数学文化与生活 (2).ppt

数学文化与生活,集宁师范学院经管系 张 伟,个人简介,张伟,黑龙江人.教育学硕士,理学博士.副教授,主要研究数学教育.电话:15847456708.邮箱:,数学是美丽、神奇的科学,数学打开了自然与社会的大门，她揭开了两者神秘的面纱，她用各种具体的有组织的“符号”、“方程”以及“公式”等，简洁而深刻地描绘了复杂的自然与社会现象的本质，她的过程和内容都体现着自然与社会的美丽与和谐，具有极为深刻的美学价值。数学之美，质朴深沉，令人赏心悦目；数学之妙，出神入化，令人流连忘返；数学之奇，鬼斧神工，令人拍案叫绝；数学之趣，醇浓赛酒，令人回味无穷；数学之功，宇宏微观，处处游刃有余。,数学的形象,教育部在课程改革过程中做过的一项调查,这项调查涉及中小学生对各门课程的态度.调查结果显示,中小学生对数学课的态度概而言之是:又爱又恨,意思是又喜欢又讨厌,或者是有的喜欢,有的讨厌.或者说理科生喜欢,文科生讨厌,亦或说喜欢数学的喜欢,不喜欢的讨厌.为何诸多学生,谈数色变,对我们数学教师有如此敬畏之心?,主要内容:,一.数学有何用?二.数学好玩、有趣吗?三.数学美吗?四.数学有何教育价值?五.应该学数学吗?最终目标：心中有“数”。,一、数学有何用?,也许你会回答生活中有用,或者有人会更直白地回答:考试有用!这是一个很好的回答!为什么考试有用?请看下面一个故事,起死回生的问题,从前有一个国王，非常爱惜人才，即使是对囚犯也不例外。国王规定，对于死囚，在押赴刑场时可以给他一次生存的机会。为此，在押赴囚犯到刑场途中，他们设计一个丁字路口，在这个路口有两个前进方向可供选择，一个通向刑场，另一个则通向光明大道。,但是两个方向入口处各有一个士兵把守，这两个士兵中一个只讲真话不讲假话，而另一个则只讲假话不讲真话，除了他们二人之外，其他人并不知道他们中间谁是讲真话者。,起死回生的问题,由于事先并不知道两个士兵中谁是说真话者，又不能多问一个问题以求辨认真假，许多囚犯面对这样的逃生机会不知所措，只好听天由命。有的难免一死，有的侥幸逃生。有一天，一个精通数学和逻辑的囚犯，在这里依靠自己的聪明才智，明白无误地为自己捡来一条性命。那么，他提了一个什么问题呢？,最佳问法:,囚犯问其中一个士兵：如果我问他（另一个士兵）哪一条路通向光明大道，他会怎样回答？,名人语录1,音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。克莱因,名人语录2,展现在我们面前的宇宙，像一本用数学语言写成的书，若不掌握数学的语言符号，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认识不清。伽利略,名人语录3,参与开发一般智力不是为了今后某一职业的特定需要，应看成是数学教育的基本目标。F.Reidt,数学是有用的科学,像文学和各种艺术探索和描绘人类的心灵世界一样，数学的工作是探索和表达自然的奥秘，理解和描述社会的本质，她是人类认识与改造自然、理解与发展社会的一个重要工具。信息时代本质上是数学时代，信息技术本质上是数字技术。,二、数学是有趣的,数学有趣吗?估计很多同学会回答:无趣!其实数学是有趣的,审美趣味和数学趣味是一致或相同的。BELL,归纳法的妙用数不尽的骆驼,下面的故事是巧妙运用归纳法的一个例子。一位画家招收三个弟子，为了测试徒弟们对绘画奥妙掌握的程度，画家出了一道题目：要求三个弟子各自用最经济的笔墨，在给定大小的纸上画出最多的骆驼。第一个弟子为了多画一些，他把骆驼画得很小、很密，纸上显示出密密麻麻的一群骆驼；,归纳法的妙用数不尽的骆驼,第二个弟子为了节省笔墨，他只画骆驼头，从纸上可以看到许多骆驼；第三个弟子在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一只骆驼，后面还有一只骆驼只露出半截身子。三张画稿交上去，第三个弟子的画因构思巧妙、笔墨经济、以少含多而被认定为最佳作品。原因何在？,归纳法的不当使用秃子世界,只长1根头发的人是秃子。如果长n根头发的人是秃子，那么长n+1根头发的人也是秃子。于是根据数学归纳法原理，不论长多少根头发的人都是秃子，这个世界是个秃子世界。,二桃杀三士,晏婴（？前500年）是古代历史上齐国富有经验的政治家，他足智多谋，在有些事情的处理上用到了一些数学原理。在晏子春秋里记载了一个叫“二桃杀三士”的故事：齐景公有三名勇士，田开疆、公孙接和古治子。这三名勇士都力大无比，英勇善战，为齐景公立下过许多功劳。但是他们也因此而目空一切，甚至连齐国宰相晏婴都不放在眼里。,二桃杀三士,晏婴对此极为恼火，便劝齐景公杀掉他们。齐景公对晏婴言听计从，但却心存疑虑，担心万一武力制服不了他们反被他们联合反抗。晏婴于是献计于齐景公：以齐景公的名义奖赏三名勇士两个桃子，请他们自己评功，按功劳大小分吃桃子。,二桃杀三士,三名勇士都认为自己功劳很大，应该单独吃一个桃子。于是，公孙接讲了自己的打虎功，拿了一只桃子；田开疆讲了自己的杀敌功，也拿了一只桃子。两人正要吃桃时，古治子讲了自己更大的功劳。田开疆、公孙接觉得古治子功劳确实大过自己而羞愧不已，拔剑自刎。古治子见了，后悔不迭。,二桃杀三士,心想：“如果放弃桃子隐瞒功劳，则有失勇士威严；但若争功请赏羞辱同伴，又有损哥们义气。如今两位兄弟都为此绝命，我独自活着还有何意义？”于是，古治子一声长叹，拔剑结束了自己的生命。晏婴采用借“桃”杀人的办法轻易地除去了心腹之患。这里，他利用了数学中的一个简单而有用的原理：抽屉原理。,抽屉原理,所谓抽屉原理，又叫鸽笼原理，它是组合数学中一个最基本的原理，可以用来解决许多涉及存在性的组合问题。其基本内容为：把m个物体放到n个抽屉中，如果物体数比抽屉数多（即mn），那么，必然有至少一个抽屉里放入两个或两个以上的物体。,悖论的定义:,“悖论”（英语：Paradox）的字面意思是荒谬的理论，它是在一定理论系统前提下看起来没有问题的矛盾。,讲一个故事,让她无法说NO的约会!,一次，美国滑稽大师马丁.格登纳根据哈佛大学著名数学教授贝克先生告诉他的办法，成功地邀请了一位年轻姑娘一起吃晚饭。,让她无法说NO的约会,让她无法说NO的约会,格登纳对这姑娘说：“我有三个问题，请你对每个问题只用“Yes”或“No”回答，不必多做解释。,让她无法说NO的约会,第一个问题是：你愿意如实地回答我的下面两个问题吗？”姑娘答：“Yes!”“很好，”格登纳继续说：“我的第二个问题是，如果我的第三个问题是你愿意和我一道吃晚饭吗，那么，你对这后两个问题的答案是不是一致的呢？”,让她无法说NO的约会,可怜的姑娘不知如何回答是好。因为不管她怎样回答第二个问题，她对第三个问题的回答都是肯定的。那次，他们很愉快地在一起吃了顿很好的晚饭。,二难论,鳄鱼问孩子的母亲：你猜我会不会吃掉你的孩子，猜对了我就不吃，猜错了，我就吃掉他。母亲说：你是要吃掉我的孩子的。问题：鳄鱼能否吃掉孩子？,七桥问题与图论,18世纪，位于现立陶宛境内的哥尼斯堡镇，有一条河流叫普雷格尔河。河中有两个相邻的小岛，岛与岛、岛与陆地之间建有七座桥,问题：一个人能否一次无重复地走遍所有的七座桥，最后回到出发点？这就是著名的“七桥问题”。1736年，一位小学教师写信给当时的著名数学家欧拉（Euler），请教对七桥问题的解答。欧拉用数学方法对七桥问题进行了深入的研究。,七桥问题的数学模型,欧拉的解答,欧拉研究后发现：(1)这不是一个代数问题（代数问题研究量的大小、关系）;(2)这也不是一个平面几何问题（平面几何问题研究角度的大小、线段的曲直、长短等）。,在这里，陆地、岛屿的大小、形状均是无关紧要的，桥梁的曲直、长短也对问题的解答没有影响；该问题的解仅依赖于陆地、岛屿、桥梁等的具体个数及其相互位置关系。因此，可以将一块陆地或一个岛屿看作一个“点”，将一座桥梁看作一条连接两点的“线”。（如下页图）,按照欧拉的思想，七桥问题转化为：,一笔画问题在右图中，能否从图上某一点开始，笔不离纸、不重复地画出整个图形？,这一重要思想，成为近代数学之一图论的基础，同时也是近代数学拓扑学（位置几何学）的奠基。,三、数学之美,数学美吗?有人说,数学的美是一种冰冷的美丽,如林黛玉式的美丽你能欣赏吗?.,The Beauty of Mathematics 数学之美,序看看我们的美丽世界,13世纪法国王室城堡卢浮宫,莱奥纳多达芬奇(1452-1519)蒙娜丽莎,希腊艺术米罗的维纳斯像,这些都蕴含着深刻的数学道理潜藏着神奇的数学奥秘,罗素说,数学,如果正确地看她，不但拥有真理，而且还具有至高的美!正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不像绘画或音乐那样具有华丽的装饰，她可以纯净到崇高的地步，能够达到最伟大的艺术所能显示的完满境地。,哈代说,数学家跟画家或诗人一样，也是造型家。画家造型用形与色；诗人是用语言；数学家则是用概念塑造，因此更能经受时间的考验。概念也像色彩或语言一样，必须和谐一致。美学是首要的标准，在这个世界上，不美的数学找不到永久容身之地。,“审美准则”,如诗如画，神奇无比！,谈美,美是自然，是一切事物生存和发展的本质特征。,谈美学,美学是哲学的一个分支，它关注的是美和趣味的理解，以及对艺术、文学和风格的鉴赏。美学是研究现实中的美，以及如何去创造美、欣赏美的科学。,谈美学,问题：美是内在于所考察的对象之中，还是在欣赏者的感觉之中呢？美的特征或客观标准是什么呢？,一个试验,来自美国得克萨斯州大学心理学教授郎洛伊丝,什么样的人脸是美的？,郎洛伊丝的实验 结果：,1、美丽程度随着照片的合成张数的增多而增高，32张照片的合成人像得分最高；2、婴儿与成人对人像的美丑（亲疏欲）判断是一致的。,什么样的人脸是美的？,因此断言：,人们视觉上普遍认为的人脸的美，实际上是一种常规状态或常模，它集中了人的诸多特征而具有某种普遍性或共性。,Why?Why?Why?Why?Why?Why?Why?Why?Why?Why?Why?Why?WhyWhy?Why?Why?Why?W,数学为何美？,数学的简洁之美符号美、抽象美、统一美、常数美,1.数学的简洁之美,二次曲线（椭圆、抛物线、双曲线）=圆锥曲线=三种宇宙速度下物体运动的轨迹,数学的和谐之美对称美、序列美、节奏美、形式美,2.数学的和谐之美,欧拉公式看看这五干将！,数学的奇异之美有限美、神秘美、对比美、滑稽美,3.数学的奇异之美,3.数学的奇异之美,3.数学的奇异之美,3.数学的奇异之美,3.数学的奇异之美,教育部新近制订颁布的普通高中数学课程标准(实验)(简称标准)前言部分“二.课程的基本理念”第8条就是“体现数学的文化价值”,其中指出：数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神。,四、数学的价值,(一)数学为人类提供精密思维的模式,数学知识的直接广泛的应用，数学对于人类社会还有一个重要的文化功能，就是培养发展人的思维能力特别是精密思维能力。,一个人不管将来从事何种职业，思维能力都可说是无形的财富，而这种能力的培养又不是一朝一夕之功，必须有长时期的磨练。数学，正像人们常说的那样，是训练思维的体操。那么什么是数学思维或精密思维呢？数学思维包括很多方面。我想概括地和通俗地说，数学思维最基本的两大方面应该是“证”和“算”,“证”就是逻辑推理与演绎证明；“算”就是算法构造与计算，二者对人类精密思维的发展都不可或缺。,这里主要说一说“证”。从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。这种演绎论证的思维模式是古希腊欧几里得的几何原本首先开创树立的，其影响所及远远超出了数学乃至科学的领域，对人类社会的进步和发展有不可估量的作用。,欧几里得及,一个例子:,举一个文科学生可能感兴趣的例子。法国大革命形成两部基础文献人权宣言和法国宪法，是资产阶级民主革命思想的结晶。人权宣言开宗明义说：“组成国民议会的法国人民的代表们,决定把自然的、不可剥夺的和神圣的人权阐明于庄严的宣言之中，以便公民们今后以简单而无可争辩的原则为根据的那些要求能经常针对着宪法与全体幸福之维护。”,一个例子:,而后来(1791年)公布的法国宪法又将人权宣言置于篇首作为整部宪法的出发点。无独有偶，美国独立战争所产生的独立宣言开头也说：“我们认为下述真理乃是不言而喻的：人人生而平等，造物主赋予他们若干固有而不可让与的权利，其中包括生存权、自由权以及谋求幸福之权。”,数学在其他领域的应用:,把大家认为“简单而无可争辩的原则”和“不言而喻的真理”作为出发点，按照数学的语言这就是从公理出发。显然，领导法国大革命和美国独立战争的思想家、政治家们都接受了欧几里得数学思维的影响。另外，有记载说美国南北战争时期的总统林肯“相信思维能力像肌肉一样也可以通过严格的锻炼而得到加强”为此他想方设法搞到了一本欧几里得的原本并下决心亲自证明其中的一些定理，1860年他还自豪地报告说他已基本掌握了原本的前六卷”。,(二)数学是其它科学的工具和语言,关于这一点,很多数学家和非数学家都作过精辟的论述,所以请允许我在这里先来一点引经据典。德国大数学家、号称“数学王子”的高斯有句名言：“数学是科学的皇后”这句话几乎可以说家喻户晓.,但许多人可能不知道，高斯跟这句话一起说了一段话，高斯这段原话的意思可以概括为两句话，“数学是科学的皇后，数学也是科学的女仆。”我理解，前一句话突出数学是精密思维的典范，后一句则强调数学为其它科学服务，是其它科学的工具.非常形象和恰当地反映了数学的价值和作用.,高斯是数学家,我们再看看一些非数学家的观点。德国哲学家康德曾经这样说道:“我坚决认为，任何一门自然科学，只有当它数学化之后，才能称得上是真正的科学。”,无产阶级革命家马克思也说过：“一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步。”,科学史上有大量的例子可以印证高斯和马克思等的观点。在20世纪初相对论的创立过程中，数学就建有奇功。1907年，德国数学家闵可夫斯基（H.Minkowski,18641909）提出“闵可夫斯基空间”，为爱因斯坦狭义相对论提供了合适的数学模型。有了闵可夫斯基时空模型后，爱因斯坦又进一步研究引力场理论以建立广义相对论。,爱因斯坦指出，“由于这组广义协变的引力方程，广义相对论作为一种逻辑结构终于大功告成。”广义相对论这幢大厦现在可以盖上金顶了,而这个金顶依靠的恰恰是数学。后来，在回顾这段历史时，爱因斯坦坦率地承认了他过去轻视数学是一个极大的错误，他反省道：“在几年独立的科学研究之后，我才逐渐明白了在科学探索的过程中，通向更深入的道路是同最精密的数学方法联系在一起的。”这是爱因斯坦自己的话。是作为一个科学家的深切体会.,爱因斯坦的广义相对论后来有有了很大的发展，这些发展大都也与数学密切相关，可以说是物理学家和数学家共同努力的结果。最突出的如英国剑桥大学应用数学系霍金教授，霍金用数学方法严格证明了爱因斯坦方程中奇点的存在性，并据而发展宇宙大爆炸理论和黑洞学说，这些理论深刻地影响着人类的时空观和宇宙观，在社会公众中引起了极大的兴趣。霍金于2002年国际数学家大会期间在中国北京、杭州等地做通俗报告讲解他的宇宙理论，可以说在当时公众中引起了一场不小的数学热。,(三)数学是推动生产发展、影响人类物质生活方式的杠杆,数学从它萌芽之日起，就表现出与人类物质生产活动的紧密联系。数学对人类生产的影响，最突出地反映在它与历次产业革命的关系上。人类历史上迄今发生的三次产业革命，其主体技术都与数学新理论、新方法的应用有直接或间接的关联。这里仅以第二次产业革命为例。,第二次产业革命的主体技术之一是无线电通讯，然而可以说没有数学就没有无线电通讯，那是因为无线电通讯的物理载体电磁波的存在，最初并不是通过实验或观察，而是基于严密的数学方法作出的预言，具体地说是依据所谓麦克斯韦方程推导而得的结果。,1901年英国数学家罗素曾提出过一个集合论的悖论，罗素为了让普通老百姓了解数学本身存在的矛盾，后来又把它改编成通俗的形式，即所谓“理发师悖论”：一个村庄里的理发师说：“我只给那些不给自己理发的人理发。”那么这个理发师该不该给自己理发呢？试试看,你会发现,从理发师的声明出发,无论怎样推论,得到的都是与假设相反的结论.,自相矛盾，这就是悖论。那末这样一个在书斋里吞云驾雾、冥思苦想得来的近乎游戏的结果，难道跟人类的生产与生活会有什么干系吗？事实是，由于这个悖论揭示了数学最基础的部分存在的深刻矛盾，在以后三十年中数学家们围绕它展开了激烈的争论并形成了关于数学基础的三大学派，争论的结果引出了一条被誉为是二十世纪最深刻的数学定理哥德尔不完备性定理。,对这个定理所涉及的一个基本概念可判定性的深入研究又促使英国数学家图灵提出了当今计算机科学中极为重要的“可计算性”概念,为了判断所谓的可计算性,图灵提出了一种理想的计算机模型即今天所说的“图灵机”，这就是现代通用程序计算机的理论模型。图灵机从理论上预示了设计制造电子计算机的可能性，这与上面提到的麦克斯韦方程预言了电磁波的存在性质相同。,这是1936年的事情，比实际计算机的发明还早了十几年。在最早的电子计算机的设计制造方面，数学和数学家发挥了关键作用，大数学家冯诺依曼甚至因对第一台电子计算机(ENIAC)的卓越贡献而被戴上了“计算机之父”的桂冠。图灵本人在二战期间也参与了早期电子计算机的设计制造，他亲自设计的“巨人号”专用电子计算机曾成功地破译了德军的作战密码，他因此而荣获英国国防部的荣誉勋章。,众所周知，计算机已经成为当今社会最宏大的产业，同时对人们的生活方式产生着影响深远的冲击。从罗素悖论到现代计算机，这中间的联系完全是始料不及的，即使罗素本人恐怕也梦想不到。这就是数学，数学影响社会生产和改变人类生活方式的价值。难怪拿破仑要说：“数学的发展跟国家的繁荣是紧密相关的。”,(四)数学是人类思想革命的有力武器,数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻。数学本身就是一种精神，一种探索精神。这种精神的两个要素，即对理性与完美的追求，千百年来对人们的世界观的革命性影响不容低估。数学由于其不可抗拒的逻辑说服力和无可争辩的计算精确性而往往成为思想解放的决定性武器。,我们从一个熟知的故事开始，即海王星的发现。19世纪，英国天文学家亚当斯和法国数学家勒维烈在研究天王星的运行轨迹时，认为天王星运动的不规则性是由于另一颗未知行星的引力而引起的，并根据引力法则和摄动理论，通过浩繁艰巨的数学计算，具体算出了这颗行星的运行轨道。勒维烈把这一计算结果通知了德国天文学家加勒，1846年9月23日晚，加勒将望远镜对准了夜空，果然在与他们预报的位置只差一度之处找到了这颗行星，它就是后来被命名的海王星。,(五)数学是促进艺术发展的文化激素,最后来谈谈数学对人类文化艺术生活的影响，这种影响遍及绘画、音乐、建筑和文学众多方面，由于时间关系，这里主要介绍绘画。先看两幅画，一幅是中世纪的油画，明显没有远近空间的感觉，显得笔法幼稚，象幼儿园孩子们的作品。另一幅是文艺复兴时代的油画，同样有船、人，但远近分明，立体感很强。,粗略地讲，远小近大会给人以立体感，但远小到什么程度，近大又是什么标准？这里有严格的数学道理。文艺复兴时期的数学家和画家做了很好的合作，或者说这个时代的画家和数学家常常一身而兼二任，他们探讨了这方面的道理(德国数学家、画家迪勒著作中的插图，图中一位画家正在通过格子板用迪勒的透视方法为模特画像)，创立了一门学问透视学，同时将透视学应用于绘画而创作出了一幅又一幅伟大的名画。,我们不妨再欣赏两幅：达芬奇的最后的晚餐。鲜明的立体感，平面传递空间的概念。在达芬奇的草稿中可以看到画布上放射的虚线及投影点(正好在耶稣头部中央)。再看另外一幅，拉斐尔的雅典学派。是拉斐尔根据自己的想象艺术再现了古希腊时期数学与学术的繁荣，可以看出这幅画也是透视原理与透视美的典范之作。由这些画可以看出从中世纪到文艺复兴中间绘画艺术的变革，可以说是自觉地应用数学的过程。,分形曲线即自相似曲线，其最简单的模型是所谓雪花曲线，可以从一个正三角形各边无限三等分折曲而得。通过计算机迭代可以得到更为复杂的分形图形。分形几何是描述不规则现象的数学工具，而在计算机上产生出来的千变万化、美妙神奇的分形图案，正在给人们带来高度的现代艺术享受。,以上我们从五个方面简要分析了数学的文化价值。这里需要声明的是，我的意思决不是要说数学是万能的。数学是人类博大浩瀚的文化宝库的一个组成部分，其发展是在人类整个文化的总背景下进行的，它影响别种文化领域的发展，同时也必然受着其它文化的影响。不过从上述提纲挈领的介绍可以知道，数学是人类历史上最古老的一种文化，数学作为一种文化所具有的特点，决定了其在整个人类文化中的特殊地位，也就是特殊的文化价值。,了解这种价值，对于学生全面认识数学的地位，提高学习兴趣，明确学习方向，增强学习动力，具有非常重要的意义。这方面的教学，非通常以具体数学知识的讲授为目标的课程所能替代，并且这方面的内容非常丰富，并非一两节课所能阐明。因此新课标提倡在数学课程中体现数学的文化价值，加强对“数学文化”的学习要求，设立数学史选修课等，这是非常必要的和适时的。,结语:,因为数学是美丽的，所以数学 需要欣赏!因为数学是有趣的，故而数学 可以欣赏!因为数学是有用的，因此数学 值得欣赏!,谢谢!,