新课程数学教学设计与范例分析.ppt

新课程数学教学设计与范例分析,西南大学 刘静,（初中数学）,主 要 内 容,一、关于数学课程改革的论争二、数学基本课型的教学设计三、数学教学范例分析,一、关于数学课程改革的论争,（一）数学课程改革争论的焦点问题 教育部于2001年7月颁布了全日制义务教育数学课程标准（实验稿），义务教育阶段数学新课程以较快的速度在全国实施。,这是中国基础教育的历史性变革，既然是重大改革，就必然会有不同的意见和看法,在课程实施中许多矛盾和问题也陆续呈现出来，有的还相当尖锐,形成很多焦点问题.如：“大众数学”课程理念与科技人才培养的矛盾；数学内容的螺旋编排与数学整体结构的矛盾；数学现实生活化与数学本质抽象性的矛盾；“合作交流”与“独立思考”的矛盾；“数学双基”与“创新精神”的矛盾；数学素质教育与考试评价方式的矛盾；开放式教学与课时安排的矛盾；算法的多样化与算法优化的矛盾；等等。,中国数学会教育工作委员会进行了3次座谈会：2000年8月（义务教育课标2000年初发表）2003年11月改革实践调研会2005年2月23日中国数学会教育工作委员会扩大会 2005年2月24日教育部副部长陈小娅会见数学家吴文俊院士、姜伯驹院士、胡定国教授（信息论专家、原南开大学副校长）及其他数学家（意见载于数学通报2005.3月特刊,参加2005年2月23日中国数学会教育工作委员会扩大会的著名数学家姜伯驹，北京大学教授、拓扑学家、院士王梓坤，北京师范大学教授、概率论专家、院士马志明，原中国数学会理事长、概率论专家、院士刘绍学，北京师范大学教授，代数学家胡定国，北京师范大学教授，信息论专家李尚志，北京航天航空大学教授，代数学家周毓麟，偏微分方程和计算数学专家，院士魏权龄，中国人民大学教授，运筹学专家,数学家的意见：1原有知识体系被打乱 2初中平面几何被削弱3各种关系没有协调一致：基础与应用、知识与能力、普及与精英、模仿与创新、传统与革新4大多数教师无法适应新课程,其后，在中国的人代会与政协会议“两会”期间，由姜伯驹院士牵头，多位数学家联合提交了一份提案，指出正在实行的“新课标”，即全日制义务教育数学课程标准（实验稿）存在比较“严重的”问题，建议国家立刻停止正在实施的新课标。中国的数学论争进入白热化：光明日报、四川日报、数学通报特刊专文质疑“数学新课标”。而课标组成员撰文进行反驳。指出了“评价数学新课程要把问题找准”。要把问题找准，必须“运用理性精神”，要明确“新课标的方向问题、教学体系问题、具体知识内容问题和总体水准问题。”,姜伯驹院士在专访中提出的：“这个新课标改革的方向有重大偏差，课程体系完全另起炉灶，在实践中已引起教学上的混乱。”；“新课标与此前许多年实行的几个数学教学大纲相比，总的水准大为降低。这个方向是错误的。”；“照这样的新课标,很难培养学生分析问题与逻辑推理问题等方面的能力，更谈不上创新能力的培养。教育的效果是滞后的，十年以后，长大成人的这一代中学生理性思维能力不强，就悔之晚矣。”；“三角形内角和等于180度这样的基本定理也不要求讲证明，”并 对“新课标”的数学课程体系提出了质疑。,对此，“新课标”支持者撰文进行了反驳：“我们不能因为教学上出现一些“混乱”就墨守成规，固步自封”；“从逻辑演绎和局部知识点的角度看，新课标的要求在降低，但从科学发现和创新以及知识体系的角度看，新课标的水准不是降低了而是提高了。”；“数学新课程更高层次地体现数学的整体性和统一性。”；“数学对人的逻辑推理能力的培养只是一条充分而非必要的条件。数学创新能力的培养主要靠的不是逻辑推理，而是合情推理逻辑推理则只是真理在手后的论证”；“评价新课标，应当先熟悉新课标。不仔细研究新课标，仅凭道听途说就指责新课标，这是不理性的。”,数学教育工作者之间的论争也硝烟四起。南京大学的郑毓信教授在文中指出：“如果我们只是盲目地去推崇西方的先进理念，并因此而对自己的传统采取彻底否定的态度，则就更不能不说是一种完全错误的立场。”建议“应当对于课程改革的基本立场或基本立足点做出更为深入的思考或反思。”通过“积极的渗透与整合”在两极对立之间取得平衡。针对这些观点，“课标组”核心成员马复撰文反驳：所谓的“中国学习者悖论”（即一种较为落后的数学教学怎么可能产生较好的学习结果？）实际上并不构成“悖论”；新课程并没有盲目推崇西方和彻底否定传统；新课程的许多理念、做法，都是排除两极对立而趋向平衡的选择的结果。,数学教育的论争不仅仅发生于中国。事实上在1989年，美国的许多数学家与数学教育家之间就美国全国数学教师委员会（NCTM）发布的课程标准已经争论不休。尤其以2005年5月31日美国华盛顿邮报刊登了关于数学教育的十大神话，以及为什么你不该信这篇声讨课程标准的檄文而使论争达到白热化。争论的焦点主要集中于以下几个对立面：发现学习与接受学习；要求儿童发明、使用自己的方法完成基本算术运算与学习标准运算法则；在问题解决的过程中加强概念性理解与大多数的数学理解来自对技能的把握；计算器的使用与否；在数学情景中理解概念与在广泛的练习和运用中理解。我们认为：课程改革需要学术论争。百家争鸣，百花齐放，反映了社会的文明与进步。,（二）对论争的分析 上述论争实质上都是以捷克教育家夸美纽斯、德国教育家赫尔巴特为代表的“教师主导说”与以美国教育家约翰杜威、希腊教育家苏格拉底为代表的“儿童中心说”之间争论的延伸与具体化。过去,中国的数学教育偏重于“教师主导说”。在数学教学中,以教师为中心,采用“灌”的教学方式,只注重知识的传授,忽视了学生的主观能动性。学生不善于独立思考,不善于发现问题,不爱也不会提出问题,动手能力较差,缺乏创新的意识。美国的数学教育却偏重于“儿童中心说”。他们十分注重学生学习的独立性,但却忽视了教师的主导作用,知识的传授和巩固未得到重视,这是造成美国中小学生的数学基础知识和基本技能水平普遍低下的原因之一。,当前，美国数学教育的现实情况是向中国的数学教育学习，正由“儿童中心说”偏向“教师主导说”。论争的结果是，对立的双方达成了共识。美国全国数学教师委员会（NCTM）2006年9月12日发布“幼儿园学龄前至8年级数学课程焦点”后，困扰美国基础教育十几年的“数学战争”暂时划上了句号。这个“课程焦点”是对学校数学课程与评价标准(NCTM 1989)和学校数学的原则与标准(NCTM 2000)的一个的补充。它由相关的思想、概念、技能以及构成理解和后继学习基础的过程组成。可以说，“课程焦点”是美国版的加强双基教学的内容要求。中国目前正在实施的基础教育课程改革实际上是向美国学习，正由“教师主导说”偏向“儿童中心说”。但是否能找到平衡点，而不出现“钟摆现象”是至关重要的。,争论的最终目的是寻求解决问题的方案。关于课程改革，教育部副部长陈小娅指出要处理好五个关系：“掌握基本知识和基本技能与培养创新精神和实践能力的关系；学科逻辑与社会进步、科技发展和学生经验的关系；接受性学习与自主、合作、探究学习的关系；学科的独立性与关联性的关系；农村地区和城市地区的关系。”国内一大批仁人志士，包括数学家、数学教育研究者和广大的一线数学教师，不断地研究思考，献计献策，其中不乏真知灼见。比如：南京大学的郑毓信教授一直关注、反思数学新课程改革，发表了不少警世文章。,又如：人民教育出版社的章建跃研究员提出了数学教育改革创新的四种做法亲和力以生动活泼的呈现方式，展示数学的发生发展过程，激发兴趣和美感，引发学习激情；问题性以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神；思想性加强数学思想方法的渗透与概括，引导学生领悟具体内容所反映的数学思想；联系性通过不同数学内容的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培养理性精神。”,我们认为：中国数学教育的应该是在“儿童中心说”与“教师主导说”之间取得平衡。要使这一平衡说能很好地运用于数学新课程的改革中，必须正确处理以下问题：1）精英数学与大众数学 基础教育到底要给学生提供什么样的数学课程，主要取决于我们的教育价值取向。精英教育以牺牲大多数学生权益为基础，以培养和选拔少数精英人才为目的，强调用学科专业标准对学生进行层层甄别和选拔，升学应试教育的盛行正是这种价值取向使然。显然，精英教育并不能满足现代社会对人才的需要。社会需要各种各样的人才。我们需要理论型、设计型的人才，也需要实干型、传播型的人才，更需要大量的技能型的人才；我们需要热情奔放的人，也需要慎言慎行的人；我们需要谦虚和蔼、容易合作的人，也需要有创见而脾气古怪的人。,大众教育是面向全体学生而不仅仅是少数精英的教育，其目的是使所有学生得到全面发展，以适应未来社会生活的需要。美国心理学家霍华德加德纳指出，人有七个方面的智慧：言语语言智慧；音乐节奏智慧；逻辑数理智慧；视觉空间智慧；身体动觉智慧；自知自省智慧；交往交流智慧。受遗传、社会环境、家庭条件和生活经历等因素的影响，每个学生在兴趣、爱好、动机、需要、气质、性格、智力和特长等方面表现不尽相同，各有所长。使全体学生全面发展并不是说去培养全才，而是要正视学生之间的差异，因材施教，使每个学生在原有的基础上都得到自由的发展。当我们的教育为学生提供了一种公平、民主、宽松、自由的发展空间，人人都能从事自己喜欢的职业，人人都能做自己最擅长的事，我们国家才会人才辈出。,因此，从这个角度来讲，精英教育与大众教育并不矛盾，大众教育是精英教育的基础，精英教育植根于大众教育之中。以精英教育为价值取向的数学课程选择精英数学。以大众教育为价值取向的数学课程则选择大众数学。精英数学与大众数学的关系就像精英教育与大众教育的关系一样。大众教育是我国基础教育改革的价值取向。因此，在基础教育阶段，为学生提供门槛低，富弹性，多样化的大众数学课程，符合我国基础教育未来发展的需要。构建适合我国国情的大众数学课程体系是数学新课程面临的最大问题。到底哪些数学知识是最基础最重要的，这么核心的问题到现在还没有研究清楚，达成共识，这是新课标的软肋。还有义务教育与高中的衔接的问题，应当将高中数学新课标与九年义务教育数学新课标统一研究，扩大研究队伍，充分吸收数学家、数学教育研究者、一线数学教师的意见，达成共识。,2）演绎推理与合情推理 演绎推理也就是逻辑推理，它包括形式逻辑推理和辩证逻辑推理在形式逻辑方面，要求思维主体遵守形式逻辑的基本规律，即同一律、矛盾律、排中律、充足理由律。也就是说，在推理过程中，概念和判断必须保持一致性，判断不自相矛盾，不模棱两可，要有充分的根据。其表现形式主要有分析、综合、抽象、概括、比较、分类、完全归纳、演绎、系统化、证明、反驳等等。而在辩证逻辑方面，要求主体运用辩证的观点去处理所面临的问题，即表现为思维过程的辩证法。例如客观事物是不断地运动、变化、发展着的；事物的发展变化遵循着对立统一规律、质量互变规律和否定之否定规律。化陌生为熟悉、化繁为简、正难则反、顺推与逆推之结合、动与静之转化、一般与特殊之互化，这些都是辩证思维的具体形式。“合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。”演绎推理是一种必然性推理，而合情推理却是符合情理（经验）但并不具有必然性的推理，它既涉及到推理者的观察、试验、分析和过往的相关经验，又涉及到知觉重组、表象的分解与组合、联想、想象、直觉等思维形式。合情推理的主要形式有不完全归纳、类比和直觉等。,关于演绎推理与合情推理的地位作用，G.波利亚早已为我们指出：“数学被看着是一门论证科学，然而这仅仅是它的一个方面。数学的创造过程是与其它知识的创造一样的。在证明一个定理之前，你先得猜测这个定理的内容，在你完全作出详细证明之前，你先得猜测证明的思路。你要先得把观察到的结果加以综合然后加以类比。你要一次又一次地进行尝试。数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明；但是这个证明是通过合情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学的发明过程的话，那么就应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”他指出：论证推理与合情推理之间并不矛盾，它们是互相补充的。同时，他还告诫我们：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理，这是他的专业也是他那门科学的特殊标志。然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理，这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理。”既重视演绎推理又强调合情推理的重要性是数学新课程改革的出路，这是基于数学教育的最终目标发展学生的科学创新意识和动手实践能力的需要而作的改革。,3）接受学习与发现学习 改变学习方式是数学新课程的理念之一。那么到底如何理解接受学习与发现学习的教育功能，教学中又如何实施等问题一直困扰着一线教师。经过数学新课程试验，我们认为：有意义的接受学习的优势是知识容量大，效率高，易控制；其局限性是学生的主动性、独立性、创造性未能充分体现。而发现学习的优势是能激发学生的内在动机、培养对数学的兴趣，建立自信，能培养学生的探究精神和问题解决能力。其局限性是知识容量小，效率低，难控制。有意义的接受学习是中国数学学习的优良传统，要保持。数学的多数内容适合于接受学习，启发式的讲授教学仍然是数学教学的主要形式。我们反对的是机械的接受学习，发现学习是培养学生创新的有效手段，我们应毫不迟疑地予以加强。但并非所有的内容都适合于发现学习，发现学习只是接受学习的有益补充。教材应该在教学建议中明确一些适合进行发现学习的内容。是否选择发现学习模式进行教学，必须依据教育目的、学习内容、教学对象和教学条件确定。,4）数学基础与数学创新 数学基础指的是双基，即基础知识和基本技能。由于重视基础知识教学和基本技能训练，所以中国学生的双基十分过硬快速准确地进行数与式的运算；准确记忆定义和规则；形式演绎推理能力强；熟悉题型的套路和方法,模仿性强。但付出的代价是中国学生的动手实践能力、问题意识和创新意识较弱，张奠宙教授形象地比喻为“在花岗岩上建出茅草屋”。标准提出要与时俱进地认识双基。“不但继续强调对数学基础知识和基本技能的学习，而且赋予了基础知识和基本技能新的内涵。数学课程要始终重视对数学基础知识和基本技能价值的深入剖析，以及加强对其发展性的足够认识。既要避免忽视基础知识和基本技能学习的倾向，又要认真对知识和技能进行选择，以确保这些知识和技能真正是学生适应未来社会生活和进一步发展所必需的。”,5）关注数学课堂教学研究 新加坡国立教育学院李秉彝教授提出的口号是“上通数学，下达课堂”。数学教育应当研究数学教育的特定规律。数学课堂教学，是数学教育研究的源泉。课程改革最终发生在课堂教学 国际教育成就在第二次国际数学研究提到三个层次的课程概念：期望课程、实施课程和获得课程。其间有两个落差，决定落差的梯度，教师是关键人物，而课堂教学是实施课程的关键现场，课程改革最终发生在课堂教学上。教师的真功夫表现在课堂上 如果说医生的真功夫在病床上，那么教师的真功夫是在课堂上，这种功夫是靠实践性知识保障的。专家型教师的专业知识的核心是处理复杂性和不确定性情境过程的专门化知识，即实践智慧。教与学的理论扎根在“课堂”上教育理论研究只有深人“生活世界”的具体场景课堂中，直面实践，才能敏锐地把握现实问题，并在实践中显示出对教育实践的影响力，体现自身存在的意义与价值课堂，永远是最有生机的！,二、数学基本课型的教学设计,（一）教学设计概述1.教学设计的涵义 教学设计的产生，深受人们在工业和军事两大领域中的活动的影响，在这两个领域中，人们要达到预期的目的，收到预期的成效，必须在活动之前就进行周密的设计或策划。同样教学要获得高效，也必须在活动之前进行必不可少的教学设计。此处主要涉及课堂教学。教学设计是运用现代学习与教学心理学、传播学、教学媒体等相关的理论与技术，来分析教学中的问题和需要，设计解决方法、评价试行结果并在评价基础上改进设计的一个系统过程。简单地说，就是指教育实践工作者（主要指教师）为达到一定的教学目标，对教学活动进行的系统规划、安排与决策。由此可知，教学设计是一个动态过程。,2.数学课堂教学设计的指导原则以学生为本原则 即以学生的学和发展为本，“以学生为本”的数学课堂教学设计是基础和关键，是时代赋予的要求。目标性原则 即教学设计应有明确的目标，建立知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度的密切联系的有机整体目标。科学性原则 即教学内容的选择要准确无误，其安排既要符合严格的逻辑结构，又要符合学生的认知规律。整体性原则 教学设计不应只局限于“一节课”，应以单元为基本单位，在单元甚至更大的整体范围内进行教学设计。艺术性原则 它体现在“教有定则，教无定法”之中。给学生以美的体验，并进行数学美的审美教育。反馈性原则 教学设计既要以了解和研究学生为基础，又要根据教学目标进行分类，设计方案，进行反馈及时修改和调整。,3.教学过程的基本模式及评述 1）讲授式教学模式 讲授式教学模式也被称为“讲解一传授”模式或“讲解一接受”模式，自20世纪50年代以来，一直在我国中小学数学课堂教学中占有重要的位置。讲授模式的具体操作过程有五个教学环节：组织教学；引人新课；讲授新课；巩固练习；布置作业。简要评述：最大的益处就是教师能在单位时间里向学生迅速传递较多的知识，通常适用于概念性强、综合性强、或者比较陌生的课题教学中。其最大的弊端就是学生容易处于被动的学习状态之中。,2）讨论式教学模式 其主要步骤有五个方面：提出要谈的问题；将未数学化的问题数学化，并在需要时对问题进行解释；组织谈话，鼓励学生讨论与争辩，对学生在谈话中有突破性的建议及时认可；逐个考察全班学生初步认可的建议的可行性；圆满解决问题后，请学生总结经验和教训，并对曾提出的各种建议做评价，以积累发现的经验。简要评述：特点主要表现为在教学中教师和学生的角色发生了转变，即教师由知识的“代言人”变成了教学活动的组织者，学生由知识的被动接受者变成了某种程度知识的建构者。可能走向极端，把“满堂灌”变成“满堂问”，学生依然缺乏自主思考的时间，效果同样不好。,3）学生活动教学模式 活动教学模式就是学生在教师的指导下，通过实验、游戏、参观、看电影和幻灯等活动形式，用感官和肢体活动以获取数学知识、培养数学能力的一种教学模式。其活动单位既可以是一个班的学生，也可以是部分学生，活动场所既可以是课堂教学，也可以是第二课堂。其活动方式主要有二，即数学实验和数学游戏。数学实验包括量长度、数数目、称体重、画图、做模型、估计、听录音、看教学电影、比较、分类、处理数据、发现规律等。一种比较现代化的活动是使用计算机课件。简要评述：活动教学模式的一个显著特点是注重直观性，因此，容易提高学生的学习兴趣。活动教学模式由于所花的时间较多，且也容易使学生过于关注活动的输赢，忽视活动本身蕴涵着的数学内容，因此，不宜在教学中频繁使用。,4）探究式模式 主要操作步骤包括以下几个方面：（1）教师精心设置问题链；（2）学生基于对问题的分析，提出假设；（3）在教师的引导下，学生对问题进行论证，形成确切概念；（4）学生通过实例来证明或辨认所获得的概念；5）教师引导学生分析思维过程，形成新的认知结构。简要评述：教师在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验数学再创造的思维过程，而且还培养了创新意识和科学精神。目前，这种教学模式在高中阶段的研究性学习和课题学习中广泛使用。但要对学习内容与学生层度有一定的条件要求。,5）发现式模式 发现式教学模式是指学生在教师的指导下，通过阅读、观察、实验、思考、讨论等方式，像数学家那样去发现问题、研究问题，进而解决问题、总结规律，成为知识的发现者。其基本程序是创设情景，分析研究，猜测归纳，验证反思。其显著特点就是注重数学知识的发生、发展过程，让学生自己发现问题，主动获取知识。因而，有利于体现学生的主体地位和解决问题的方法，一般适用于新课讲授、解题教学等课堂教学，也可用于课外教学活动。简要评述：运用发现模式的好处就是能使学生在发现中产生”兴奋感”，从“化意外和复杂性为可预料性和简单性”的行动中获得理智的满足，同时获得具有“迁移性”的数学能力，起到举一反三的效果。不过，由于这种教学模式主要用于一些思维价值较高的课例教学中，因此，只适合在好班中实施，而不宜在差班级采用。由于“发现式学习”所需时间较“系统学习”多，因此，这种教学模式也不宜频繁使用.,(二)数学概念教学设计1.数学概念涵义 数学概念是反映客观事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，是进行数学推理和证明的基础和依据。数学概念学习的本质就是概括出数学中一类事物对象的共同本质属性，正确区分同类事物的本质属性与非本质属性，正确形成数学概念的内涵和外延。2.数学概念学习的内容一般地，数学概念学习的内容包括以下4个方面：（l）数学概念的名称。（2）数学概念的定义。（3）数学概念的例子。符合数学概念定义的事物对象是数学概念的正例，即肯定例证；不符合数学概念定义的事物对象是数学概念的反例，即否定例证。（4）数学概念的属性。,3.数学概念学习的4种水平 数学概念学习可以分成了解、理解、掌握和综合运用4种水平：了解 能回忆出概念的言语信息；能辨认出概念的常见例证；会举例说明概念的相关属性。理解 能把握概念的本质属性；能与相关概念建立联系；能区别概念的例证与反例。掌握 在理解的基础上，能直接把概念运用于新的情境。综合运用 能综合运用概念解决问题。,4.概念教学的本质：概念教学的本质是要使学生在脑中形成概念表象，帮助学生在脑中建构起良好的概念图式。人类获取概念的主要方式是概念的形成和概念的同化。概念的形成是指从大量的具体例子出发，归纳概括出一类事物的共同本质属性的过程。这是一种发现学习的过程。概念的同化是指学习者利用原有认知结构中的观念来理解接纳新概念的过程。这是一个接受学习的过程。以概念的形成方式获得精确概念的心理过程如图所示：,5.概念形成的教学设计数学概念形成的教学模式(1）为学生提供熟悉的具体例证，引导学生分析出每个例证的属性(2）抽象出共同本质属性，形成初步概念(3）概念的深化(4）概念的运用 需要指出的是概念的形成是学生以自己的直接经验为基础，在教师的引导下归纳发现概念的本质属性的学习。从学生的角度考虑，这种学习方式适合那些认知水平不高或缺乏必备概念的学生的学习；从概念的角度来考虑，则适合那些处于概念体系中起着基础作用和核心作用的少数抽象概念的学习。,6.概念同化的教学设计 概念同化是美国心理学家戴维奥苏伯尔（D.Ausubel）提出的一种概念学习形式。指的是新信息与原有的认知结构中的有关概念相互发生作用，实现新旧知识的意义的同化，从而使原有认知结构发生某种变化。数学概念同化的教学模式:1）向学生提供概念的定义；2）教师解释定义中的词语、符号、式子所代表的内在含义，突出概念的关键属性，使学生准确领会概念的内涵；3）辨别例证，促进迁移；概念的同化方式学习新概念必须具备3个条件：1)学习者必须具备“我要学”的动力；2)新概念必须有逻辑意义；3)学生原有的认知结构中必须具备同化新概念所需要的基础。,7.数学概念教学的策略1）加强对数学概念的解剖分析 抓住概念中的关键词句进行解剖分析，揭示每一个词、句、符号、式子的内在含义，使学生深刻理解概念的本质属性。2）利用变式，突出概念的本质属 变式是指概念例证在非本质属性方面的变化。利用变式的目的是通过非本质：翻性的变化来突出本质属性，使学生获得的概念更精确、更稳定。3）注意概念的对比和直观化 数学中有许多概念是平行相关的概念，如果能将它们有机地联系在一起进行类比，就可以收到由此及彼、温故而知新的效果。4）注意概念体系的建构 在数学概念教学中，不但要使学生掌握单个的概念，而且还要使学生掌握概念体系，建构良好的数学认知结构，建立章节或学科的概念网络体系，使概念纵横贯通，有助于学生深化对概念的理解。5）注意概念产生的背景 让学生知道为什么要学这个内容，由“知其然”发展到“知其所以然”。,(三)数学原理的教学设计 1.数学原理学习的本质 1）原理学习实际上是学习一些概念之间的关系;2）原理学习不是习得描述原理的言语信息，而是习得原理的心理意义，它是一种有意义的学习；3）原理学习实质上是习得产生式。只要条件信息一满足，相应的行为反应就自然出现。学习者据此指导自己的行为并解决遇到的新问题；4）习得原理不是孤立地掌握一个原理，而是要在原理之间建立联系，形成原理网络。数学原理教学的本质不仅仅是让学生记住数学原理的客观陈述，重要的是帮助学生在特定的情境中根据各种关系作出相应的反应。,2原理学习的4种水平 数学原理学习的水平也可以分成了解、理解、掌握和综合运用4种水平。但从运用原理的角度看，还可以分成一下4种水平：（l）言语连锁学习水平 处于这一水平的学生，会说，会背，会写原理的客观陈述，但不理解原理的本质。（2）正向产生式水平 处于这一水平的学生，已在心理上形成“若，则”这一正向产生式，能够由满足原理的条件信息推出结论信息。（3）逆向产生式水平 处于这一水平的学生，已在心理上形成“要，就要”这一逆向产生式，能够由结论信息出发，追寻结论成立的充分条件。（4）变形产生式水平 处于这一水平的学生，已在心理上形成变形产生式，能够由问题的部分信息检索出相关的数学原则模式，并根据当前解决问题的需要对数学模式进行变形使用，从而解决问题。,3.例子原理的教学设计1)例子-原理的教学模式 由例子到原理的学习是指从若干例证中归纳出一般结论（原理）的学习。它是一种发现学习，简称为“例子-原理法”。在采用例子-原理法教授原理时，为了使学生顺利概括出原理，需要为学生提供足够多的丰富的例证。这些例证应尽量涵盖例证的各种典型类别，以利于学生发现原理和全面理解原理。其教学过程为提供丰富的例证一提出假设一验证假设、进行推理论证和概括一提炼思想方法和原理的运用。在为学生提供丰富的例子时，不能仅仅提供原理的例证，还应该提供原理的反例，以强化对原理的认识，使学生透彻理解原理。,4.原理例子的教学设计 由原理到例子的学习是指先向学生呈现要学习的原理，然后再用实例说明原理（有时要予以逻辑证明），从而使学生掌握原理的学习。这是一种接受学习，简称为“原理-例子法”。用原理-例子法教授原理的前提条件是，学生必须事先掌握构成原理的各个概念和原理。与概念学习一样，原理学习是有意义学习，是新旧知识相互作用并形成新的认知结构的过程。因此，要促进新原理的学习，就要使学生的认知结构中具备与新原理相关的适当观念。在教学中，教师可以引导学生复习、回忆与原理相关的旧知识，以帮助学生同化新原理。,(四)数学习题课的教学设计 1.数学习题的要素分析分类法 以Y表示习题的条件，O表示解题的依据，P表示解题的方法，Z表示习题的结论，于是数学习题系统Y,O,P,Z可分为（1）标准性题，即4个要素都为已知的题；(例题)（2）训练性题，即4个要素中只有1个是学生所不知道的题；（3）探索性题，即4个要素中有2个是学生所不知道的题；（4）问题性题，即4个要素中有3个是学生所不知道的题。习题中未知要素越多，难度就越高，发散性越大，探索性题和问题性题称为发散性题。,2.数学习题的选择与设计 数学习题的选择与设计应当遵循以下原则：l）目的性原则；2）阶梯性原则；3）量力性原则；4）典型性原则；5）适合学生年龄特征的原则。在中学数学教学中，我们反对“题海战术”，就必须在习题的使用质量上下工夫。一题多变是实现这一目标的重要途径之一。中学数学教学中主要有5种“一题多变”的常用方法：1）类比法；2）引申法；3）推广法；4）联想法；5）反思法。,3.数学习题的设计常用的12种方式：1)新课之后单项练习；2)习旧引新的练习；3)显示思维过程的练习；4)巩固教学重点的练习；5)突破难点的练习；6)发展性练习；7)综合性练习；8)培养能力的练习；9)关键部分集中练习；10)变式练习；11)沟通知识系统练习；12)错题集中辨析练习。,(五)数学活动课教学设计1.数学活动课的涵义与特点 数学活动课是指学生通过数学实践活动获得经验，了解和掌握数学在日常生活中的应用，学会与他人进行数学合作与交流，从而实现新课程的教学目标。数学活动课具有5个基本的特点：第一，数学活动课是学生通过数学活动，研究与探究数学问题的过程；第二，数学活动课的学习形式主要由学生自己完成，学生具有高度的主体性；第三，数学活动课具有实践性，能使学生更好地理解数学在现代社会中的广泛应用；第四，数学活动课具有开放性；第五，数学活动课注重学生在学习过程中的体验。,2.数学活动课的功能 数学活动课对学生获取数学知识、教师专业的发展和数学课程的发展都具有十分重要意义。对于学生获取数学知识来说，首先它有利于培养学生学习数学的兴趣和自信，其次它有利于培养学生的“潜创造力”。它可以促进数学教师自觉转变教育观念，不断学习更新知识。数学活动课有利于教师提高自身的科研能力和创造能力，对科研课题的立项、开题、实施研究、结题等各个环节的全面了解是数学活动课的基本组成形式。数学活动课可以促进教师的专业发展，教师的角色的转变即“教师是研究者”。,3.数学活动课的类型 根据数学教学的内容与教学的目标要求的不同，数学活动课有各种不同的类型，这里我们主要讨论探究课、建模课和课题学习3种类型 探究课主要是指学生在学习课程知识的过程中，围绕某个数学问题自主探究、学习数学知识的过程。运用的方法主要是观察分析数学的事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，并给出解释或证明。建模课是寻求建立数学模型方法的过程。它是问题解决的一部分，其作用对象更侧重于非数学领域，但需要数学的工具来解决问题。它突出表现了对原始问题的分析、假设、抽象的数学加工的过程；数学工具、模型工具的选择和分析的过程；模型的求解、再分析、修改假设、再求解的迭代的过程。课题学习是指学生在数学教师或相关教师的指导下，从数学问题以及其他学科或实践生活中出现的问题中选择并确定研究性课题，运用类似于数学学科的科学研究方法去获取和应用数学知识，从而在掌握数学知识的同时，体验、理解掌握和应用数学学科的研究方法，培养科学精神，发展科研能力的一种学习方式。,4.探究课的教学要求及其设计原则1)探究课教学的基本要求（1）数学探究课内容的选择是完成探究学习的关键。（2）数学探究课的课题要具有多样化（3）数学探究课的课题可以从教材提供的案例和背景材料中发现和建立，也可以从教师提供的案例和背景材料中发现与建立（4）学生在数学探究课的学习过程中应学会查询数学资料、收集相关的信息。应养成独立思考和敢于提出问题，学会与他人合作、交流，树立严谨的科学态度，体会数学研究的过程和创造的激情，学会发现问题、提出问题，提高解决问题的能力。（5）数学探究课应该与课内和课外活动有机结合起来。2)探究课设计原则 数学探究课的教学设计应该是以学生为中心,体现现代数学教学理念,需要遵循以下原则:（1）主体性原则；（2）主动性原则；（3）合作性原则,5.建模课教学步骤及其教学要求1)数学建模课的教学步骤（1）实际情境（2）提出问题（3）建立数学模型（4）模型求解（5）模型检验（6）得出可用结果,2)数学建模课的教学要求(1）数学建模中，问题是关键数学建模问题应该来自于学生的生活实际、现实世界和其他学科等方面，同时，解决问题所涉及的知识、思想和方法应与中学数学课程内容相联系；(2）通过数学建模，学生将了解和经历框图所表示的解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的应用价值，增强应用意识，提高实践能力；(3）每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探求解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新的意识；(4）学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息；应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验；(5）中学阶段应至少为学生安排一次数学建模活动，还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与综合实践活动有机地结合起来,6.课题学习的教学设计1)数学课题学习涵义 数学课题学习是一种以学生为主体的积极学习活动过程，是学生在数学教学活动中去自主选择研究学习课题，亲自去发现、提出、探究和解决数学问题的探索性学习方式。2)数学课题学习的意义 有助于培养学生提出问题和明确探究方向的能力；有助于培养学生研究能力和创新能力；有助于培养学生体验数学活动过程的能力；有助于培养学生的数学建模能力；有助于培养学生学会分享与合作；有助于培养学生的科学态度和科学道德；有助于培养学生对社会的责任心和使命感；有助于激活各科学习中的知识储存，尝试相关知识的综合应用。3)数学课题学习的特点实践性；开放性；自主性；过程性；,4)数学课题学习的组织形式和一般程序（1）组织形式 结合数学学科开展课题学习活动，以小组合作方式开展探究活动的较多。合作小组一般由4-5人组成。学生推选研究和组织能力较强的同学为组长。研究过程中，课题组成员有分有合，各展所长，协作互补。当然也可以采用个人研究与全班集体研讨相结合的办法。（2）一般程序：数学课题学习的一般程序可以分为以下几个阶段：选择研究性课题、实施研究、反思交流、结题。当然这个过程具有一定的伸缩性，对于简单的课题，可以集中于一节课内研究，对于比较复杂的课题，可以课内选择课题、指导交流，课外收集数据、查阅资料、探索实验、撰写结题报告。,5)教师在课题学习的设计中的应注意的几个问题（1）选题的指导 从新授课中选择研究性课题；从教材内容的拓宽、引申中选择研究性课题；从习题或练习的推广引申来设置研究性课题；从数学知识的实际应用中选择研究性课题；选择跨学科的综合性问题作为研究性课题；让学生提出问题来确定研究性课题。（2）实施阶段的指导 从思想与方法的高度上启发指导，对于数据收集，方案有多种。除了从图书馆、网站上查以外，有的还可以统计局查，或者由课题小组直接去调查、测量，甚至做实验。但不管采取什么方式，教师都应告诉学生，实验要遵循一条原则：可靠性，即数据必须真实可靠。一般从图书馆、网站、统计局直接查找出来的数据已间接保证了可靠性。(3）反思阶段的指导 引导学生克服虚荣心，用实事求是的科学态度交流和展示自己课题的进展情况，鼓励学生对课题提出自己的见解，指导学生调节研究的方向与方法，引导学生鉴赏并学习别人的方法和思想，达到相互学习启发的目的，指导学生变化角度思考问题是学生在困难面前所应有的科学态度。,（4）结题阶段教师的指导 指导学生用科学的术语写出课题报告，引导学生对课题研究中所得出的结果进行检验、评价、论证及方法上的升华，提出新的问题，对于还不够完善的结题，在鼓励的同时还要给予具体方法或研究方向上的指导，指导学生将思维能力的发展和基础知识、基本技能的学习结合起来，使学生在课题学习中感受到成功的喜悦，树立新一轮课题学习的自信心。数学课题学习的结题报告主要是调查报告和小论文的形式。调查报告和小论文的结构一般是导言、正文和结论三部分组成。对课题学习的评价，有不同于一般的教学评价，而是应更加具有激励性、发展性，充分体现和衡量学生对数学价值的理解，以及运用数学思维方式分析问题和解决问题的能力，勇于探索、勇于创新的科学精神。既要评价学生探究数学问题的结果，更要评价学生在探索学习中的变化和发展，既要评价学生数学学习的水平，更要评价学生在探索学习中所表现出来的情感和态度，评价的目的是促进学生的全面发展。,三、数学教学范例分析,（一）有理数的乘方执教者：北京市第二十中学白芳（二）三角形的中位线执教者：福州华伦中学胡春来（三）勾股定理执教者：厦门英才中学纪秀卿,再见！,