反比例函数全章复习与巩固基础知识讲解.docx

反比例函数全章复习与巩固（基础） 【学习目标】1使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，能判断一个给定函数是否为反比例函数；2能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式；3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂406878 反比例函数全章复习 知识要点】要点一、反比例函数的概念一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：在中，自变量的取值范围是， ()可以写成()的形式，也可以写成的形式.要点二、反比例函数解析式的确定 反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要知道一对的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出的值，从而确定其解析式.典型例题】类型一、确定反比例函数的解析式1、已知函数是反比例函数，则的值为. 【答案】【解析】根据反比例函数概念，且，可确定的值.【总结升华】反比例函数要满足以下两点：一个是自变量的次数是1，另一个是自变量的系数不等于0.举一反三：【变式】反比例函数图象经过点（2，3），则的值是（ ）.A. B. C. 0D. 1【答案】D；反比例函数过点（2，3） 要点三、反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限它们关于原点对称，反比例函数的图象与轴、轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交要点诠释：观察反比例函数的图象可得：和的值都不能为0，并且图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点的图象是轴对称图形，对称轴为两条直线；的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）；(k0)在同一坐标系中的图象关于轴对称，也关于轴对称. 注：正比例函数与反比例函数，当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称. 2.反比例函数的性质（1）图象位置与反比例函数性质 当时，同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小；当时，异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大.（2）若点()在反比例函数的图象上，则点（）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.（3）正比例函数与反比例函数的性质比较正比例函数反比例函数解析式图 像直线有两个分支组成的曲线（双曲线）位 置，一、三象限；，二、四象限，一、三象限，二、四象限增减性，随的增大而增大，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而减小，在每个象限，随的增大而增大（4）反比例函数y中的意义过双曲线(0) 上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线(0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.类型二、反比例函数的图象及性质2、已知，反比例函数的图象在每个分支中随的增大而减小，试求的取值范围【思路点拨】由反比例函数性质知，当0时，在每个象限内随的增大而减小，由此可求出的取值范围，进一步可求出的取值范围【答案与解析】解：由题意得：，解得，所以，则3【总结升华】熟记并能灵活运用反比例函数的性质是解答本题的关键举一反三：【变式】已知反比例函数，其图象位于第一、第三象限内，则的值可为_（写出满足条件的一个的值即可）【答案】3（满足2即可）.3、在函数（，为常数）的图象上有三点(3，)、(2，)、(4，)，则函数值的大小关系是（ ）A B C D【答案】D；【解析】 |0， |0，反比例函数的图象在第二、四象限，且在每一个象限里，随增大而增大，(3，)、(2，)在第二象限，(4，)在第四象限， 它们的大小关系是：【总结升华】根据反比例函数的性质，比较函数值的大小时，要注意相应点所在的象限，不能一概而论，本题的点(3，)、(2，)在双曲线的第二象限的分支上，因为32，所以，点(4，)在第四象限，其函数值小于其他两个函数值举一反三：【变式1】（2014春海口期中）在同一坐标系中，函数y=和y=kx+3（k0）的图象大致是（）.A. B.C. D. 【答案】C；提示：分两种情况讨论：当k0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、三象限，y=的图象在第一、三象限；当k0时，y=kx+3与y轴的交点在正半轴，过一、二、四象限，y=的图象在第二、四象限故选C【高清课堂406878 反比例函数全章复习 例7】【变式2】已知,且则函数与在同一坐标系中的图象不可能是( ) . 【答案】B ；提示：因为从B的图像上分析，对于直线来说是，则，对于反比例函数来说，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.4、如图所示，P是反比例函数图象上一点，若图中阴影部分的面积是2，求此反比例函数的关系式【思路点拨】要求函数关系式，必须先求出的值，P点既在函数的图象上又是矩形的顶点，也就是说，P点的横、纵坐标的绝对值是矩形的边长【答案与解析】解：设P点的坐标为(，)，由图可知，P点在第二象限， 0，0 图中阴影部分矩形的长、宽分别为、 矩形的面积为2， 2， 2 ， 2 此反比例函数的关系式是【总结升华】此类题目，要充分利用过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线所得矩形面积为|这一条件，进行坐标、线段、面积间的转换举一反三：【变式】如图，过反比例函数的图象上任意两点A、B，分别作轴的垂线，垂足为，连接OA，OB，与OB的交点为P，记AOP与梯形的面积分别为，试比较的大小.【答案】解：， 且，.类型三、反比例函数与一次函数综合5、已知反比例函数和一次函数的图象的一个交点坐标是(3，4)，且一次函数的图象与轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的表达式【思路点拨】因为点(3，4)是反比例函数与一次函数的图象的一个交点，所以把(3，4)代入中即可求出反比例函数的表达式欲求一次函数的表达式，有两个待定未知数，已知一个点(3，4)，只需再求一个一次函数图象上的点即可由已知一次函数图象与轴的交点到原点的距离是5，则这个交点坐标为(5，0)或(5，0)，分类讨论即可求得一次函数的解析式【答案与解析】解：因为函数的图象经过点(3，4)， 所以，所以12 所以反比例函数的表达式是 由题意可知，一次函数的图象与轴的交点坐标为(5，0)或(5，0)，则分两种情况讨论：当直线经过点(3，4)和(5，0)时，有 解得所以当直线经过点(3，4)和(5，0)时，有 解得 所以所以所求反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为或【总结升华】本题考查待定系数法求函数解析式，解答本题时要注意分两种情况讨论，不能漏解举一反三：【变式】如图所示，A、B两点在函数的图象上（1）求的值及直线AB的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数【答案】解：（1）由图象可知，函数的图象经过点A(1，6)，可得6设直线AB的解析式为 A(1，6)，B(6，1)两点在函数的图象上， 解得 直线AB的解析式为（2）题图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数是3要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点1反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.2列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.【类型四、反比例函数应用6、（2015兴化市三模）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度v（千米/小时）与所用时间t（小时）的函数关系如图所示，其中60v120（1）直接写出v与t的函数关系式；（2）若一辆货车同时从乙地出发前往甲地，客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后两车相遇求两车的平均速度；甲、乙两地间有两个加油站A、B，它们相距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲地与B加油站的距离【答案与解析】解：（1）设函数关系式为v=，t=5，v=120，k=120×5=600，v与t的函数关系式为v=（5t10）；（2）依题意，得3（v+v20）=600，解得v=110，经检验，v=110符合题意当v=110时，v20=90答：客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时；当A加油站在甲地和B加油站之间时，110t（60090t）=200，解得t=4，此时110t=110×4=440；当B加油站在甲地和A加油站之间时，110t+200+90t=600，解得t=2，此时110t=110×2=220答：甲地与B加油站的距离为220或440千米 【总结升华】解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.【巩固练习】一.选择题1（2014宜阳县校级模拟）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（）A（2，3） B（3，2） C（2，3） D（2，3）2. 函数与在同一坐标系内的图象可以是（ ）3. 反比例函数的图象经过点P(1，2)，则这个函数的图象位于（ ）A第二、三象限 B第一、三象限 C第三、四象限 D第二、四象限4. 数是反比例函数，则的值是（ ）A±1 B1 C D15. 如图所示，直线与双曲线相交于点A，点A的纵坐标为3，的值为（ ）A1 B2 C3 D46. 点(1，)，(2，)，(3，)在反比例函数的图象上下列结论中正确的是（ ）A B C D7. 已知、是反比例函数图象上的三点，且，则、的大小关系是（）A B C D8. 如图所示，点P在反比例函数的图象上，且横坐标为2若将点P先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点，则在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式是（ ）A B C D二.填空题9. 图象经过点（2，5）的反比例函数的解析式是 .10.（2014秋大竹县校级期末）若函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围_.11.反比例函数的图象叫做_.当时，图象分居第_象限，在每个象限内随的增大而_；当时，图象分居第_象限，在每个象限内随的增大而_.12. 若点A(，2)在反比例函数的图像上，则当函数值2时，自变量的取值范围是_.13.若变量与成反比例，且时，则与之间的函数关系式是_，在每个象限内函数值随的增大而_.14.已知函数，当时，则函数的解析式是_.15如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，另三点在坐标轴上，则.16.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量的某种气体，当改变容积V时，气体的密度也随之改变在一定范围内，密度是容积V的反比例函数当容积为5时，密度是1.4，则与V的函数关系式为_三.解答题17. 一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t()与行驶速度v()满足函数关系：，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A(40，1)和B(，0.5)（1）求和的值；（2）若行驶速度不得超过60，则汽车通过该路段最少需要多少时间？18. 在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（）的反比例函数，其图象如图所示(1) 求P与S之间的函数关系式；(2) 求当S0.5 时物体承受的压强P 19.（2015淄博模拟）如图，直线y=x与双曲线y=（x0）交于点A，将直线y=x向下平移个6单位后，与双曲线y=（x0）交于点B，与x轴交于点C.（1）求C点的坐标. （2）若=2，则k的值为？20.如图所示，一次函数与反比例函数的图象交于点A(4，)和B(8，2)，与轴交于点C(1) _，_；(2)根据函数图象可知，当时，的取值范围是_；(3)过点A作AD轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点设直线OP与线段AD交于点E，当时，求点P的坐标【答案与解析】一.选择题1.【答案】D；【解析】反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，该点的坐标为（2，3）故选：D2.【答案】B； 【解析】分0，和0分别画出图象，只有B选项是正确的.3.【答案】D；【解析】 点P(1，2)在第二象限， 反比例函数的图象在第二、四象限.4.【答案】D；【解析】由反比例函数的意义可得：解得，15.【答案】C；【解析】把3代入，得 A(1，3)把点A的坐标代入，得.6.【答案】B；【解析】 ， 反比例函数的图象位于第二、四象限，画出函数图象的简图，并在图象上表示出已知各点，易知 7.【答案】C；【解析】观察图象如图所示8.【答案】D；【解析】 由点P的横坐标为2，可得点P的纵坐标为 由题意可得点 在第一象限内，经过点的反比例函数图象的解析式为故选D项二.填空题9.【答案】；10.【答案】m2；【解析】函数y=的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，m20，解得m2 11.【答案】双曲线；一、三；减小；二、四；增大；12.【答案】2或；【解析】结合图象考虑反比例函数增减性.13.【答案】；增大 ；14.【答案】；15.【答案】3；【解析】由矩形OABC的面积3，可得B点的横坐标与纵坐标的乘积的绝对值3，又因为图象在第四象限，所以反比例函数的.16.【答案】.三.解答题17.【解析】解：（1）将(40，1)代入，得，解得40 该函数解析式为 当t0.5时，解得80， 40，80（2）令v60，得，结合函数图象可知，汽车通过该路段最少需要小时18.【解析】解：（1）设所求函数解析式为,把（0.25,1000）代入解析式， 得1000, 解得250 所求函数解析式为（s0） （2）当s0.5时，P500(Pa)19.【解析】解：（1）将直线y=x向下平移个6单位后得到直线BC，直线BC解析式为：y=x6，令y=0，得x6=0，C点坐标为（，0）；（2）直线y=x与双曲线y=（x0）交于点A，A（，），又直线y=x6与双曲线y=（x0）交于点B，且=2，B（+，），将B的坐标代入y=中，得（+）=k，解得k=1220.【解析】解：(1)，16；(2)80或4；(3)由(1)知， 4，点C的坐标是(0，2)，点A的坐标是(4，4) CO2，ADOD4 ， 即， DE2 点E的坐标为(4，2)又点E在直线OP上， DE2 点E的坐标为(4，2)由 得 （不合题意舍去） P的坐标为.