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反函数例题讲解例1下列函数中，没有反函数的是( )(A) y = x21（x<）(B) y = x3+1（xR）(C) （xR，x1）(D) 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念从代数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析作为选择题还可用特例指出不存在反函数本题应选（D）因为若y = 4，则由 得 x = 3由 得 x = 1 （D）中函数没有反函数如果作出 的图像（如图），依图更易判断它没有反函数例2求函数 （1x0）的反函数解：由 ，得： 1x2 = (1y)2， x2 = 1(1y)2 = 2yy2 1x0，故 又 当 1x0 时， 01x21， 01，011，即 0y1 所求的反函数为 （0x1）由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： 把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变量y当作系数，求出x = ( y ) 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； 依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换x = ( y )为y = ( x )例3已知函数 f ( x ) = x2 + 2x + 2（x<1），那么 f 1 (2 )的值为_分析：依据f 1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f 1 ( x )，再求f 1 (2 )的值（略）依据函数与反函数的联系，设f 1 (2 ) = m，则有f ( m ) = 2据此求f 1 (2 )的值会简捷些令 x2 + 2x + 2 = 2，则得：x2 + 2x = 0 x = 0 或 x =2 又x<1，于是舍去x = 0，得x =2，即 f 1 (2 ) = 2 例4已知函数 （x0），那么 f ( x )的反函数f 1 ( x )的图像是( )y（B）x01（A）yx01（D）yx01（C）x01y分析：作为选择题，当然不必由f ( x )求出f 1 ( x )，再作出f 1 ( x )图像，予以比较、判断由（x0）易得函数f ( x )的定义域为，值域为 于是有函数f 1 ( x )的定义域为，值域为依此对给出图像作检验，显然只有（D）是正确的因此本题应选（D）例5给定实数a，a0，a1，设函数（xR，x）求证：这个函数的图像关于直线y = x成轴对称图形分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路证明：先求给出函数的反函数：由 （xR，x），得y ( ax1) = x1 (ay1)x = y1 若ay1 = 0，则ay = 1 又a0，故 此时由可有y = 1于是=1，即a = 1，这与已知a1是矛盾的，故ay1 0 则由得 （yR，y） 函数 （xR，x）的反函数还是（xR，x）由于函数f ( x )与f 1 ( x )的图像关于直线y = x对称，故函数（xR且x）的图像关于直线y = x成轴对称图形本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P（x，y）是函数f ( x )图像上任一点，则点P关于直线的对称点Q（y，x）也在函数f ( x )的图像上（过程略）例题讲解（反函数）例1求下列函数的反函数：(1) y =3x1 (xR)；(2) y =x31 (xR)；(3) (x0)；(4) (xR，且x1)通过本例，使学生掌握求反函数的方法求反函数时，要强调分三个步骤进行第一步将y = f (x)看成方程，解出x = f 1 (y)，第二步将x，y互换，得到y = f 1 (x)，第三步求出原函数的值域，作为反函数的定义域其中第三步容易被忽略，造成错误如第(3)小题，由解得x = (y1)2，再将x，y互换，得y = (x1)2到此以为反函数即y = (x1)2，这就错了必须根据原函数的定义域x0，求得值域y1，得到反函数的定义域，于是所求反函数为y = (x1)2 (x1)例2求下列函数的反函数：(1) y = x22x3 (x0)；(x0)，(x0)(2) 通过本例，使学生进一步掌握求反函数的方法，明确求解中三个步骤缺一不可解：(1) 由y = x22x3，得y = (x1)24，即 (x1)2 = y4，因为x0，所以，所以原函数的反函数是 ( x3)(2) 当x0时，得x = y1且y1；当x0时，得且y1，所以，原函数的反函数是：x1，x1例题讲解(反函数）例1若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y=x对称，且f(x)=(x-1)2(x1)，求g(x).选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象间的对称关系.解：f(x)与g(x)在定义域内互为反函数，f(x)=(x-1)2(x1)的反函数是y=1- (x0)，g(x)=1- (x0).说明：互为反函数的图象关于y=x对称，反之亦然，也是判断两个函数互为反函数的方法之一，本是f(x)与g(x)互为反函数，要求g(x),只须求f(x)在限定区间上的反函数即可.例2若点P(1，2)在函数y=的图象上，又在它的反函数的图象上，求a,b的值. 选题意图：本题考查反函数的概念，反函数的图象与原函数图象的对称关系的应用.解：由题意知P(1，2)在其反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于y=x对称的性质，(2，1)也在函数y=的图象上，因此：解得:a=-3,b=7.说明：引导学生树立创造性思考问题的方式、方法，利用互为反函数的图象的对称关系.（，）在反函数图象上，则(2，1)也在原函数图象上是解决该问题的关键所在，即f(2)=1,这是得到a,b的另一个关系式的条件，这样两个条件两个未知数，就可解出a,b的值.例3已知函数f(x)=(1+)2-2(x-2)，求方程f(x)=f-1(x)的解集.图28选题意图：本题考查互为反函数的函数的图象关于y=x对称的关系，灵活运用这一关系解决问题的能力.分析：若先求出f-1(x)=2-2(x-2),再解方程(1+)2-2=2-2，整理得四次方程，求解有困难，但我们可以利用y=f(x)与y=f-1(x)的图象的关系求解.先画出y=f(x)=(1+)2-2的图象，如图，因为y=f(x)的图象和y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称，可立即画出y=f-1(x)的图象，由图象可见两图象恰有两个交点，且交点在y=x上，因此，由方程组联立即可解得.解：由函数f(x)=(1+)2-2(x-2)画出图象，如图，由于函数f(x)的反函数的图象与函数f(x)的图象关于y=x对称，故可以画出其反函数图象(如图)，由图可知两图象恰有两个交点且交点都在y=x上.因此，方程组的解即为f(x)=f-1(x)的解，于是解方程组得x=-2或x=2,从而方程f(x)=f-1(x)的解集为-2,2.说明：解决本题的关键是，根据互为反函数的图象关于y=x对称，若两个函数有交点，则交点必在直线y=x上，由此，将要解的两个较复杂的方程组转化为直线y=x与其中y=(1+)2-一个方程组的解的问题.例题讲解（练习）例1函数f (x)=xx3是否存在反函数？说明理由点评：不存在， f (0)=f (1)=f (1)=0例2求下列函数的反函数(1) (2) (3) f (x)=x22x+3，x(1，+)(4)(1x0)点评：(1) (xR且x6)(2) f 1(x)=x2+1 (x0)(3) (x>2)(4) (0x1)例3求函数的反函数点评：反函数为例4已知，求f f 1(x)的值点评：，注意f (x)的定义域为x|xR且x1，值域为y|yR且y3例5已知一次函数y=f (x)反函数仍是它自己，试求f (x)的表达式分析：设y=f (x)=ax+b (a0)，则f 1(x)=(xb)由(xb)=ax+b得或 f (x)=x或f (x)=x+b (bR)例6若函数在其定义域内存在反函数(1) 求a的取值范围；(2) 求此函数的值域解：(1)方法一：原式可化为4xy+3y=ax+1，(4ya)x=13y，当y，即时，解得时原函数有反函数方法二：要使在其定义域内存在反函数，则需此函数为非常数函数，即，所以时函数在其定义域内存在反函数(2) 由解得的反函数为的定义域是x|xR且x=故的值域是y|yR且y例7设函数y=f (x)满足f (x1)=x22x+3(x0)，求f 1(x+1)解： x0，则x11 f (x1)=(x1)2+2 (x0) f (x)=x2+2 (x1)由y=x2+2 (x1)解得(y3) (x3)故 (x2)点评：f 1(x+1)表示以x+1代替反函数f 1(x)中的x，所以要先求f 1(x)，再以x+1代x，不能把f 1(x+1)理解成求f (x+1)的反函数习题1已知函数f (x)=x21 (x2)，那么f 1(4)=_2函数y=x2+x1 (x)的反函数是_3函数的反函数为_4函数 (x1)的反函数的定义域是_5已知与是互为反函数，则m=_和n=_答案12345，2