参数方程练习题.doc

1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数,并且对于的每一个允许值,由方程组所确定的点都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数的变数叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数中的一个与参数的关系,例如,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系,那么就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。例5：将下列数方程化成普通方程， ， ， ， 3圆的参数设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。4椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的双曲线的标准议程为其参数方程为，其中焦点在轴上的双曲线的标准方程是其参数方程为以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线的参数方程为7直线的参数方程经过点，倾斜角为的直线的普通方程是而过，倾斜角为的直线的参数方程为。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点，倾斜角为的直线的参数方程为，其中表示直线上以定点为起点，任一点为终点的有向线段的数量，当点在上方时，0；当点在下方时，0；当点与重合时，=0。我们也可以把参数理解为以为原点，直线向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为，则线段AB的中点所对应的参数值等于椭圆的焦点坐标是_.双曲线的离心率是_.15.曲线上的点与定点A（-1，-1）距离的最小值是_.16. 已知，则的最小值是_.17点M（x,y）在椭圆上，则点M到直线的最大距离为_,此时，点M的坐标是_.例1.讨论下列问题：1、已知一条直线上两点、，以分点M（x，y）分所成的比为参数，写出参数方程。2、直线(t为参数)的倾斜角是 ABCD3、方程（t为非零常数，为参数）表示的曲线是 ( )A直线B圆C椭圆D双曲线4、已知椭圆的参数方程是（为参数），则椭圆上一点 P (，)的离心角可以是 A B C D例2 把弹道曲线的参数方程 化成普通方程例4. 直线3x2y6=0，令y = tx 6（t为参数）求直线的参数方程例5.已知圆锥曲线方程是（1） 若t为参数，为常数，求该曲线的普通方程，并求出焦点到准线的距离；（2） 若为参数，t为常数，求这圆锥曲线的普通方程并求它的离心率。例6. 在圆x22xy2=0上求一点，使它到直线2x3y5=0的距离最大例7. 在椭圆4x29y2=36上求一点P，使它到直线x2y18=0的距离最短（或最长） 例8.已知直线；l：与双曲线（y-2）2-x2=1相交于A、B两点，P点坐标P(-1，2)。求：（1）|PA|.|PB|的值； （2）弦长|AB|; 弦AB中点M与点P的距离。例9.已知A（2,0）,点B,C在圆x2+y2=4上移动，且有 求重心G的轨迹方程。例10.已知椭圆和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点 P2,使|P1P2|达到最大值，并求出此最大值。例11.已知直线l过定点P(-2,0),与抛物线C: x2+ y-8=0相交于A、B两点。（1）若P为线段AB的中点，求直线l的方程；（2）若l绕P点转动，求AB的中点M的方程.例12.椭圆上是否存在点P，使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线互相垂直？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。四、全国历届高考试题选编：1设的最小值是（ ）A B C3 D2.在极坐标系中，圆心在且过极点的圆的方程为（ ）A. B. C. D.3.极坐标方程cos与cos 的图形是( )0xA.B.C.D.0x0x0x4.极坐标方程所表示的曲线是（ ）A两条相交直线B圆 C椭圆 D双曲线5在极坐标系中，直线l的方程为sin=3，则点(2，/6)到直线l的距离为 6点到曲线（其中参数）上的点的最短距离为（ ）（A）0（B）1（C）（D）27.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，圆的参数方程为，则圆的圆心坐标为 ，圆心到直线的距离为 .8 O1和O2的极坐标方程分别为()把O1和O2化为直角坐标方程；()求经过O1，O2交点的直线的直角坐标方程五、模拟试题选编：1在极坐标系中，已知点（1，）和,则、两点间的距离是 2 将极坐标方程化为直角坐标方程是_.3.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 4.在极坐标系中，圆上的点到直线 的距离的最小值是 _ 5在极坐标系中，圆=cos与直线cos=1的位置关系是 6椭圆的离心率是_14在极坐标系中，曲线与（a>0，）的交点的极坐标为 14在极坐标系中，过点作圆的切线，则切线的极坐标方程是 14.极坐标方程和参数方程（为参数）所表示的图形分别是下列图形中的（依次填写序号） * 直线；圆；抛物线；椭圆；双曲线. 【答案】;.1若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为(B)AB C D2已知动圆方程x2y2xsin22·ysin()0 (为参数)，那么圆心的轨迹是(D)A椭圆 B椭圆的一部分 C抛物线 D抛物线的一部分3在极坐标系中，点(2，)到圆2cos的圆心的距离为(D)A2 4在极坐标方程中，曲线C的方程是4sin，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为(C)A4 C2 D25若直线l：ykx与曲线C：(为参数)有唯一的公共点，则实数k(C)A B C± D6如果曲线C：(为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是(C)A(2，0) B(0,2) C(2，0)(0,2) D(1,2)7在极坐标系中，直线l1的极坐标方程为(2cossin)2，直线l2的参数方程为(t为参数)，若直线l1与直线l2垂直，则k_.18已知定点A(1,0)，F是曲线(R)的焦点，则|AF|9在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为cos()1，M、N分别为曲线C与x轴、y轴的交点，则MN的中点的极坐标为10(10分)已知曲线C：，直线l：(cos2sin)12.(1)将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点P在曲线C上，求点P到直线l的距离的最小值11(15分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin.(1)求圆C的直角坐标方程；x2(y)25.(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|. 3.12在直角坐标系xOy中，直线l的方程为xy40，曲线C的参数方程为(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4，)，判断点P与直线l的位置关系；P在直线l(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值13.在直角坐标系中，直线的参数方程为，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若曲线C和直线交于两点，且，求的值.14.已知曲线C的极坐标方程为： ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线 经过点P（-1，1）且倾斜角为 (I)写出直线 的参数方程和曲线C的普通方程； ()设直线 与曲线C相交于A，B两点，求 的值15.的参数方程，以O为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，（1）求圆C的极坐标方程，（2）射线与圆C的交点为两点，求点的极坐标。六、13 14 高考题132014·天津卷 在以O为极点的极坐标系中，圆4sin 和直线sin a相交于A，B两点若AOB是等边三角形，则a的值为_342014·安徽卷 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是4cos ，则直线l被圆C截得的弦长为(D) B2 D232014·北京卷 曲线(为参数)的对称中心(B)A在直线y2x上 B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上21 2014·福建卷 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程；2xy2a0， x2y216.(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围2a2.142014·广东卷在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为_ (1，1) 162014·湖北卷 已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，则C1与C2交点的直角坐标为_112014·湖南卷 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(为参数)交于A，B两点，且|AB|2.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是_ cos sin 1112014·江西卷若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y1x(0x1)的极坐标方程为(A)A，0 B，0Ccos sin ，0 Dcos sin ，0232014·辽宁 将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2xy20与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程(t为参数)2cos 4sin 3，即.232014·新课标全国卷 已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；2xy60(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值. .232014·新课标 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos ，.(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标(t为参数，0t) D的直角坐标为，即.15. 2014·浙江卷 (1)在极坐标系Ox中，设集合A(，)|0，0cos ，求集合A所表示区域的面积；.(2)在直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，曲线C：(为参数)，其中a0.若曲线C上所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围 0a2 .152014·陕西卷在极坐标系中，点到直线sin1的距离是_1152014·重庆卷 已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin24cos 0(0，0<2)，则直线l与曲线C的公共点的极径_ 112013·湖南卷 在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为_4142013·广东卷已知曲线C的极坐标方程为2cos .以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为_(为参数)232013·辽宁卷 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2 . (1)求C1与C2交点的极坐标；（4，），（2，）(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值a1，b2.23.2013新课标已知动点P，Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(0<<2)，M为PQ的中点 (1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点(为参数，0<<2)d(0<<2)过坐标原点23.2013·陕西卷圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_(1，0)23.2013·新课标已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin .(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；28cos10sin160(2)求C1与C2交点的极坐标(0，02)，23.2013·江苏卷 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(为参数)，试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标 2xy20. y22x. (2，2)，1.