数学新课程教材实践与思考.ppt

数学新课程教材实践与思考,数学新教材现状,人教版,华师版,北师版,鲁教版,冀教版,苏教版,浙教版,徽教版,湘教版,教材编写教学设计教学评价基本依据,教材编写建议,数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。数学教材的编写应以标准为依据。教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。教材内容的呈现要体现数学知识的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程；应引导学生进行自主探索与合作交流，并关注对学生人文精神的培养；教材的编写要有利于调动教师的主动性和积极性，有利于教师进行创造性教学。内容标准是按照学段制订的，并未规定学习内容的呈现顺序。因此，教材可以在不违背数学知识体系的基础上，根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排学习内容，形成自己的编排体系，体现出自己的风格和特色。,教材编写应体现科学性 教材编写应体现整体性 教材内容的呈现应体现过程性 呈现内容的素材应贴近学生现实 教学内容设计要有一定的弹性 教材编写要体现可读性,教材编写建议,教材编写应体现科学性,科学性是对教材编写的基本要求。教材一方面要符合数学的学科特征，另一方面要符合学生的认知规律。（1）全面体现标准提出的理念和目标（2）体现课程内容的数学实质（3）准确把握内容标准要求（4）教材的编写要有一定的实验依据,教材编写应体现整体性,教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整体性。（1）整体体现课程内容的核心（2）整体考虑知识之间的关联（3）重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则（4）整体性体现还应注意以下几点配置习题时应考虑其与相应内容之间的协调性。教材内容的呈现既要考虑不同年龄学生的特点，又要使整套教材的编写体例、风格协调一致。数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。,教材内容的呈现应体现过程性,教材编写不是单纯的知识介绍，学生学习也不是单纯地模仿、练习和记忆。因此，教材应选用合适的学习素材，介绍知识的背景；设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用。恰当地让学生经历这样的过程，对于他们理解数学知识与方法、形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力有着重要的作用。（1）体现数学知识的形成过程（2）反映数学知识的应用过程,呈现内容的素材应贴近学生现实,素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。学生的现实主要包含以下三个方面：（1）生活现实（2）数学现实（3）其他学科现实,教学内容设计要有一定的弹性,按照标准要求，教材的编写要面向全体学生，也要考虑到学生发展的差异，在保证基本要求的前提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展，也便于教师发挥自己的教学创造性。例如：（1）就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题。（2）提供一定的阅读材料，包括史料、背景材料、知识应用等，供学生选择阅读。（3）习题的选择和编排突出层次性，设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等；凡不要求全体学生掌握的习题，需要明确标出。（4）在设计课题学习时，所选择的课题要使所有的学生都能参与，不同的学生可以通过解决问题的活动，获得不同的体验。（5）编入一些拓宽知识或者方法的选学内容，增加的内容应注重于介绍重要的数学概念、数学思想方法，而不应该片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧。（6）设计一些课题和阅读材料，引导学生借助算盘、函数计算器、计算机等工具，进行探索性学习活动。,教材编写要体现可读性,教材应具备可读性，应易于学生接受，激发学生学习兴趣，为学生提供思考的空间。教材可读与否，对不同学段的学生具有不同的标准。因此，教材的呈现应当在准确表达数学含义的前提下，符合学生年龄特征，从而有助于他们理解数学。对于第一学段的学生，可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方式，直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材，提高他们的学习兴趣。对于第二学段的学生，由于他们具备了一定的文字理解和表达能力，所以教材的呈现应在运用学生感兴趣的图片、表格、文字等形式的同时，逐渐增加数学语言的比重。对于第三学段的学生，随着数学学习、语言学习的深入，他们使用文字和数学符号的能力已经有了一定程度的发展。教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字、数学符号等多种形式结合起来。,不同教材共同理念实践思考,教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。（义务教育阶段数学课程标准）,在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为,处理好教师讲授与学生自主学习的关系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者；激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发展；合理地运用现代信息技术，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教学效益。（义务教育阶段数学课程标准）,全国优质课评比标准 给我们的启示,1教学目标2教学内容3教学过程4教学资源5教学效果6专业素养,根据学生的思维发展水平和当前的教学任务，正确确定学生通过课堂教学在基础知识和基本技能(简称“双基”)，数学能力，以及理性精神等方面应获得的发展。教学目标的陈述应准确而没有歧义，使目标成为评价教、学结果的依据。,全国中学青年数学教师优秀课评价标准,1教学目标2教学内容3教学过程4教学资源5教学效果6专业素养,正确分析所教内容各部分知识的本质、地位及与相关知识之间内在的逻辑关系，包括对所教学的知识（数学概念、原理等）的本质及其深层结构的分析；对如何选择、运用与知识本质紧密相关的典型材料的分析；对如何从学生的现实状况出发重新组织教材，将学过的知识自然融入新情境，以旧引新，以新强旧的分析；对如何围绕数学知识的本质及逻辑关系，有计划地设置问题系列，使学生得到数学思维训练的分析，等等。,全国中学青年数学教师优秀课评价标准,1教学目标2教学内容3教学过程4教学资源5教学效果6专业素养,正确组织课堂教学内容；正确反映教学目标的要求，重点突出，把主要精力放在关键性问题的解决上；注重层次、结构，张弛有序，循序渐进；注重建立新知识与已有的相关知识的实质性联系，保持知识的连贯性、思想方法的一致性；易错、易混淆的问题有计划地复现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。在学生思维最近发展区内提出“问题系列”，使学生面对适度的学习困难，激发学生的学习兴趣，启发全体学生开展独立思考，提高学生数学思维的参与度，引导学生探究和理解数学本质，建立相关知识的联系。精心设计练习，有计划地设置练习中的思维障碍，使练习具有合适的梯度，提高训练的效率。恰当运用反馈调节机制，根据课堂实际适时调整教学进程，为学生提供反思学习过程的机会，引导学生对照学习目标检查学习效果，有针对性地解决学生遇到的学习困难。,全国中学青年数学教师优秀课评价标准,全国中学青年数学教师优秀课评价标准,1教学目标2教学内容3教学过程4教学资源5教学效果6专业素养,根据教学内容的特点以及学生学习的需要，恰当选择和运用教学媒体，有效整合教学资源，以更好地揭示数学知识的发生、发展过程及其本质，帮助学生正确理解数学知识，发展数学思维。其中，信息技术的使用注意遵循必要性、有效性、平衡性、实践性等。,1教学目标2教学内容3教学过程4教学资源5教学效果6专业素养,使每一个学生都在已有发展的基础上，在“双基”、数学能力和理性精神等方面得到一定的发展。,全国中学青年数学教师优秀课评价标准,1教学目标2教学内容3教学过程4教学资源5教学效果6专业素养,数学素养。准确把握数学概念与原理，准确理解内容所反映的数学思想方法，准确把握教材各部分内容的内在联系性。教学素养。准确把握学生数学学习心理，有效激发学生的数学学习兴趣，根据学生的思维发展水平安排教学活动，贯彻启发式教学思想，恰当把握对学生数学学习活动指导的“度”，具有良好的教学组织、应变机智。基本功语言：科学正确、通俗易懂、简练明快、富有感染力板书：正确、工整、美观，板书设计系统、醒目。教态：自然大方、和蔼亲切、富有激情与活力。技能：有较好的信息技术工作操作技能。,全国中学青年数学教师优秀课评价标准,新课程实践 给我们的启示,把握基本理念紧扣核心观念跳出应试闭圈,预设与生成的关系,教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造。理解和钻研教材，应以标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值；对教材的再创造，集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地体现基本理念和内容标准规定的要求。实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效果。（义务阶段数学课程标准）,本分、规矩（勤奋与创意）,的根,的图象,案例,听的艺术,【案例1】听的艺术一文讲述了这样一件事：美国知名主持人林克莱特去访问一位小朋友，问他:“你长大后想当什么呀？”小朋友天真地回答：“嗯，我要当飞机驾驶员！”林克莱特接着问：“如果有一天，你的飞机飞到太平洋上空，所有引擎都熄火了，你会怎么办？”小朋友想了想：“我先告诉飞机上的人绑好安全带，然后我系上降落伞，先跳下去。”当现场的观众笑得东倒西歪时，林克莱特继续注视着这孩子。没想到，接着，孩子的两行热泪夺眶而出，这才使得林克莱特发觉这孩子的悲悯之情远非笔墨所能形容。于是林克莱特问他：“为什么要这么做？”他的回答透露出一个孩子真挚的想法：“我要去拿燃料，我还要回来！我还要回来！,主持人林克莱特与众不同之处，在于他能够让孩子把话说完，并且在“现场的观众笑得东倒西歪时”仍保持着倾听者应该具有的一份亲切，一份平和，一份耐心，这让林克莱特听到这名小朋友最善良、最纯真、最清澈的心语。我们一些为人师者对待学生的述说，却往往缺少出于真诚关注的亲切平和以及听完的耐心，往往喜欢过早地做出结论。,为何这样规定二面角？,以学生为主体,问题：张大伯家院子里有一个长4米、宽2米，用栅栏围成的长方形羊圈他买来20只羊，可是羊圈嫌小，因为每只羊占地面积大约是1平方米怎么办?你能帮张大伯出个主意吗?学生经过思考、验算,各自说出自己的主意(S1、S2、S3、S4略)S5：不一定围成长方形，说不定不买栅栏也可以T：是个大胆的猜测，不买栅栏又怎么办?（学生独立思考，一会儿挥笔演算，一会儿握笔思考在有学生要发言时，老师组织他们先在小组内交流，后大组汇报）(S6、S7代表小组说出不可能的理由，得到大部分同学的赞同具体内容略)S8：让小羊骑在老羊的身上（哄堂大笑）T：生活中确实有这样的镜头不过一直让小羊骑在老羊的身上，肯定挺累的，是吗?,案例,S9：我突然想到了，张大伯家不是有院子吗?可以靠墙围我乡下外婆家的鸡场就是这样的说着，这位学生跑到黑板前画了一张示意图，这一建议得到全班同学的赞同T：是个好主意!能把我们的数学学习与实际的生活联系起来想，真不简单!那大家想用他的方法试试吗?（各小组埋头讨论、分头演算起来大约78分钟后，各小组举手汇报交流。S10略）T：根据你们的推理计算，羊的确都能赶进去了，羊圈的问题终于解决了不过，这是最大面积吗?S11：我们小组分头计算过了，设计成长方形有好几种情况，面积最大是，设计成正方形面积是，设计成半圆，面积是，半圆面积最大,S12：我们认为半圆面积不一定最大，我们猜想可以设计出更大面积的羊圈，既然可以借助一个墙面，那么也可以借助两个墙面，把羊圈围在院角就行了T：你们组很会动脑筋，能举一反三，你们的猜想非常有道理，其他同学愿意一起验证吗?学生再次分头计算，合作解决这一问题(汇报交流略)S13：我想不明白一个问题栅栏的长度一直没变，不靠墙和两面靠墙时，围成的圆面积最大，正方形第二，长方形最小；而一面靠墙时，半圆面积最大，但为什么长方形的面积反而比正方形的面积大?T：哟，你真了不起!发现了一个很有价值的问题，很值得研究研究，其他同学都听明白这个问题了吗?(稍顿)大家课后去讨论、研究吧，老师也很愿意参加交流!,点评 数学教学是数学活动的教学，数学学习不是单纯的知识接受，而是以学生为主体的数学活动因此新课程的数学课堂中，教师在设计、安排和组织教学过程的每一环节有意识让学生自主探索、合作交流、积极思考和操作实验，在自主探索合作交流的氛围中，解除困惑，明确思想，有机会分享自己和他人的想法在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。学生在独立思考与合作交流中，倾听、质疑、说服、推广、豁朗开朗，达到数学学习的新境界，数学学习变成学生的主体性不断生成、张扬、提升的过程在这个教学片段中，教师始终怀着平和的心态，认真倾听学生的发言，当S8讲“让小羊骑在老羊的身上”时，教师并未因此生气：“生活中确实有这样的镜头”。,不同层次问题串,问题：搭一个正方形需要4根火柴棒。按图示的方式：，搭2个正方形需要多少根火柴棒？搭3个正方形需要多少根火柴棒？（1）搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒？（2）搭100个这样的正方形呢？你是怎样得到的？（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样 的正方形需要多少根火柴棒？（4）你能否用最少的火柴棒搭出10个正方形？,案例,点评前两个问题可以通过动手操作直接获得，属于数学事实的认知类；但是问题（2）要求搭100个正方形，显然再用原来的方法显得笨拙，需要动动脑筋，动动笔计算一下，属于数学事实的推导类；“你是怎样得到的？”要求说出过程，就要将刚才所获得的结果用数学语言表述出来，就是原理的推导了；问题（3）则是数学原理的进一步理解；问题（4）属开放性的，需要学生自己动手操作，还要动脑：因为没有任何限制条件，可不必限于平面上，在空间考虑也行，这是发散思维了，属于数学技能的探索问题。小小一段案例，包含了五个提问，分别属于事实、原理、技能三个层次，认知、理解、推理、探索四种思维水平，具有一定的代表性。,合理的课堂评价,“众数、中位数”教学尝试 T：推销员小张的工资应该定为多少呢?下面我们一起来听听大家的意见 S1：我们认为经理应该给小张开2500元的月薪因为2500元代表员工工资平均水平，也就是全体员工的一般水平(有学生反驳：如果比尔盖茨来我们班级，我们平均就有几十亿美元了，这几十亿美金是我们班级的一般水平吗?)(全班学生大笑)T(笑)：反驳的有道理，举例也很生动看样子，一般水平并非就是平均水平 S2：我们认为小张的月薪可以定为2000元因为公司中业务员最多，有12个人，他们的工资都是2000元，少数服从多数所以2000元合理,案例,(大家部分赞成，部分反对，有学生低声说设计员也有10人呢，不算少数)T：很有道理，他给出了一个数学概念众数，很了不起的，极富创造力下面我们再听其他意见 S3：我们认为总经理工资太高，不该把他的工资算进月平均工资，应该扣除再去掉一个最低工资，平均工资应该是(7500070001000)(302)2393(元)这个工资代表一般水平，更合理些(许多同学笑：不对你以为是跳水比赛，要去掉最高分，去掉最低分?),T：很好，同学们，第三小组能够把运动员评分规则用到这里，说明我们的同学学习很灵活，肯动脑筋，我们都要学习这种精神数学上习惯称这种平均数为截尾平均数，但2393代表工资的一般水平是不是最合理，好像还有不同的意见S4：我们认为一般水平就是中等水平我们把30个员工的工资从高到低排列后，中间有两个值：第15人为2500元，第16人为2000元取哪一个都不好，我们就取它们的平均值：2250元，这种做法是我们讨价还价的结果，合不合理请大家批评指正(很多学生很佩服发言人的创新精神与设计能力，频频点头；也有同学说哪有这么复杂)T：这种理解有独到之处，逻辑合理，不简单!他们算出的这个2250就是这30个工资数的中位数(老师将它写在黑板中央),点评在本案例中，为保护和鼓励学生的个人能动性并提高课堂效率，教师要求学生小组合作学习，利用工作表推导出“众数、中位数”意义。学生清晰地认识到了自己的工作目标，就可以形成与获得所希望的成果相应的预期从一组数集猜想，利用别的数集验证或纠正猜想，使合作学习取得成功。由此让学生熟悉归纳猜想的数学思想方法，体验克服困难的兴奋与团结协作的价值。在讨论中，教师的几次引导都体现出平等待人，鼓励学生大胆发言，比如“反驳的有道理，举例也很生动”，“很有道理，他给出了一个数学概念众数，很了不起的，极富创造力”，“我们的同学学习很灵活，肯动脑筋，我们都要学习这种精神”“这种理解有独到之处，逻辑合理，不简单”每一次评价都在创设平等和谐的讨论气氛，增强学生自信心。,紧扣核心观念,数感、符号意识、运算能力、模型思想空间观念、几何直觉、推理能力数据分析观念（义务教育阶段数学课程标准）,数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践,数感 符号意识 运算能力,数的扩充方法 科学的数系扩充方法常用的有添加元素和构造法。比如整数集Z就是在自然数集N中添加了0后得到的，实数集中添加了虚数i则将实数集扩充为复数集等，这种方法称为添加元素法；所谓构造法，即从理论上构造一个集合，然后指出这个集合的某个真子集与先前的数集是同构的方法。,数系扩充的得失,的由来,是一个无理数，现在恐怕已经没有人再会怀疑了.但是当初，当古希腊数学家毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯发现无法用整数表达，直接否定了毕达哥拉斯学派的信条：“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，从而引起了一场悲壮的科学史诗.毕达哥拉斯学派采取了凶残的手段，把希帕索斯抛进大海里，并且扬言，谁再提起这毫无道理的数，就把他开除出本学派.历史已经前进了几千年，悲剧不再重演，无理数的发现成了数学史上的一个重要的里程碑.,无理数存在性,无理数的确认（奇偶性）,无理数存在性,无理数的确认（几何）,无理数存在性,以上是传统的代数方法与几何方法，应该说学生是可以接受的，同时可以运用这些方法解决以下的问题：（1）若 为素数，则 一定是无理数；（2）作一个锐角为 的直角三角形，以 角的顶点为起点，在斜边上画出较长的直角边，并且从该分点作斜边的垂线.利用这一图形，叙述 为无理数的几何证明.,无理数存在性,无理数的确认（方程）,无理数存在性,无理数的确认（标准分解式）,无理数存在性,无理数的确认（十进制）,无理数存在性,无理数的确认（最小数原理）,无理数存在性,的数值1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657069677653720226485447015858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003186480342194897278290641045072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504018369868368450725799364729060762,无理数存在性,的数值3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502445945534690830,无理数存在性,数集的基数,有理数的“个数”正整数的“个数”无理数的“个数”有理数的“个数”实数的“个数”有理数的“个数”,正整数集、有理数集都是可数集实数集是不可数集,数集基数,Hibert旅店,数集基数,实数集与数轴的一一对应性,数轴对应,负负得正华师教材的处理方式,负负得正,负负得正华师教材的处理方式(续),负负得正,负负得正人教教材处理方式,负负得正,负负得正人教教材处理方式(续),负负得正,负负得正北师教材处理方式,负负得正,负负得正北师教材处理方式(续),负负得正,负负得正上海教材处理方式,负负得正,负负得正其他处理方式,负负得正,负负得正其他处理方式,负负得正,负负得正其他处理方式,负负得正,对应思想 模型思想,自变量 对应法则 因变量,函数的对应思想,对应思想,某校对于40名学生进行的调查听到了函数你会想起什么？最初所学的有关函数的东西是什么？你认为函数是什么？,对应思想,听到了函数你会想起什么？,对应思想,最初所学的有关函数的东西是什么？,对应思想,你认为函数是什么？,对应思想,目前有关函数的 几种定义,对应思想,函数概念华师初中数学教材,对应思想,函数概念人教初中数学教材,对应思想,函数概念北师初中数学教材,对应思想,函数概念上海初中教材,对应思想,函数概念全国高中教材,对应思想,函数概念上海高中教材,对应思想,函数概念数学分析教材,对应思想,函数概念学说,对应说,变量说,对应思想,矩阵-几何变换函数,A,B,y,对应思想,伸缩变换函数,对应思想,反射变换函数,对应思想,切变变换函数,对应思想,旋转变换函数,对应思想,函数的模型思想,模型思想,模型思想,模型思想,本书展现了数学在解释生命的起源、结构和进化方面所起的重要作用.我们仿佛置身于一座盛大的艺术殿堂，领略着一幅幅神秘的自然画卷，这里是数字和方程的自由王国.它教会我们运用内在的数学规律去解释那些隐藏在生命背后的深刻问题.将生命的诞生解释为基因与普遍数学规律相互作用的产物.在长期为物理学服务后，数学开始阐述生命世界的奥秘.,模型思想,ISBN-国际统一书号,ISBN是由10个数字组成，前9个数字分成三组，分别用来显示区域语言、出版社和书名的资料；而最后一个数字则作为检验所用。例如函数在你身边的ISBN书号为 7-03-008548-5，第一个“7”表示这时一本中文书籍，而“03”和“008548”分别为某出版社和书名的代号，最后的“5”则为检验号码，是前9个数字的函数。若想知道这个用ISBN表示的数目是否有错，只需依以下程序找出最后的数字是否相符即可：（余数）恰好与最后一个数字相同，因此该书的ISBN是正确的。,模型思想,写一段小作文来说明如下图象所对应的函数的实际意义,模型思想,【编写意图】函数概念的形成，一般是从具体的实际例子开始的，但在学习数学中函数概念时，往往较少考虑实际意义。本题旨在通过学生根据自己的已有的知识经验和生活实例给出函数的实际解释，体会到数学概念的抽象性和背景的多样性。【分析解答】给变量赋予不同的内涵，就可得出函数不同的解释。我们从物理、生活等方面来考虑给出一些例解,模型思想,能用文字准确地写出图象所对应的函数的实际意义的，得4分；能用文字表述图象所对应的函数的实际意义，基本正确但不表达完整的或与实际问题明显不相符的，得2分；仅将图象所对应的函数表达出来的，得1分；不填写或填写内容与图象不符的，得0分。,模型思想,检验台的最佳位置,函数与数学建模,模型思想,n台机器位于一直线上，它们生产的零件必须送到一个检验台上，经检验合格后，才能送往下一道工序继续加工。已知：移动零件所需的费用与所移动的距离成正比问检验台放在哪里可使 移动零件所花费的总费用最省？,模型思想,探求检验台最佳位置的规律,一般规律：若机器台数是奇数，那么最中间那台机器的位置最佳；若机器台数是偶数，那么最中间的两台机器之间的任何位置都是最佳,模型思想,总费用关于检验台位置坐标的函数表达式,模型思想,总费用关于检验台位置坐标的函数图象,模型思想,进一步拓展,模型思想,模型思想,由一次函数图象看其性质,由一次函数图象看其性质,一般形式的二次函数 性质的研究,图像与性质探索一,图像与性质 探索二,图像与性质的探索三,实践探索,实践探索,方程组的 图象解法,实践与探索问题1之联想,实践与探索问题2函数.方程.不等式之关系,实践与探索问题3数据的拟合,实践与探索,推理能力 合情推理 演绎推理,关于数学说理与演绎推理合情推理和演绎推理都是我们认识空间和图形的重要方法，两者必须有机地结合。我们的教材正是在努力体现这样的思想，展开空间与图形的知识内容。,关于数学说理与演绎推理义务教育阶段应加强学生的合情推理能力的培养，让学生通过直观感知、操作确认、归纳类比等方式认识几何图形的特征与性质，学会判定一些基本的几何图形的方法。与此同时，也必须加强数学说理与演绎推理。因此整套教材加强了合情推理，渗透了数学说理与演绎推理。初中阶段一开始就有简单的数学说理，如对顶角相等、平行线中一些结论等，让学生初步养成言必有据的数学基本能力。后面的几册逐渐增加，运用图形的变换探索图形的有关结论，并运用数学说理与演绎推理，最终形成数学的基本结论，让学生体验公理体系的思想。,关于数学说理与演绎推理在中学阶段必须加强学生的合情推理能力的培养，让学生通过直观感知、操作确认、归纳类比等方式认识几何图形的特征与性质，学会判定方法.我们的教材正是在努力体现这样的思想，展开空间与图形的知识内容.,某教材的几何内容安排,演绎推理,七年级上,演绎推理,简单轴对称图形垂直平分线,简单轴对称图形角平分线,等腰三角形性质的探索,等腰三角形判定的探索证明,合情推理与演绎推理,变换的叠合一,变换的叠合二,变换的叠合三,运用变换探索图形性质,命题.公理.定理,三角形全等 判定方法 的探索,由平行四边形性质思考判定“两组对边分别相等”判定条件的探索与证明,“一组对边平行相等”判定条件 的探索与证明,“对角线互相平分”判定条件 的探索与证明,“两组对角分别相等”判定条件 的探索与证明,相似三角形性质,探索+说理,圆的对称性,对称性 垂径定理探索与证明,一般的圆周角的探究,切线长定理 的探索,切线长定理 的探索,切线长定理 的逻辑推理,提高数学素养,案例 任意与存在,课堂教学的某一段摘录：教师：菱形是一个特殊的平行四边形，它具有平行四 边形的许多性质对边相等、对角相等、对角线 互相平分。那么菱形还具有哪些特殊的性质呢？学生实验操作，纷纷举手：菱形的四条边相等，对角线平分两组对角。教师：很好，现在让我们用已经学习掌握的知识证明 这两个结论。,？,案例 矩形画作,几何课：矩形的性质 教师进入课堂，作了一些开场白之后，进入主题，在黑板上书写：“矩形的特殊性质”几个大字，随即利用三角尺画作矩形：用三角尺画作一条线段（一条边），将三角尺的直角顶点分别与线段的两个端点重合，一边与线段对齐，在三角尺的另一边上画出该线段的两条垂线，适当截取一定长度（另两条边），如上方法再画一条垂线线段的垂线（第4条边），形成四边形。教师指着这个四边形，引导学生：“这是一个矩形，它是一个特殊的平行四边形，除了平行四边形所应该具有的一些性质之外，它还具有哪些特殊的性质呢？”,？,案例 极限情景,近日，受数学教学委托，审阅一篇稿件借形象思维之手打开逻辑思维之门数列极限教学案例分析。作者详细叙述他的课堂设计，运用某种生活情景，引入极限概念：走在路上，恰遇一个乞丐，感到十分怜悯，掏出口袋中的面包，给乞丐充饥。先给其一半面包。待他吃完，再给他剩下的一半面包。待乞丐吃完，又给其手中剩下面包的一半。如此继续不断，试问手中剩下的面包，随着次数的增加，发生如何的变化？经过教师的引导，学生归纳导出数学模型。,？,案例 零概率事件,一次，与一位教师讨论随机事件的概率问题，提到某种说法：不可能事件 概率为零的事件 必然事件 概率为1的事件 可能事件 概率在0与1之间的事件讨论结果，总感到有点模糊不清，问题出于何处？,？,介绍对称运用时，有教师设计了情境：如图1，位于A点的一户人家着火了，位于B点的你如何最快地从河流中取水救火？设计者的意图是，要使得总的路程最近，因此，应从图2的C点取水。真是这样吗？救火时，恐怕没有功夫去思考从哪个点取水总距离比较近，更多的凭直觉解决问题。此外，该问题中，最优的方案应是速度快、时间短，而不是距离最近。,救火的最佳方案,案例 救火方案,管道最短,输油管道要向它同侧的两个油库输送石油，请问在输油主管道的何处设置输油接口才能使向两个油库输送石油的分管道最短?设计者的参考答案如图2。问题是，现实中为了节约管道，分流点只能是一个吗？如果允许多个分流点，显然图3的方案更为经济。就是只允许在主管道上选择一个接口，图4的方案也优于图2。,案例 输油管道,案例 尺规作图,一次，见到一道试题：已知一条线段，试作一直角三角形，使其周长恰好等于已知线段.感觉这样的开放性试题很有意义。,探索性问题,等积变换将一个四边形等积变换成三角形,等积变换将一个四边形等积变换成三角形,等积变换将一个四边形等积变换成三角形,（荷兰）甲离学校10公里，乙离甲3公里，问乙离学校几公里？,训练学生的表示能力甲、乙、学校在一条直线上？没有说 校 乙 甲 乙,Representation,一架飞机从西雅图飞到洛杉矶，在机场上空盘旋好几圈才降落。画图表示飞机从西雅图起飞后，离起飞机场的距离。Plot a graph of the distance of the plane from Seattle against time form the moment of takeoff until landing.,表 示,我国长期流行的“三大能力”说,1 运算能力2 空间想象能力3 逻辑思维能力这一提法有很强的概括力，但是，同样忽视应用，突出逻辑的地位，甚至曾流行“数学能力的核心是逻辑思维能力”的说法,数学思维能力的特征,数形感觉与判断数据收集与分析几何直观与空间想象数学表示与数学建模数学运算与数学变换,归纳猜想与合情推理逻辑思考与演绎证明数学联结与数学洞察数学计算和算法设计理性思维与构建体系,数学创新的特点,提出数学问题和质疑能力。能疑、善思、敢想建立新的数学模型并用于实践的能力。发现数学规律的能力。提出定义，定理，公式 推广现有数学结论的能力。条件、结论。构作新数学对象（概念、理论、关系）的能力。将不同领域的知识进行数学联结的能力。总结已有数学成果达到新认识水平的能力。巧妙地进行逻辑连接作出严密论证的能力。善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌。知道什么是“好”的数学，什么是“不大好”的数学,大众数学与精英数学,大众数学的要求：人人学习有价值的数学人人都能获得必需的数学不同人在数学上得到不同的发展前两句没有什么问题，现在做不到的就是第三句话：中国对优秀学生的培养不如美国。有这样一个调查：同样一个问题，美国教师让学生由浅入深提出三个问题，而中国教师则让学生得出规律，中国学生看到答案就满足了。,学生发展现状反思,优 势 知识 技能 解题能力 勤奋与刻苦,问 题实践能力创造性情感体验与自尊自信人生观与价值观,优势与问题,我们的优势正是西方基础教育所力图解决的问题我们的问题也正是西方基础教育的优势无论是优势还是问题，都与文化背景密切相关从发展的角度看，我们面临更严峻的挑战我们的优势需要在认真分析的基础上继承与发扬,诺贝尔奖得主-李政道,我们中国的传统是做“学问”，为什么你们老是在做“学答”？屈原的九问，就是做“学问”.（对复旦大学学生的讲话 1997）,“数学教育方法的核心是学生的再创造.教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识.”（Freudenthal）,新课程标准的基本理念（1）有效的数学学习活动主要表现为自主探索与合作交流，而不是复制与强化；（2）评价的功能更多地在于了解学生的纵向发展；（3）在数学课程的设计和实施中，现代教育技术应得到重视，但信息技术不应该作为学生数学理解和知觉的替代物；（4）学生应当能够通过数学学习获得最适合自身发展所必须的数学。,谢谢,