新教材中的函数链.ppt

普通高中课程标准实验教科书（人教A版）,人教社教材培训讲师团浙江省杭州市长征中学 朱成万,教材中的函数链,函数内容安排,函数概念（必修1）基本初等函数指对幂（必修1）函数应用（必修1，各册书均有）基本初等函数三角函数（必修4）研究函数方法：导数（选修1-1,2-2）函数的联系（数列，不等式，线性规划）,必修1第一章,函数的概念,课标：“函数（的思想方法）将贯穿高中数学课程的始终”克莱因：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”教师：“学好了函数就可以对付高考”,高中：从不同角度认识函数概念（变量、影射、关系图形、模型），用函数认识方程、不等式、数列、线性规划、算法、概率等，建立一批函数模型（基本初等函数、分段函数等），用运算、导数等研究函数的变化，等等。,一、函数整体认识,（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型（2）函数是联结两类对象的桥梁（3）函数是“图形”,1对函数的认识,一、函数整体认识,数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个方法。第一种方法，用运算的性质研究单调性；第二种方法，用导数的性质研究单调性。,2中学数学研究函数的性质,简单的幂函数及其拓展 实际函数的模型分段函数 指数函数 对数函数 三角函数 数列,3具体函数模型,函数与方程 函数与数列 函数与不等式 函数与线性规划 函数与算法,4函数与其他内容的联系,时间表线路图 知识清单 概念核心,二、函数概念的理解,时间表,时间表,线路图,线路图,（1）下位概念：集合，数集，子集（集合包含关系），全称量词：任意的、都有，符号f(x)，定义域、值域、对应法则，具体的函数实例；（2）上位概念：变量，映射，一一映射；（3）平行概念：变量说定义的函数，函数的表达，反函数，随机变量；（4）思想方法：变量思想，集合思想,知识清单,概念的核心,函数概念的核心是“对应”其一，涉及两个数集A，B，而且这两个数集都非空；其二，两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应其三，关键词“每一个”，“唯一确定”就是对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应其四，集合A，B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系,删减:反函数增加：最值定义.函数的奇偶性降低：映射概念、复合函数 定义域、值域繁难训练.提高：函数概念、分段函数、单调性 用函数图象研究函数性质 函数模型的背景和应用 信息技术整合.,三、纲标比较,四、教材特点,1、熟悉内容为主,结构顺序调整2、突出产生背景,强调实际应用3、借助数学文化理解函数(函数发展史p26)4、加强对函数性质研究方法的引导,1、熟悉内容为主,结构顺序调整,先函数，后映射奇偶性提前（原来在三角函数中）,2、在实际应用中理解函数,习题用题占30%函数应用独立成章,8：2“数学已从幕后走向前台”，,2009浙江高考14某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区的电网销售电价表如下：,若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦，低谷时间段用电量为100千瓦，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元，,背 景,对应说,表 示,变量说,3、借助数学文化理解函数,定性猜想定量刻画形式证明,4、加强对函数性质研究方法的引导,五、教学处理,问题1:同学们在初中已经学习过“函数”，请你举几个函数具体例子,以问题引导学习的教学设计,函数概念三遍重复描述法,例1 图1中上海证券交易所的股票指数的情况这能算作一个函数的例子吗？为什么？,例2 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高下表中恩格尔系数随时间的变化而变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化城镇居民的恩格尔系数（%）是时间（年）的函数吗？,例3（教科书第15页例1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是 h130t5t2（*）炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？,问题2（追问举例的同学）你凭什么说，你举出的例子表示一个函数呢？请说给我们大家听听大家也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？,用初中定义，第一遍描述,对y=x2：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值（x2）和它对应，所以说y是x的函数炮弹问题：对于两个变量，在h130t5t2这一变化中，对于的每一个值，都有唯一的值和它对应，所以说是的函数,加入集合，第二遍描述,问题3：我们学习了用集合语言描述数学问题在案例3中，时间t变化范围的集合是什么？高度h的变化范围呢？问题4：引入集合后，可以用两个集合之间的关系描述两个变量的依赖关系你能用集合语言说说h是t的函数吗？,问题5：对于两个变量，在h130t5t2这一变化中，对于t的每一个值，h都有唯一的值和它对应，这种对应规则或者说对应关系是什么？,教师边说边写，先形成“f：AB，xAyB”，后说明，在对应关系f下，y是数集B中与数集A中的x对应的那个数，所以写成f（x）与x有关！，yf（x）然后，让学生联系前面所举出的具体事例解释这里f的含义,加入对应关系，第三遍描述,问题10：你能用集合、对应的观点描述案例3中的函数关系吗？,问题11：你能用集合、对应的观点定义一般意义的函数吗？,函数概念的建立，使得数学：,由常量走向变量；由有限走向无限；有离散走向连续。,思维要求高，学习难点，题目要简单些，螺旋上升,基本初等函数(),必修1第二章,一、目标定位,函数主线强调函数是一类重要刻画现实世界中变化规律的模型。指数函数、对数函数、幂函数是三类不同函数增长模型在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解.,强调通过具体实例，了解函数模型的实际背景能借助计算器理解函数的调性与特殊点。知道y=ax 与y=loga x互为反函数。增加了幂函数经历用有理指数幂逼近无理指数幂的过程。,二、纲标比较,三、整体综述,一条主线二种运算三类函数,高中数学课程内容主线函数,函数是数学的基本研究对象，是中学数学的核心内容在整个中学数学课程中充当着联系各部分代数知识的“纽带”，同时也为解析几何学习中所需的数形结合思想奠定了基础,一条主线：,二种运算,指数与指数幂运算对数与对数运算,三类函数,指数函数对数函数幂函数,四、分节详解（14课时）,2.1指数函数,教材编写基本照抄原教材 根式分数指数幂无理指数幂,无理指数幂,大纲教材 一带而过，新教材花大量篇幅，计算 的近似值。其实指数幂到处都有，细胞分裂的模型，但那个x 是整数，学生最多会，对于，学生可以认可，但其中包含的逼近思想却不一定了解。教材是花了大量篇幅来阐述，因此建议指导学生利用计算器或计算机进行实际操作，亲历逼近的过程。让学生进一步体会“无限逼近”的思想。,原教材保留题目，为什么值得保留？考查什么内容？新旧教材在处理上是否相同？对（3）原：先给出解法，后注解；新：先分析后这种处理体现了什么？新在空白处有个小结框，给我们什么启示我们还能有什么启示,p62例7比较下列各题中两个值的大小（1）1.72.5,1.73（2）0.8-0.1,0.8-0.2（3）1.70.3,0.93.1.,指数函数定位,指数函数是重要的基本初等函数之一，是学习对数函数的基础，在生活及生产实际中有着广泛的应用也是在学生学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上，系统地学习利用它们研究一类函数的方法,指数函数的现实背景,背景1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，一个这样的细胞分裂 x次后，得到的细胞分裂的个数 y与 x之间有何关系？背景2:有一根1米长的绳子，第一次剪去绳长一半，第二次再剪去剩余绳子的一半，剪了x次后绳子剩余的长度为y米，试写出x与y之间的函数关系背景3:在活的生物体内，碳-14的含量是保持不变的当生物死后，它机体内原有的碳-14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”根据此规律，生物体内碳-14含量P与死亡年数t之间有何关系？背景4 一种放射性物质不断衰减为其他物质，每经过一年剩留量约是原来的84%，求出这种物质经过x年后的剩留量y与x的关系式,指数函数的数学现实,上位概念：函数的概念，函数的图象，函数的性质（奇偶性，单调性），函数定义域、值域、最值，函数符号；平行概念：已经学习过：一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数；即将要学习：对数函数，幂函数；下位概念：指数函数的实际背景，底数的限制条件，指数函数的性质（定义域，值域，最值，单调性，奇偶性），图像，具体的指数函数，符号表示；思想方法：数形结合，特殊到一般，分类讨论；基本活动经验：研究一类函数的方法，把抽象的符号语言与直观的图象语言紧密结合,指数函数是一种函数模型,其外环境是函数，包括函数的三要素、图像与性质，导数以及其他的初等函数：幂函数、对数函数等 该螺旋是一种反身抽象或逻辑数理认识的内源过程 认识指数函数螺旋上升的内源过程体现在：由于环境的变化而产生变化，以及所导致的不平衡，从而顺应出新的概念具体体现在：由指数幂的表现形式和函数的概念的交互产生指数函数的概念.,指数函数螺旋上升链,2.2对数函数,不变部分：,对数函数概念、图象、性质,模型的背景和应用,反函数知道即可,降低要求：,提高要求：,2.3幂函数1课时,5种：结合图像、了解特征,减肥后重出江湖,题目简单，发挥教学价值：1、不在于增加额外题目2、可以让学生多活动；3、引导学生从感性认识向理性认识转化。在一次函数、二次函数中，有幂函数?,人教A第一册第三章,函数的应用,一、整体综述,20个特点21组小节22项任务 23节课时,一个特点：,新增内容为主,应用单独立章新方法新观念,体现函数价值巩固函数概念强调数学应用,以“方程”为核心展开，变为以“函数”为核心展开,两个小节：,3.1 函数与方程 3.2 函数模型及其应用,在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用。,四项任务,1函数与方程：结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。2函数模型及其应用：利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。,8个课时,教材脉络：从三个层面来体现：第一层面，从简单的一元二次方程和二次函数入手，建立起方程的根与相应函数的零点的联系。第二层面，通过用二分法求方程近似解，体现函数与方程的关系。第三层面，通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系，教学中要注意把握。,3、1函数与方程,精确度 精确到,用二分法求方程的近似解,零点定义,定义：对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实 数x叫做函数f(x)的零点。说明：(1)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根(2)函数y=f(x)的零点就是函数函数y=f(x)的图 像与x轴的焦点的横坐标方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图像与x轴有交点函数y=f(x)有零点,理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义理解指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异。能利用给定的函数模型解决实际问题；能建立确定性的函数模型解决问题；能选择适当的函数模型进行拟合实现问题解决；了解(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）函数模型在社会生活中的广泛应用。,3.函数模型及其应用,人教A第四册第一章,三角函数,一、知识结构,二、目标定位,三角函数是基本初函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用.在本模块中，通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用.,三角内容解构：,圆周运动几何直观周期模型三角测量三角变换,删减：任意角的余切、正割、余割，已知三角函数求角，反三角函数符号，削弱：任意角概念、弧度制概念、同角三角函数基本关系式、诱导公式 三角函数周期性的一般讨论作为选学内容加强：三角函数作为刻画现实世界的数学模型，借助单位圆理解三角函数的概念、性质，通过建立三角函数模型解决实际问题等。,三、纲标比较,四、整体分析,内容接近原来教材强调三角函数的函数“味道”单位圆贯穿整个三角教学,内容接近原来教材,任意角与弧度制任意角的三角函数图像和性质简单应用,强调三角函数的函数“味道”,三种函数：正弦、余弦、正切研究角度：定义、图象、性质三角变换独立成章刻画周期现象的数学模型,单位圆贯穿整个三角函数教学,借助单位圆认识弧度用单位圆定义三角函数用单位圆推导同角关系和诱导公式用单位圆讨论三角函数图像和性质用单位圆研究和（差）角公式,五、分节详解(16课时),（1）角度1是怎么定义的？（2）圆周长 在学习中发挥什么作用？,弧度=糊涂？,1.1任意角和弧度制：,（3）初中弧长公式 给我们什么启示？,（4）弧度单位、角度单位定义一个单位有什么不同？（5）弧度在y=sinx发挥什么作用？,为什么用单位圆 定义三角函数?,1.2任意角的三角函数,任意角三角函数 与 锐角三角函数突出三角函数最重要的性质周期性基本关系、诱导公式、周期性、最值,一个细枝末节问题，与三角函数的核心知识无关,2009杭州高三模拟试题,如图，锐角内接于圆x2+y2=1已知BC平行于x轴，AB所在直线方程为y=kx+m.(1)若,求(2)若k=2,记xOA=，xOB=，求sin(+)解(2)sin(+)=,教师：诱导公式两节课太浪费时间。我十分钟就可以解决，保证学生懂。课标：强调让学生经历知识发生、发展过程，在探究中主动构建知识。,1.3 诱导公式,（1）先给出实例，（2）y=sinx 一个周期 平移得出y=sinx（xR）的图象 y=cosx的图象。（3）观察图象上的关键点“五点法”（其中2、3同原教材）（4）展示三角函数f(x+T)=f(x)的特征（5）正切函数：先讲性质，再画图象,1.4 三角函数的图象与性质,1.5 函数y=Asin(x+)的图象,基本要求是掌握由A的变换“五点法”画y=Asin(x+)图象,1.6 三角函数模型的简单应用,新增内容，4个例题 较难突出描述周期变化的数学模型,人教A选修1-1，2-2,导数及其应用,一、知识结构,导数、定积分都是微积分的核心概念，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段它们有极其丰富的实际背景和广泛的应用在选修模块中，学生将学习导数和定积分的有关知识，体会其中蕴含的思想方法，感受它们在解决实际问题中的作用，了解微积分的文化价值。,二、目标定位,1、课时分配 理科(24课时)：1.1 变化率与导数 约4课时 1.2 导数的计算 约4课时 1.3 导数在研究函数中应用 约3课时 1.4 生活中的优化问题举例 约4课时 1.5 定积分的概念 约4课时 1.6 微积分基本定理 约2课时 1.7 定积分的简单应用 约2课时 小结 约1课时,三、文理区分,文科（16课时）,文科（16课时）：3.1 变化率与导数 约4课时 3.2 导数的计算 约3课时 3.3 导数在研究函数中应用 约3课时 3.4 生活中的优化问题举例 约4课时 实习作业 约1课时 小结 约1课时,2、理科比文科增加的地方：求复合函数的导数（仅限f(ax+b)；定积分的概念、微积分基本定理定积分的简单应用。,四、纲标比较,删去极限；增加 生活中的优化问题举例；定积分的概念；微积分基本定理；定积分的简单应用;实习作业.,要求降低有:导数的形式化定义；求导数的计算难度，复合函数的导数；要求提高有：对导数在研究函数中的应用，在解决实际问题中的应用,五、教材整体分析,1、不讲极限讲导数2、强调背景、几何物理意义3、强调微积分基本定理的重要意义4、关注文化价值5、突出实际应用,从数学逻辑体系上看，导数、定积分概念学习的起点是极限，即从数列的极限，到函数的极限，再到导数、定积分。这种方式具逻辑性和系统性，但学生很难理解。因此也影响了对导数、定积分本质的理解。不介绍极限的形式化定义及相关知识，而是用直观形象的方法定义导数、定积分。,1、不专门讲极限,教材的处理思路:引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，引入导数的概念，体会导数的思想 气球平均膨胀率 瞬时膨胀率 高台跳水的平均速度 瞬时速度；函数的平均变化率 瞬时变化率;(定义)曲线的割线斜率 切线斜率。（几何意义）,大纲教材从切线斜率和瞬时速度引入导数的概念,高台跳水问题运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.第一步：用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态；,第二步：探究运动员在时间段 内的运动状态,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。,第三步：如何求瞬时速度？（比如t=2时）通过列表看出平均速度的变化趋势：,从平均速度 过渡到瞬时速度 的值为-13.1.这个过程反映了变化趋势，学生容易理解(实际上利用了极限的描述性定义，不追求严格的证明),导数的概念：从函数的平均变化率到瞬时变化率,导数的几何意义,又一次经历平均变化率到瞬时变化率的过程,几个简单函数的导数的推导过程:给出前3个结果的几何意义或物理意义,2.强调背景、几何物理意义,揭示了导数和定积分的内在联系，提供了计算定积分的一种有效方法.是微积分学、高等数学中最重要的定理,3、强调微积分基本定理,微分基本定理（牛顿莱布尼兹定理）,如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)=f(x)，那么,教材分别从物理意义和几何意义两个角度，直观地了解微积分基本定理的含义只求反映微积分基本定理的基本思想,不给出严格证明,2010湖南（理科）,.关注文化价值（1）引言 介绍了与微积分紧密相关的“四大问题”（2）拓展栏目 牛顿法用导数方法求方程的近似解（3）实习作业 走进微积分,5、新增：生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，它们都可以化归为求函数最大（小）值。两个目的（1）培养应用意识:运用导数，解决生活中的一些优化问题；（2）培养学生数学建模的思想：优化问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题,总之,导数研究的对象是函数，是研究函数的重要工具导数是对函数变化趋势的定量刻画导数的引入，对函数的研究与认识开拓了一片新天地,函数结束转入几何,谢谢大家,脚下必有路,心中有学生 脑里有理念,眼中有教材 手里有方法,