双曲线及其标准方程 (3).ppt

2.3双曲线2.3.1双曲线及其标准方程,1.双曲线的定义(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的_等于非零常数(_|F1F2|)的点的轨迹.(2)符号表示:|MF1|-|MF2|=2a(常数)(02a|F1F2|).(3)焦点:两个_.(4)焦距:_的距离,表示为|F1F2|.,绝对值,小于,定点F1,F2,两焦点间,2.双曲线的标准方程,(-c,0),(c,0),(0,-c),(0,c),a2+b2,1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.()(2)在双曲线标准方程 中，a0，b0且ab.()(3)双曲线标准方程中,a,b的大小关系是ab.(),【解析】(1)错误.点的轨迹为双曲线的一支,故错误.(2)错误.当a=b时,方程也表示双曲线,故该说法错误.(3)错误.在双曲线中规定b2=c2-a2,而a与b的大小关系不确定,故该说法错误.答案:(1)(2)(3),2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)在双曲线 中,a=_,b=_.(2)方程mx2+ny2=1表示双曲线,则m,n满足条件_.(3)若双曲线 上一点M到左焦点的距离为8,则点M到右焦点的距离为_.,【解析】(1)由双曲线的标准方程 知a2=4,b2=5,所以a=2,答案：2(2)方程mx2+ny2=1要表示双曲线,m,n的符号应相反，故mn0.答案：mn0,(3)设双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则|MF1|-|MF2|=2a=4,所以|MF1|-|MF2|=4,又|MF1|=8,所以|MF2|=4或12.答案：4或12,【要点探究】知识点 双曲线的定义及标准方程1.对双曲线定义的两点说明(1)定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点,若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.,(2)双曲线定义的双向运用:若|MF1|-|MF2|=2a(02a|F1F2|),则动点M的轨迹为双曲线.若动点M在双曲线上,则|MF1|-|MF2|=2a.,2.对双曲线标准方程的三点说明(1)标准方程中两个参数a和b,是双曲线的定形条件,确定了其值,方程也即确定.并且有b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别.(2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型,若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为正,则焦点在y轴上.(3)双曲线的标准方程可统一表示为:mx2+ny2=1(mn0).,【知识拓展】双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较,(ab0),(a0,b0,a不一定大于b),【微思考】(1)双曲线的定义中,若2a=|F1F2|,则点P的轨迹是什么?提示:点P的轨迹为以F1,F2为端点的两条射线.(2)若2a|F1F2|,则点P的轨迹是什么?提示:点P的轨迹不存在.(3)定义中若常数为0,则点P的轨迹是什么?提示:若定义中常数为0,此时点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线.,【即时练】1.双曲线 的左焦点坐标为_.2.点P到两定点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之差的绝对值为2，则点P的轨迹方程为_.,【解析】1.由 得a2=3,b2=2,所以c2=a2+b2=5,即 所以左焦点坐标为答案：2.因为|F1F2|=4=2c,所以c=2,又2a=2,a=1,故b2=c2-a2=3,所以点P的轨迹方程为答案：,【题型示范】类型一 双曲线定义的应用【典例1】(1)若双曲线 上一点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为()A.7 B.23 C.5或25 D.7或23,(2)(2014安庆高二检测)已知点F1,F2是双曲线(a0,b0)的左、右焦点，点P是双曲线上的一点，且 则PF1F2的面积为(),【解题探究】1.题(1)中(5,0)与双曲线有什么关系?2.题(2)由条件 能得出什么结论？【探究提示】1.由双曲线方程可知，c2=a2+b2=25,故(5,0)是双曲线的焦点.2.由条件 能得出,【自主解答】(1)选D.因为双曲线所以2a=8，(5,0),(-5,0)是两个焦点,因为点P在双曲线上,所以|PF1|-|PF2|=8,因为点P到点(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离是15+8=23或15-8=7,故选D.,(2)选C.因为 所以 不妨设点P在右支上，所以会得到所以 所以,【方法技巧】双曲线中的焦点三角形 双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形.令|PF1|=r1,|PF2|=r2，F1PF2=,因|F1F2|=2c,所以有(1)定义：|r1-r2|=2a.(2)余弦公式：4c2=r12+r22-2r1r2cos.(3)面积公式：一般地，在PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决.,【变式训练】(2014赤峰高二检测)设双曲线 的两个焦点为F1,F2,P是双曲线上的一点，且|PF1|PF2|=34，则PF1F2的面积等于()【解析】选C.依题意|F1F2|=6,|PF2|-|PF1|=2，又|PF1|PF2|=34，所以|PF1|=6,|PF2|=8，所以等腰PF1F2的面积为,【补偿训练】已知双曲线方程为(a0,b0),点A,B在双曲线右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为另一个焦点,则ABF1的周长为()A.2a+2m B.4a+2mC.a+m D.2a+4m,【解析】选B.设ABF1的周长为Z,则Z=|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m.,类型二 求双曲线的标准方程【典例2】(1)(2014成都高二检测)与椭圆 有共同焦点且过点 的双曲线的标准方程为_.(2)求适合下列条件的双曲线的标准方程.a=4,c=5，焦点在x轴上;a=4，经过点,【解题探究】1.题(1)由椭圆的方程 可得椭圆的焦点位置及焦点坐标是什么?2.题(2)焦点在x轴上的双曲线方程可如何表示？当双曲线的焦点位置不确定时，求标准方程时应如何考虑?【探究提示】1.由椭圆的方程可知焦点在x轴上，且焦点的坐标为2.双曲线的标准方程为可分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论.,【自主解答】(1)椭圆 的焦点为 设双曲线的方程为 则a2+b2=20.又双曲线过点 所以综上可得故所求双曲线的方程为答案：,(2)设双曲线方程为(a0,b0).因为a=4,c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9.所以双曲线的标准方程为若所求的双曲线标准方程为(a0,b0),则将a=4代入得,因为点 在双曲线上,所以由此得b20,不合题意舍去.若所求的双曲线标准方程为(a0,b0),同理解得b2=9.所以双曲线的标准方程为,【方法技巧】求双曲线方程的两个步骤(1)定位:确定双曲线焦点的位置,以判断方程的形式.(2)定量:确定方程中参数a,b的具体的值,常根据条件列方程(组)求解.,【变式训练】(2014北京高考)设双曲线C的两个焦点为(-,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为.【解题指南】利用双曲线的几何性质求出a,b,c,进而求出C的方程.【解析】由焦点坐标可得c=且焦点在x轴上,由顶点坐标(1,0)知a=1,所以b2=c2-a2=2-1=1,所以C的方程为x2-y2=1.答案:x2-y2=1,【补偿训练】双曲线的焦点为(-4,0)和(4,0),且b=2,则双曲线的标准方程是_.【解析】由条件知双曲线焦点在x轴上,且c=4,b=2,所以a2=c2-b2=42-22=12,所以双曲线的标准方程为答案：,类型三 由双曲线标准方程求参数【典例3】(1)“3m5”是“方程 表示双曲线”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),求k的值.,【解题探究】1.题(1)方程 表示双曲线的充要条件是什么?2.题(2)双曲线8kx2-ky2=8化为标准方程的形式是什么?【探究提示】1.方程 表示双曲线的充要条件是(m-5)(m2-m-6)0.2.由8kx2-ky2=8,得标准形式为,【自主解答】(1)选A.方程 表示双曲线的充要条件是(m-5)(m2-m-6)0,即 或可解得m-2或3m5，故“3m5”是“方程 表示双曲线”的充分不必要条件.故选A.,(2)由8kx2-ky2=8,得由于一个焦点坐标为(0,3),故方程可化为k0,且 得k=-1.,【延伸探究】题(2)若将条件“一个焦点为(0,3)”改为“焦距为6”，求k的值.【解析】由8kx2-ky2=8,得当焦点在x轴上时,得 解得k=1.,当焦点在y轴上时,方程可化为所以 解得k=-1,所以k的值为1.,【误区警示】本题易忽略焦点的位置，直接由 得k=1,而遗漏另一情况致错.,【方法技巧】方程表示双曲线的条件及参数范围求法(1)对于方程 当mn0,n0时表示焦点在y轴上的双曲线.(2)对于方程 则当mn0时表示双曲线.且当m0,n0时表示焦点在x轴上的双曲线;当m0,n0时表示焦点在y轴上的双曲线.,(3)已知方程所代表的曲线,求参数的取值范围时,应先将方程转化为所对应曲线的标准方程的形式,再根据方程中参数取值的要求,建立不等式(组)求解参数的取值范围.,【变式训练】已知方程kx2+y2=4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.【解题指南】利用分类讨论的思想解决.【解析】(1)当k=0时，y=2，表示两条与x轴平行的直线.(2)当k=1时，方程为x2+y2=4，表示圆心在原点，半径为2的圆.,(3)当k1时，方程为 表示焦点在y轴上的椭圆.,【补偿训练】已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点,则a的值是()A.B.1或-2C.1或 D.1【解析】选D.依题意有:解得a=1.,【拓展类型】定义法求双曲线的方程【备选例题】(1)与圆A：(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为_.(2)在周长为48的RtMPN中，MPN=90,tanPMN=求以M，N为焦点，且过点P的双曲线方程.,【解析】(1)设动圆P的半径为R，且P(x,y)，则|PA|=R+7，|PB|=R+1，所以|PA|-|PB|=610=|AB|，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支,这里a=3,c=5,所以b2=16.故方程为(x3).答案：(x3),(2)因为MPN的周长为48，且tanPMN=所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.,以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示.设所求双曲线方程为(a0,b0).由|PM|-|PN|=4得2a=4，a=2,a2=4.由|MN|=20得2c=20,c=10,所以b2=c2-a2=96.所以所求双曲线方程为(x2).,【方法技巧】定义法求双曲线方程的注意点(1)注意条件中是到定点距离之差,或是差的绝对值.(2)当差为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题.(3)求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标的点是否都在所给的曲线上.,【巧思妙解】巧设方程妙解题【典例】设双曲线与椭圆 有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为_.,【教你审题】,【常规解法】设双曲线方程为(a0,b0)，由题意知：c2=36-27=9,c=3,又A点的纵坐标为4,则横坐标为于是有 解得所以双曲线的方程为答案：,【巧妙解法】由题意设双曲线方程为:(2736),将 代入得=32,=0(舍)，所以所求双曲线方程为答案：,【方法对比】常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解,解法简单，计算量小.,【教你一招】曲线系方程的应用技巧 将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为共焦点的曲线系，利用曲线系方程求解会大大简化步骤.常用曲线系有:,(1)与椭圆(ab0)有共同焦点的双曲线方程为(b2a2).(2)与双曲线 共焦点的双曲线方程可表示为(-b2ka2).本题就是将方程设为(2736)求解.,【类题试解】已知某双曲线与双曲线 有公共焦点，且过点 则此双曲线的标准方程为_.【常规解法】设双曲线的标准方程为因为 的焦点坐标为,故a2+b2=20 又因为双曲线过点 即 由,得a2=12,b2=8.所以双曲线的标准方程为答案：,【巧妙解法】设双曲线的方程为(-4k16).将点 代入得k=4,所以双曲线的标准方程为答案：,