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人教A版 解法探究姓名：刘祥福 简介：1972年4月，男，山东日照，中学一级，硕士单位：黑龙江尚志市尚志中学通讯地址：黑龙江尚志市尚志中学高二数学办公室邮编：150600联系电话：15084649599E-mail：liuxiangfu无限风光在险峰导数法的恒成立压轴题导数是研究函数的强有力工具，并且导数知识综合性较强，众多数学的思想方法贯穿于导数解答题解题过程的始终，能很好地体现学生数学综合能力，因此导数作为压轴题成为高考的一个热点和难点。纵观近几年高考导数压轴题，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立问题。学生解决这类问题困难较大、上手难、失分多，现将这类问题解决方法进行归纳，可以从两方面入手。 一、分离参数法如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量的关系构造函数，则可以利用求函数的最值法求解参数范围，即参数大于函数最大值或小于函数最小值。形如恒成立即大于时大于函数最大值， 即小于时小于函数最小值。分离参数方法的适用范围：参数易于分离且分离参数后构造的新函数能求出最值。例1 已知。对于一切恒成立，求实数的取值范围。分析：将不等式进行分离参数即，构造函数 显然借助导数函数最小值易求。解：.设,则.当在单调递减；当在单调递增.一切恒成立，例2 （2013新课标理科）已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线.（）求，的值；（）若2时，求的取值范围.分析：（）将参数分离，有三种情况： 的最小值可求； 符合题意；（3）而的最大值可求。解：（）易得，；（）由（）知，由题意知，（i）设，故在单调递增，从而。（ii） 原不等式恒成立，从而，（iii）设，时，在单调递增；时，在单调递减，从而。综上所述，的取值范围。二、分类讨论法 有些试题在高中范围内用分离参数的方法不能顺利解决，利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是无法求最值或求最值时出现了或型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则。但利用洛必达法则在高考评分中往往带有争议，因此需掌握分类讨论的基本思想。分类讨论含参数函数的单调性，首先确定参数的分界点，然后验证参数在每一段内是否满足题意，从而得出参数的范围。往往在分类讨论的个别情况中，需要找一个与恒成立的不等式矛盾的区间或一个矛盾的值来否定此时参数范围不符合题意。例2 （2013新课标理科）分析：（）此问也可用分类讨论方法求出参数的范围，构造函数讨论其单调性，由导数两根的大小及2确定参数的分界点为1和，分三种情况讨论，并验证每段是否符合题意，从而得出参数的范围。解：（）略。（）由（）知，设函数则由题设可的，即令得（i）若，则.从而当时；当时，。即在单调递减，在单调递增。故在最小值为。而故当时，即恒成立。（ii）若，则从而当时，即在单调递增。而，故当时，即恒成立。（iii）若，则。从而当时，即不可能恒成立。 综上，的取值范围是。例3 （2011新课标理科）已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）如果当x>0，且时，求k的取值范围分析：（II）参数易于分离，分离后转化为，其最值很难求出，原因是其导函数单调性无法用常规方法判断。因此需构造函数讨论其单调性，通过恰当变形及二次型方程的判别式为零，确定参数的分界点为0和1，分三种情况讨论。解：（）易求，。（）由（）知，所以考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0，且x1时，f（x）（+）>0，即 f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0，故 (x）>0，而，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0，与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0，而，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。综上所述，k的取值范围为（-，0。本文给出了用导数求解恒成立问题的参数范围的两种方法：分离参数的方法容易想到，解题时需注意参数的系数正负情况且分离后构造的函数最值可求；分类讨论法的关键是确定参数的分界点，需考虑含参函数的定义域结合含参函数零点的大小关系或二次型方程判别式为零来确定参数的分界点，此方的难点是分类讨论的个别情况，需要找一个与恒成立的不等式矛盾的区间或值来否定此时参数范围不符合题意。高考压轴题是区分考生数学能力与数学思维强弱的“分水岭”，希望通过上述方法分析，能使学生对恒成立压轴题的解答有更深悟的领会。参考文献：1.高慧明. 2004年全国高考数学压轴题分类导析(一)以“数列”为主体J.中学数学杂志，2005（1）