3等差数列前n项和.doc

哈师大附中高一数学作业等差数列前n项和【知识要点】1把a1a2an叫数列an的前n项和，记做_例如a1a2a16可以记作_；a1a2a3an1_ (n2)2前n项和Sn与an之间的关系对任意数列an，Sn是前n项和，Sn与an的关系可以表示为an3若an是等差数列，则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn_；若首项为a1，公差为d，则Sn可以表示为Sn_.4等差数列前n项和的性质(1)若数列an是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为_(2)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列(3)设两个等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，则.5等差数列前n项和的最值(1)在等差数列an中当a1>0，d<0时，Sn有_值，使Sn取到最值的n可由不等式组_ 确定；当a1<0，d>0时，Sn有_值，使Sn取到最值的n可由不等式组_确定(2)因为Snn2n，若d0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有_值；当d<0时，Sn有_值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值一个有用的结论：若Snan2bn，则数列an是等差数列反之亦然【典型习题】1设Sn为等差数列an的前n项和，若S33，S624，则a9_.解：设等差数列的公差为d，则S33a1d3a13d3，即a1d1，S66a1d6a115d24，即2a15d8.由解得故a9a18d18×215.2等差数列an中，S104S5，则等于()A. B2 C. D4解：A由题意得：10a1×10×9d4(5a1×5×4d)，10a145d20a140d，10a15d，.3在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A765 B665 C763 D663解：B因a12，d7,2(n1)×7<100，n<15，n14，S1414×2×14×13×7665.4一个等差数列的项数为2n，若a1a3a2n190，a2a4a2n72，且a1a2n33，则该数列的公差是()A3 B3 C2 D1解：B由得nd18.又a1a2n(2n1)d33，所以d3.5在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.解由得解方程组得或6设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于()A13 B35 C49 D63解： CS749.7已知等差数列an中，aa2a3a89，且an<0，则S10为()A9 B11 C13 D15解：D由aa2a3a89得(a3a8)29，an<0，a3a83，S1015.8两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，则的值是_解：.9设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A1 B1 C2 D.解： 由等差数列的性质，×1.10设等差数列an、bn的前n项和分别为Sn、Tn，若对任意自然数n都有，则的值为_解：，而.答案：11在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为_解： S奇165，S偶150.a1a2n1a2a2n，n10.12等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则数列an的前3m项的和S3m的值是_解：方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30,70，S3m100成等差数列2×7030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，. 即S3m3(S2mSm)3×(10030)210.13数列an为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn(n1)2，则的值是()A2 B1 C0 D1解：等差数列前n项和Sn的形式为：Snan2bn，1.14已知数列an的前n项和Snn29n，第k项满足5<ak<8，则k为()A9 B8 C7 D6解：由an，an2n10.由5<2k10<8，得7.5<k<9，k8.15已知等差数列an的前n项和为Sn，若a100a101，且A、B、C三点共线(该直线不过点O)，则S200等于()A100 B101 C200 D201解：a100a101且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，a100a1011，S200100×(a1a200)100×1100.16设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，设S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解：设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d，S77，S1575，即，解得，a1(n1)d2(n1)，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn×(2)×n2n.17设an是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6S7>S8，则下列结论错误的是()Ad<0 Ba70 CS9>S5 DS6与S7均为Sn的最大值解：由S5<S6，得a6S6S5>0.又S6S7a70，所以d<0.由S7>S8a8<0，因此，S9S5a6a7a8a92(a7a8)<0即S9<S5.18在等差数列an中，a125，S9S17，则前n项和Sn的最大值是_解：方法一利用前n项和公式和二次函数性质由S17S9，得25×17×(171)d25×9×(91)d，解得d2，所以Sn25n(n1)×(2)(n13)2169，由二次函数性质可知，当n13时，Sn有最大值169.方法二先求出d2，因为a125>0，由得所以当n13时，Sn有最大值S1325×13×(2)169.因此Sn的最大值为169.方法三由S17S9，得a10a11a170，而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140.由方法一知d2<0，又因为a1>0，所以a13>0，a14<0，故当n13时，Sn有最大值S1325×13×(2)169.因此Sn的最大值为169.19设等差数列an满足a35，a109.(1)求an的通项公式；(2)求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值解：(1)由ana1(n1)d及a35，a109得可解得所以数列an的通项公式为an112n.(2)由(1)知，Snna1d10nn2.因为Sn(n5)225，所以当n5时，Sn取得最大值20已知等差数列an中，记Sn是它的前n项和，若S216，S424，求数列|an|的前n项和Tn.解：由S216，S424，得即解得所以等差数列an的通项公式为an112n (nN)(1)当n5时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.(2)当n6时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7an2S5Sn2×(5210×5)(n210n)n210n50，故Tn【提高】1现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A9 B10 C19 D29解: 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个钢管总数为：123n.当n19时，S19190.当n20时，S20210>200.n19时，剩余钢管根数最少，为10根2已知两个等差数列an与bn的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是()A2 B3C4 D5解：D7，n1,2,3,5,11.3数列an的前n项和Sn3n2n2 (nN)，则当n2时，下列不等式成立的是()ASn>na1>nan BSn>nan>na1Cna1>Sn>nan Dnan>Sn>na1解： 由an，解得an54n.a154×11，na1n，nan5n4n2，na1Snn(3n2n2)2n22n2n(n1)>0.Snnan3n2n2(5n4n2)2n22n>0.na1>Sn>nan.4设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，且S12>0，S13<0.(1)求公差d的范围；(2)问前几项的和最大，并说明理由解：(1)根据题意，有：整理得：解之得：<d<3.(2)d<0，a1>a2>a3>>a12>a13>，而S1313a7<0，a7<0.又S126(a1a12)6(a6a7)>0，a6>0.数列an的前6项和S6最大2