2.4线段的垂直平分线.ppt

三角形,第2章,线段的垂直平分线,2.3,如图，人字形屋顶的框架中，点A 与点A关于线段CD 所在的直线l对称，问线段CD 所在的直线l 与线段AA有什么关系？,我发现AD=AD，lAA.,我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图,已知点A与点关于直线l对称，如果沿直线l折叠，则点A与点重合，AD=AD，1=2=90，即直线l既平分线段AA，又垂直线段AA,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（perpendicular bisector）.,线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.,如图，在线段AB 的垂直平分线l上任取一点P，连接PA，PB，线段PA,PB之间有什么关系？,作关于直线l的轴反射（即沿直线l对折），由于l是线段AB 的垂直平分线，因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.,已知：CDAB于O，AO=BO，点P在CD上，连结PA，PB.求证：PA=PB.,证明：CDAB POA=POB在POA和POB中PO=POPOA=POBAO=BOPOA POB（SAS）PA=PB,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,几何语言：,CDAB,AO=BOPA=PB,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等，那么点P在线段AB的垂直平分线上吗？,(1)当点P在线段AB上时，因为PA=PB，所以点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.,（2）当点P在线段AB外时,如图,因为PA=PB，所以PAB是等腰三角形.过顶点P 作PCAB，垂足为点C，从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PCAB，且AC=BC.,因此直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上.,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,几何语言：,PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上,举例,例1 已知：如图，在ABC中，AB，BC 的垂直平分线相交于点O，连接OA，OB，OC.求证：点O在AC的垂直平分线上.,举例,证明 点O在线段AB的垂直平分线上，OA=OB.同理OB=OC.OA=OC.点O在AC的垂直平分线上.,已知：如图，点C，D 是线段AB 外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.,证明：AC=BC 点C在线段AB的垂直平分线上 AD=BD 点D在线段AB的垂直平分线上 CD是线段AB的垂直平分线 AO=BO,例2 ABC中,ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DEAB于E，作DFAC于F.求证：BE=CF.,举例,证明：连接BD和CDDM垂直平分BCBD=CDD是BAC平分线上的点，且DEAB，DFACDE=DF，BDE和CFD是Rt在RtBDE和RtCFD中BD=CDDE=DFRtBDERtCFD(HL)BE=CF,举例,如图，已知线段AB，作线段AB的垂直平分线.,根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”，要作线段AB的垂直平分线，关键是找出到线段AB两端距离相等的两点.,作法,分别以点A，B 为圆心，以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C 和点D；,过点C,D作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线.,因为线段AB的垂直平分线CD与线段AB的交点就是线段AB 的中点，所以可以用这种方法作出线段的中点.,如何过一点P 作已知直线l 的垂线呢？,(1)当点P在直线l上.,(2)当点P在直线l外.,在直线l 上点P 的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB；,(1)当点P在直线l上.,分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C；,过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.,(2)当点P在直线l外.,以点P 为圆心，以大于点P 到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B；,分别以A，B 为圆心 以大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C；,过点C,P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.,1.线段的垂直平分线的性质是什么？,2.线段的垂直平分线的判定是什么？,例1 如图，已知AD是ABC的BC边上的高，且C 2B，求证：BDACCD.,证明：在BD上取DE=CD，连接AE，则ACD ADE AC=AE，C=AED=B+EAB 又C=2B，B=EAB，有AE=EB AC+CD=AE+DE=EB+DE=BD,E,结 束,