四年级高思奥数之格点与割补含答案.docx

第 19 讲 格点与割补内容概述明确格点多边形的概念， 学会通过分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规 则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式 .典型问题兴趣篇1图 19-l 中相邻两格点问的距离均为1 厘米三个多边形的面积分别是多少平方厘米2图 19-2 中相邻两格点问的距离均为l 厘米三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米3图 19-3 中每个小正方形的面积均为2 平方厘米阴影多边形的面积是多少平方厘米l 平方厘米三个5如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 形 EFG 的面积分别是多少平方厘米 ?1 平方厘米四边形 ABCD和三角4图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 多边形的面积分别为多少平方厘米 ?（单位：厘米 ）6图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积7如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形 是 6 厘米，图中线段 AE、AH 都等于 2 厘米求长方形EFGH 已知正方形 ABCD 的边长EFGH 的面积8如图 19-8 所示，四边形 ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边形 CDEF 是平行四边形如果9如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米连接大正方形的各边中点得到一个小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连请问： 阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 ?图中10在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是2 厘米，求三角形拓展篇1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为的面积分别是多少平方厘米2. (1)图 19-12 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米(2)图 19-13 中每个小正三角形的面积是4 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米3图 19-14 中每个小正方形的边长为1 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米4如图 19-15 和图 19-16 ，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点已知图 19-15 中阴影部分的面积是 294 平方分米请问：图 19-16 中的阴影部分的面 积是多少平方分米 ?5如图 19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是 36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ?N 是 CD 中6如图 19-18 所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米， M 是 AB 中点， 点， P是EF中点请问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米 ?7图 19-19 中小正方形和大正方形的边长分别是 4 厘米和 6 厘米阴影部分的面积是多少 平方厘米 ?8图 19-20 中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长 9 厘 米，CF长 3厘米，求阴影部分的面积9图 19-21 是一个边长为 l 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬” 梯形的上底长 1.5米， A 为上底的中点， B 为下底的中点，线段 AB 恰好是梯形的高，长为0.3 米图中阴影部分的面积是多少平方米 ?10在图 19-22 中，每一个小正方形的面积都是 1 平方厘米用粗线围成的图形面积是多少 平方厘米 ?11如图 19-23 ，正方形网格的总面积等于96 平方厘米，求阴影图形的面积12如图 19-24，每个小等边三角形的面积都是 1 平方厘米阴影部分的面积是多少平方厘 米?超越篇1图 19-25 中每个小正方形的边长为 1 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米 ?2如图 19-26，平面上有 16 个点，相邻两点间隔为 1 厘米在每个点都钉上钉子，形成 4 行 4 列的正方形钉阵现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形?（面积相同但形状不同的三角形算一种 ）3已知大的正六边形面积是 72 平方厘米， 按图 19-27 中不同方式切割 （ 切割点均为等分点 ），4. 图 19-28 为一个边长为 的面积为多少平方厘米 ?2 厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点围成的阴影部分5如图 19-29 所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积 是多少平方厘米 ?（单位：厘米 ）6. 如图 19-30 所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、 4、5、7问：这个图形的7如图 19-31，有一个 80×100 的长方形网格，它的四个顶点分别为A、 B、C、D已知图中每一个小方格的面积都是 l，请选出一个合适的格点 P，使得三角形 PAC 的面积尽可能小（ 不能等于 0），那么这个最小的面积是多少8正 12 边形的边长为 1 厘米，阴影部分都是正三角形 空白部分面积等于多少平方厘米第 19 讲 格点与割补内容概述明确格点多边形的概念， 学会通过分割和添补的方法计算其面积； 学会利用割补法计算不规 则图形的面积；掌握格点多边形的面积计算公式 .典型问题兴趣篇1图 19-l 中相邻两格点问的距离均为 1 厘米三个多边形的面积分别是多少平方厘米答案： 4 平方厘米 2 平方厘米 8 平方厘米【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L - 1） ×单位正方形 2 面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为： （0+10÷2-1）×1=4（平方厘米 ） 有 N=0，L=10，则用粗线围成图形的面积为： （1+4÷ 2-1 ） ×1=2（平方厘米 ） 有 N=5，L=8 ，则用粗线围成图形的面积为： （5+8÷2-1） ×1=8（ 平方厘米 ）2图 19-2 中相邻两格点问的距离均为 l 厘米三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米答案： 5 平方厘米 5 平方厘米 0.5 平方厘米【分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L - 1） ×单位正方形 2 面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为： （ 4+4÷2-1 ） ×1=5（平方厘米 ） 有 N=4，L=4，则用粗线围成图形的面积为： （ 4+4÷2-1 ） ×1=5（平方厘米 ） 有 N=0，L=3 ，则用粗线围成图形的面积为： （0+3÷2-1） ×1=0.5（平方厘米 ）3图 19-3 中每个小正方形的面积均为2 平方厘米阴影多边形的面积是多少平方厘米答案： 19 平方厘米【分析】 方法 ：交点组成了正方形格点， 正方形格点阵中多边形面积公式：N+L - 1） ×单位正方形面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数 2有N=7，L=17 ，则用粗线围成图形的面积为： （ 7+7÷2-1） ×2=19（平方厘米 ）l 平方厘米三个4图 19-4 是一个三角形点阵，其中能连出的最小的等边三角形的面积为 多边形的面积分别为多少平方厘米 ?答案： 6 平方厘米 6 平方厘米 14 平方厘米【分析】方法 ：正三角形方形格点阵中多边形面积公式： （2N+L-2）x 单位正 三角形面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=0，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为： （0 ×2+8- 2） ×1=6（平方厘米 ） 有 N=2，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为： （2 ×2+4- 2） ×1=6（平方厘米 ） 有N=4，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为： （4 ×2+7-2） ×1=14（平方厘米 ）5如图 19-5 所示，如果每个小等边三角形的面积都是 形 EFG 的面积分别是多少平方厘米 ?1 平方厘米四边形 ABCD 和三角答案： 20平方厘米 10 平方厘米【分析】方法 ：正三角形方形格点阵中多边形面积公式： （2N+L-2）x 单位正 三角形面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为： （9 ×2+4- 2） ×1=20（平方厘 米）有 N=4，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为： （4 ×2+4- 2） ×1=10（平方厘 米）（单位：厘米 ）6图 19-6 中的数字分别表示对应线段的长度，试求这个多边形的面积答案： 32 平方厘米【分析】 3×2+2×4+（ 5-2）×（ 3+1+2 ） =327如图 19-7 所示，在正方形 ABCD 内部有一个长方形 是 6 厘米，图中线段 AE、AH 都等于 2 厘米求长方形EFGH 已知正方形 ABCD 的边长EFGH 的面积答案： 16 平方厘米分析】 先算正方形面积6× 6=36 再算左上角和右下角三角形面积2×2÷2× 2=4 后算左下角和右上角三角形面积4×4÷2× 2=16 36-4-16=16ABCD 是长方形，长 AD 等于 7 厘米，宽 AB 等于 5 厘米，四边形 CDEF 是平行四边形如果8如图 19-8 所示，四边形答案： 25 平方厘米分析】 S平行四边形 CDEF =DC×BC=5×7=35， HC=BC-BH=7-3=，4 所以S CDH =1 × CD×HC=1 ×5×4=10 CDH 2 2S阴影 = S平行四边形 CDEF - S CDH =35-10=25（ 平方厘米 ）.9如图 19-9 所示，大正方形的边长为 10 厘米连接大正方形的各边中点得到一个小正方 形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连请问： 图中 阴影部分的面积总和等于多少平方厘米 ?答案： 50 平方厘米【分析】 如下图，我们将大正方形中的所有图形分成 A、B 两种三角形其中含有 A形三角形 8 个， B形三角形 16个，其中阴影部分含有 A形三角形 4 个， B形三角形 8 个所以，阴影部分面积恰好为大正11 ×10×10=50（平方厘米 ）210在图 19-10 中，五个小正方形的边长都是方 形面 积 的 1 ， 即为2答案： 14 平方厘米【分析】 方法 ：转化为正方形格点，正方形格点阵中多边形面积公式：（N+L - 1） ×单位正方形面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数2有 N=3，L=3，则用粗线围成图形的面积为： （ 3+3÷2-1 ） × 4=14（平方厘米 ）1. 图 19-11 中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为 的面积分别是多少平方厘米l 平方厘米 这三个多边形拓展篇答案： 7.5平方厘米6.5 平方厘米 9平方厘米分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L - 1） ×单位正方形 2面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=4，L=9，则用粗线围成图形的面积为： （ 4+9÷2-1 ） ×1=7.5（ 平方厘米 ）有 N=3，L=9，则用粗线围成图形的面积为： （ 3+9÷2-1 ） ×1=6.5（ 平方厘米 ）有 N=4，L=12，则用粗线围成图形的面积为： （4+12÷2-1）×1=9（平方厘米 ）2. （1）图 19-12 中每个小正方形的面积是 2 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米（2）图 19-13 中每个小正三角形的面积是 4 平方厘米阴影部分面积是多少平方厘米答案： 17平方厘米56 平方厘米分析】 方法：正方形格点阵中多边形面积公式： （N+ - 1） ×单位正方形面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=3，L=13，则用粗线围成图形的面积为：（3+13÷2-1）×2=17（平方厘米 ） 【分析】方法 ：正三角形方形格点阵中多边形面积公式： （2N+L-2）x 单位正 三角形面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有N=4，L=8，所以用粗线围成的图形的面积为： （4 ×2+8-2） ×4=56（平方厘米 ）19-14 中每个小正方形的边长为 1 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米3图答案：面积14 平方厘米分析】 方法 ：可用公式先算出整个图形的面积，在减去中间空白部分的 正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L - 1） ×单位正方形面积，其中 N 2为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=21，L=8，则用粗线围成图形的面积为：（21+8÷2-1）×1=24（平方厘米 ） 有 N=5，L=12，则用粗线围成图形的面积为：（5+12÷2-1）×1=10（平方厘米 ） 24-10=14 平方厘米4如图 19-15 和图 19-16 ，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点已知图 19-15 中阴影部分的面积是 294 平方分米请问：图 19-16 中的阴影部分的面 积是多少平方分米 ?答案： 200 平方分米【分析】 在图 19-15 中，原正三角形被分成 25 个小正三角形，而阴影部 分含有 12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为 294÷12=24.5 ，所以原 正三角形的面积为 24. 5×25=612.5（ 平方分米 ）而在图 19-16 中，原正三角形被分成 49 块，而阴影部分含有 16块，所以阴 影部分的面积为 612.5÷49×16=200（平方分米 ） 5如图 19-17，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形36 平方厘米，那么正方形 B 的面积是多少平方厘米 ?A 的面积是答案： 32 平方厘米【分析】 在 A 中做一条对角线，三角形会被平分为 4 部分，整个三角形面积为 72，在 B 中连接两条对角线，整个图形被分为9 部分， B 占四部分。36× 2=72 72÷9×4=326如图 19-18 所示，正六边形 ABCDEF 的面积是 6平方厘米， M 是 AB 中点，N 是 CD 中 点，P是EF 中点请问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米 ?答案： 2.25 平方厘米【分析】 如下图，我们将图 19-18 分成大小、形状相同的三角形，有正六边形 ABCDEF包含有 24个小正三角形，而阴影部分 MNP包含有 9 个小正三角形1正六边形 ABCDEF的面积为 6，所以每个小正三角形的面积为 6÷24= 1 ，所4 以三角形 MNP的面积为 9× 1 =2.25( 平方厘米 ) 47图 19-19 中小正方形和大正方形的边长分别是 4 厘米和 6 厘米阴影部分的面积是多少 平方厘米 ?答案 :18 平方厘米【分析】 先算两个正方形面积 4×4+6×6=52,再算两个空白三角形面积 6×6÷ 2=18 4×(4+6) ÷2=20 最后算左上角小阴影三角形面积 4×(6-4)÷2=452-18-20+4=188图 19-20 中，三角形 ABC 和 DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 米，CF长 3厘米，求阴影部分的面积答案： 27 平方厘米【分析】 如图 (a) ，将原题中图形分为DF 长 9 厘12个完全一样的小等腰三角形ABC 占有 9 个小等腰三角形，其中阴影部分占有6 个小等腰三角形，40. 5÷9×6=27(平方S ABC =9× 9÷ 2=40.5( 平方厘米 ) ，所以阴影部分的面积为 厘米)9图 19-21 是一个边长为 l 米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬” 梯形的上底长 1.5 米， A 为上底的中点， B 为下底的中点，线段 AB 恰好是梯形的高，长为 0.5 米， CD 长为0.3 米图中阴影部分的面积是多少平方米17答案：17 平方米24【分析】：将下图中一些点标上字母延长 AB交正方形边 EF 于 H点 我们先求出梯形 JICK 与正方形 IFEC 的面积和，再求出三角形 AFH与梯形 AHED的面积和， 将前者与后者做差所得到的值即为所求阴 影部分的面积1S梯形 JICK = ×(1. 5+1) ×0.5=0.625 ，2S正方形 IFEC =1×1=111111S AFH = ×AH×FH= ×(AB+BH)×( FE)= ×(0.5+1)- ( ×1)=0.375 ， AFH 222221111S梯形 AHED=1×(AH+DE)×HE=1×(AB+BH+C-ECD)×(1FE)=1×AHED22221113(0.5+1+1- ) ×( ×1)= 3224有 S阴影 =S梯形 JICK +S正方形 IFEC - S AFH - S梯形 AHED =0.625+l-0.375-13 =17 （平方24 24米）17即阴影部分的面积为17 平方米2410在图 19-22 中，每一个小正方形的面积都是 1 平方厘米用粗线围成的图形面积是多少 平方厘米 ?答案： 6.5 平方厘米【分析】 正方形格点阵中多边形面积公式： （N+L - 1） ×单位正方形面积， 2 其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为： （4+72 -1 ）×1=6.5（平方厘米）11如图 19-23，正方形网格的总面积等于 96 平方厘米，求阴影图形的面积答案： 38 平方厘米【分析】 先算每个小正方形面积： 96÷（ 6×8）=2 平方厘米。正方形格 点阵中多边形面积公式： （N+L - 1） ×单位正方形面积，其中 N为图形内格点数， 2L为图形周界上格点数有 N=8，L=21，则用粗线围成图形的面积为：（8+24÷2-1）×2=38（平方厘米 ）12如图 19-24 ，每个小等边三角形的面积都是 米?1 平方厘米阴影部分的面积是多少平方厘答案： 17 平方厘米【分析】 正三角形方形格点阵中多边形面积公式： （2N+L-2）x 单位正三角形 面积，其中 N为图形内格点数， L 为图形周界上格点数有 N=6，L=7，所以用粗线围成的图形的面积为： （6 ×2+7-2） ×1=17（平方厘米 ） 超越篇1图 19-25 中每个小正方形的边长为1 厘米阴影部分的面积是多少平方厘米答案： 34 平方厘米【分析】 大面积减小面积：16 12（ 41+ -1）-（19+ -1） =34（平方厘米）222如图 19-26，平面上有 16 个点，相邻两点间隔为 1 厘米在每个点都钉上钉子，形成 4 行 4 列的正方形钉阵现在有许多皮筋，请问：可以套出多少种不同面积的三角形?（面积相同但形状不同的三角形算一种 ）答案： 9 种【分析】 由小到大，共 9 种。3已知大的正六边形面积是 72 平方厘米， 按图 19-27 中不同方式切割 （ 切割点均为等分点 ）， 形成的阴影部分面积各是多少平方厘米 ?答案： 18平方厘米 54 平方厘米 24平方厘米分析】 把每个图形分割成若干个相同的小正三角形72 ÷24× 6=18（平方厘米）72 ÷24× 8=54（平方厘米）72÷18×6=24（平方厘米）4. 图 19-28 为一个边长为 2 厘米的正方形，分别连接顶点与对应边中点围成的阴影部分答案： 0.8 平方厘米分析】 2× 2÷ 5=0.8 （平方厘米） 5如图 19-29 所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米 ?（单位：厘米 ）答案： 20 平方厘米【分析】 将 AD、BC延长交于 E，有 EDC=4°5 ，ECD=9°0 ，所以 CDE为等 腰直角三角形，有 EC=DC而ECD =45°， EAB=90°，所以 ABE也是等腰直角三角形，有 EA=AB1 49 有S ABE = 1 ×AB×EA= 49 ，22S EDC=1 ×EC×DC=922有S四边形 ABCD=S ABE-S EDC= 2 - 2=206. 如图 19-30 所示，这个多边形六条边的长度分别是1、2、3、 4、5、7问：这个图形的面积最大可能是多少 ?答案： 26 平方厘米【分析】 5× 4+2× 3=26（平方厘米）7如图 19-31，有一个 80×100 的长方形网格，它的四个顶点分别为A、 B、C、D已知图中每一个小方格的面积都是 l，请选出一个合适的格点 P，使得三角形 PAC 的面积尽可能 小（ 不能等于 0），那么这个最小的面积是多少 ?答案： 10 平方厘米 8正 12 边形的边长为 1 厘米，阴影部分都是正三角形 空白部分面积等于多少平方厘米答案： 6 平方厘米【分析】 将每个正三角形的顶点与正十二边形的中心点连接，并将每两个正三角形顶点顺 次连接，即由一个阴影三角形和两个空白三角形组成一个正方形，面积是 1，两个空白三角 形面积是其中的一半 0.5. 图形中总共 24 个空白三角形，即面积为 0.5 （ 24 2 ）=6（平 方厘米）