初二数学经典讲义勾股定理(基础)知识讲解.docx

勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2. 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3. 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题 【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】 要点一、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边 a、b的平方和等于斜边 c的平方 .（即： a2 b2 c2）2. 勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系， 是直角三角形的重要性质之一， 其主要 应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边； （2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（ 3）求作长度为的线段 .要点二、勾股定理的逆定理1. 原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这样的两个命题叫做互逆 命题 .如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2. 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a、b、c ，满足 a2 b2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形 . 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤： （1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证 c2与 a2 b2是否具有相等关系，若 a2 b2 c2，则 ABC是以 C 为直 角的直角三角形，反之，则不是直角三角形 .3. 勾股数222满足不定方程 x y z 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数） ， 显然，以 x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形 . 常见的勾股数： 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25；9、40、41. 如果（ a、b、c ）是勾股数，当 t 为正整数时，以 at、bt、ct为三角形的三边长，此三 角形必为直角三角形 .观察上面的、四组勾股数，它们具有以下特征：1. 较小的直角边为连续奇数；2. 较长的直角边与对应斜边相差 1.23.假设三个数分别为 a、b、 c ，且 a b c ，那么存在 a2 b c成立. （例如中存 在 722425、 9 2 40 41等） 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系： 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反， 两者互为逆定理， 都与直角三角形 有关 .【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为 6 和 8，求第三边的长 【答案与解析】 解：设第三边为 x 当 x 为斜边时，由勾股定理得 x2 62 82 所以 x 62 8236 64 100 10 当 x 为直角边时，由勾股定理，得 x2 62 82 所以 x82 6264 36 28 2 7 所以这个三角形的第三边为 10或2 7 【总结升华】 题中未说明第三边是直角边还是斜边， 应分类讨论， 本题容易误认为所求的第 三边为斜边举一反三：【变式】在 ABC中，AB15，AC13，高 AD12求 ABC的周长【答案】解：在 Rt ABD和 RtACD中，由勾股定理，得 BD 2 AB2 AD2 152 122 81 BD 81 9 同理 CD2 AC 2 AD2 132 122 25 CD 25 5 当 ACB>90°时， BCBD CD9 54 ABC的周长为： ABBCCA1541332当 ACB<90°时， BCBD CD9 514 ABC的周长为： ABBCCA151413 42 综上所述： ABC的周长为 32 或 42【思路点拨】 欲证的等式中出现了 AM2 、 作 CD AB【答案与解析】证明：过点 C 作 CDAB于 D AC BC， CDAB， AD BD ACB 90°， CD AD DBBM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要22AM2 BM 22AD DM 2ADDMAD2 2AD DMDM 2 AD22ADDM DM2、如图所示， ABC中， ACB90°， AC CB，M为 AB上一点求证：2 2 2 AM 2 BM 2 2CM 2 222(AD 2 DM 2)2(CD 2 DM2)在 Rt CDM中，CD22DM 2 CMAM 2BM2CM【总结升华】 欲证明线段平方关系问题， 首先联想勾股定理， 从图中寻找或作垂线构造包含 所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证举一反三：变式】已知， ABC中， ABAC， D为 BC上任一点，求证： AB2 AD2 BD CD .【答案】解：如图，作 AMBC于 M， ABAC， BM CM, 则在 Rt ABM中：AB2 AM 2 BM 2 在 Rt ADM中：222AD2 AM2 DM 2由得： AB2 AD2 BM2 DM 2 BM DM BM DM （MCDM）?BD CD·BD 类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、已知如图所示，在 ABC中， AB AC20，BC32，D是 BC上的一点，且 ADAC， 求 BD 的长【思路点拨】 由于 BD所在的 ABD不是直角三角形，不易直接求出BD的长，且 ACD尽管是直角三角形，但 AD的长是未知的，因而不能确定CD的长.过点 A作AEBC于 E，这时可以从 Rt ABE与 Rt ADE、 Rt ADC中，运用勾股定理可求得 AE、 DE的长，从而求出 BD的 长【答案与解析】 解：过点 A 作 AE BC于 E AB AC，11 BE EC BC32 1622在 Rt ABE中， AB20，BE16，2 2 2 2 2 AE2AB2BE2202162144 ，AE 12，在 RtADE中，设 DE x，则 AD2 AE2 DE2 144 x2 ， AD AC，2 2 22 2 2 AD 2AC 2CD 2 ，而 144x2202(16 x)2 解得： x 9 BD BE DE1697【总结升华】 勾股定理的作用是： 已知直角三角形的两边可以求第三边， 所以求直角三角形 的边长时应该联想到勾股定理举一反三：【变式】如图所示，已知 ABC中，B22.5°，AB的垂直平分线交 BC于 D，BD 6 2， AE BC于 E，求 AE的长解：连接 AD DF 是线段 AB 的垂直平分线， AD BD 6 2 ， BAD B 22.5又 ADE B BAD45°， AE BC， DAE 45°， AE DE由勾股定理得： AE2 DE2 AD2 ，2AE2 (6 2) 2，AE62264、如图所示，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、 S2、S3表示，则不难证明 S1 S2 S3 (1) 如图，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、 S2、S3表示，那么 S1、 S2、 S3 之间有什么关系 ?( 不必证明 )(2) 如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、 S2、S3表示，请你确定 S1、 S2、 S3 之间的关系并加以证明答案与解析】解：设 Rt ABC的三边 BC、CA、 AB的长分别为a、b、c ，则 a2 b22c(1)S1 S2 S3 ；(2)S1 S2 S3 证明如下：显然， S13c2，S23 a2，S33b2，444所以 S2 S33 (a2 b2)3 c2 S12 3 4 4 1【总结升华】 本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、5、如果 ABC的三边分别为 a、b、c ，且满足 a2 b2 c2 50 断 ABC的形状 .【答案与解析】解：由 a2 b22 c50 6a 8b10c，得：2a 6a92b2 8b 162 c10c25 0 (a3)22(b 4)2 (c5)20 (a3)20，(b 4)20，(c5)20a3, b4, c 5.222 324252,222abc.由勾股定理的逆定理得： ABC是直角三角形 .正五边形等6a 8b 10c ，判, 在证明中经常要【总结升华】 勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 用到.类型三、勾股定理的实际应用、如图， 一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点 B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从 A 处爬到 B 处的最短路线长为多少 ?【思路点拨】 将长方体表面展开， 由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行， 且长方体木块底面 是正方形，故它爬行的路径有两种情况答案与解析】解：如图所示因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB的长度在图中，由勾股定理，得 AB2 32 112 130 在图中，由勾股定理，得 AB2 62 82 100 因为 130>100，所以图中的 AB的长度最短，为 10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线 长为 10cm 【总结升华】 解本题的关键是正确画出立体图形的展开图， 把立体图形上的折线转化为平面 图形上的直线，再运用勾股定理求解举一反三：【高清课堂 勾股定理全章复习 例 10 】【变式】如图，有一个圆柱体，它的高为 20，底面半径为 5如果一只蚂蚁要从圆柱体下底 面的 A 点，沿圆柱表面爬到与 A 相对的上底面 B 点，则蚂蚁爬的最短路线长约为 .（ 取 3）答案】 25；提示：蚂蚁爬的最短路线长202 (5 )2 25.