四点共圆， FCE= ADE， FCE= ACD， FCE+DCE= DAC+ECD， FCD= ACE39如图，已知 O 是 ABC的外接圆， AD是O 的直径，作 CEAD，垂足为 E，CE的延 长线与 AB 交于 F试分析 ACF与 ABC是否相等，并说明理由延长 CE交 O 于 M，AD 是 O 的直径，作 CE AD，弧 AC=弧 AM ， ACF=ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等） 40如图， ABC内接于 O，AD 为 ABC的外角平分线，交 O于点 D，连接 BD，CD， 判断 DBC 的形状，并说明理由【解答】 解： DBC 为等腰三角形理由如下： AD 为 ABC的外角平分线， EAD= DAC， EAD= DCB， DBC=DAC， DBC= DCB， DBC为等腰三角形一解答题（共 6 小题）1如图， AB是O 的直径，弦 CDAB，垂足为点 E，G是 上的任意一点， AG、DC的延解答】 解： FGC与 AGD 相等理由如下：连接 AD，如图，CDAB， = ， AGD=ADC， FGC= ADC， FGC= AGD2如图， AB是圆 O的直径， C是圆O上一点， D是弧AC中点， DEAB垂足为 E，AC分 别与 DE、DB 相交于点 F、G，则 AF与 FG是否相等为什么AB 是直径， DEAB， ADB= DEB=90°， ADE= ABD， D 为弧 AC中点， DAC= ABD， ADE= DAC， AF=DF， FAE= DAC， DF=FG， AF=FG3如图， AB为 O的直径，以 OA为直径作 C，AD为 O的弦，交 C于 E，试问，当 D 点在 O上运动时（不与 A重合）， AE与 ED的长度有何关系证明你的结论【解答】 解： AE=ED 理由：连接 OE， AO 是 C 的直径， OEA=9°0 ， OEAD，OE过圆 O 的圆心 O， AE=ED4如图， OA是 O的半径，以 OA为直径的 C与O的弦 AB交于点 D， 的中点求证： D 是 AB【解答】 证明：连接 OD，OA 为 C 的直径， ODA=9°0 ，即 OD AB， D 是 AB的中点5（2007鄂尔多斯）如图，在 ABC中， ACB=90°， D 是 AB的中点，以 交 ABC的边于 G， F，E点求证：（1）F 是 BC的中点； （2） A= GEFDC 为直径的 O（1）连接 DF， ACB=90°， D是 AB 的中点，BD=DC= AB，（2 分）DC是O 的直径，DFBC，（4 分）BF=FC，即 F是 BC的中点；（ 5 分）（2） D，F分别是 AB，BC的中点，DFAC，（6 分） A= BDF，（ 7 分） BDF=GEF（圆周角定理） ，（8 分） A= GEF（9 分） 证明二：（1）连接 DF，DE，DC是O 直径， DEC=DFC=90°（ 1 分） ECF=90°，四边形 DECF是矩形EF=CD， DF=EC（ 2 分）D 是 AB 的中点， ACB=90°，EF=CD=BD= AB（ 3 分） DBF EFC（ 4 分） BF=FC，即 F是 BC的中点（ 5 分） （2） DBF EFC， BDF=FEC， B= EFC（ 6 分） ACB=90°（也可证 AB EF，得 A= FEC）， A= FEC（7 分） FEG=BDF（同弧所对的圆周角相等 ），（8 分） A= GEF（9 分）（此题证法较多，大纲卷参考答案中，又给出了两种不同的证法，可供参考 ）6（ 2000 兰州）如图，圆内接四边形 ABCD的外角 DCH=DCA，DPAC垂足为 P，DH BH 垂足为 H，求证： CH=CP，AP=BH【解答】 证明：（ 1）在 DHC与 DPC中， DCH=DCA， DPAC，DHBH，DC为公共边， DHC DPC，CH=CP（2）连接 DB，由圆周角定理得，DAC=DBH， DHC DPC，DH=DP，DPAC，DHBH， DHB= DPC=9°0 ， DAP DBH，AP=BH