网络教育复变函数作业及答案.docx
快,力叶A大中远程教肓学院复变函数一、判断题1、若函数人2)在Zo解析，则共Z)在ZO的某个邻域内可导。(J)2、如果ZO是/的本性奇点，则Iim/(z)一定不存在。(J)3、若函数/(2)=(兀丁)+加(毛)在。内连续，则丫，丁)与16了)都在。内连续。(J)4、Cosz与sinz在复平面内有界。(X)5、若Zo是/(Z)的m阶零点，则ZO是1(Z)的加阶极点。(4)6、若y(z)在ZO处满足柯西-黎曼条件，则人Z)在Zo解析。(X)7、若Iim/(z)存在且有限，则ZO是函数f(z)的可去奇点。(V)Z-Zo8、韧)在单连通区域。内解析,则对。内任一简单闭曲线C都有1/(z)dz=Oo(J)9、若函数八。是单连通区域。内的解析函数，则它在。内有任意阶场数。(J)10、若函数/U)在区域。内的解析，且在。内某个圆内恒为常数，则在区域。内恒等于常数。(J)11、若函数/在ZO解析，则y(z)在ZO连续。(V)12、有界整函数必为常数。(V)13、若&7收敛，贝隆Rez“与Irnz")都收敛。(J)14、若/在区域。内解析，且r(z)三0,则/(Z)三。(常数)。(J)15、若函数人Z)在ZO处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为辕级数。(J)16、若大。在Zo解析，则/在ZO处满足柯西-黎曼条件。(V)17、若函数在ZO可导，则AZ)在ZO解析。(x)18、若穴Z)在区域。内解析，则I/(z)I也在也内解析。(X)19、若幕级数的收敛半径大于零，则其和函数必在收敛圆内解析。(J)20、cosZ与SinZ的周期均为2攵万。(V)21、若函数人Z)在Zo解析，则Z)在ZO处满足Cauchy-Riemann条件。(J)侠G计A火中远程教肓学院22、若函数/(z)在ZO处解析，贝JU)在ZO连续。(J)23、函数SinZ与COSZ在整个复平面内有界。(X)24、存在整函数/(z)将复平面映照为单位圆内部。(X)1、若函数f(z)在ZO处满足CaUChy-Riemann条件，则f(z)在ZO解析。(X)4、若函数(z)在是区域。内的单叶函数，则'(Z)W0(VZ£。)o(V)7、函数SinZ与CoSZ在整个复平面内有界。(X)8、存在一个在零点解析的函数f(z)使/(')=0旦/(')=,=1,2,-O(XI÷12n2/79、如果函数f(z)在。=*底G上解析，且(Z)区I(IZI=I),则|Z)I«1(|ZK1),二、填空题1、函数/的周期为-2力口。X12、幕级数的和函数为7CKl3、，则/(Z)的定义域为4、ZZ的收敛半径为1ez077<05Res(,0)=Z"2加(一+0r龙/2力=16、Lol=KzZo)”07、设f(z)=一，则/(Z)的孤立奇点有Z=iz+18、若函数人。在复平面上处处解析，则称它是一整函数9、sill2z+cos2z=10侠G叶长穴呼远程教育学院10、若函数人Z)在区域。内除去有限个极点之外处处解析，则称它是。内的一亚纯函数11>设/(z)=(x?+2xy)+/(l-siii(x2+y)ffx+iyeC222则呼/(Z).=z,o+2xoyo)+z(l-sin(x0-+yQ-),13、辕级数的收敛半径为一1"=014、若z。是左)的7阶零点且7>0,则ZO是尸(Z)的一rl级零点。15、函数/(z)=|zI的不解析点之集为一为n二+J+，十二JJ"78n/?<16>ResO,o)=0其中为自然数。17八公式e=cosx+isinx称为欧拉公式.18、若Z“二2+i(l+,则IinIz”=1+诂1-7/廿JO?7r12*119、若。是单位圆周，力是自然数，则dz=I*Jo-Zo)”20、函数SinZ的周期为_2%。21、若IiinQ=4,则IinI二+十，十、一>8一>822、方程2?-?+3z+8=0在单位圆内的零点个数为0。23、函数/(。二苴7的辕级数展开式为。三、计算日，力计人穴中远程教肓学院*2(9-z2)(z+z)dz解：J*2(9-2)(Z+i)dz.-2m-J9-Z2求网小OO(2-N解：=0IiinV6一KC4、求/(Z)=在2vz<+s内的罗朗展式。(z一1)(z-2)5、求z,5z+1=0,在IZl1内根的个数解：1个。6、d乙lWzlCOSfdz=0解：陶=1COSZ7、izT)求Res(21+z28、1+zY求快力叶A大空远程教肓学院解:ZSUl/?7t.7tTC.zTCs-Feos(-n-)AZsin(一)4444=2coscos/?-9、求z'2z6÷z28z2=O在zvl内根的个数。解：1个。10、设/(z)=(W'±ldX,其中C=z：z=3,试求r(1+i).解：作)=等等叔=2硝切+÷ 1)'尸=2%(6z+ 7),f(l+0=26z-12.11>求f+isinzdz+一八一fJet2加Jz=3(z_1)(z-4).fxsillzdz+-一f=0+)-1)=-1;o加=12力川=3(z1)(z-4)12、设Z)=G,求Res(/(z),8).Z-1解：Re5(/(z),oo)=013、求函数在OVlZlV+s内的罗朗展式。14、求复数卬二二二的实部与虚部。Z+1他Z-I(Z-I)(Z-l)4F+lZ+Z,Z÷1Iz+1FIz+1z+1V由G计A八产远程教肓学院15、设/(z)二(Z l)(z 2)解：F(Z) =二(Z 1)(2)11-11 1z-2z-12 1 一 z/2 1 一 z18Zt X= y77+z" °/ l Z /1=1求/(Z)在。=眨：O<2b1)内的洛朗展开式OO16、求函数Sin(2z3)的幕级数展开式。解siii(2z3)=2炉.+(-1)”Qz)+.(In3÷1)!17、求函数当，在OVlZlG8内的罗朗展式。3136/1-3解:方方-+”潟而+；四、证明题1、若函数/U)在ZO处可导，则y(Z)在ZO连续。证明：根据定义可得：若函数；(Z)在ZO处可导，则穴Z)在ZO连续。2、若数列眨)收敛，贝IJReZj与ImZ都收敛。证明：利用不等式：以一X。U)'一汽区JlX“-x。F+'“一)oF3、设函数共。在区域。内解析，试证：丸。在。内为常数的充要条件是汩在。内解析。证明(必要性)令'(2)=.+£，则为实常数).令女(若/二“苍©F则4='=%=乜=。即叫满足C-一见，且%尸，连续，故'在_D内解析.(充分性)令/(©二二十揄，则f二一巾，由，力/长穴甲远程教肓学院因为与/(z)在口内解析，所以ax=V%=_%«x=(-v)f=-v÷=-(一彳)二一g，JzL比较等式两边得，二与二与二二。.从而在心内珥”均为常数，故/(©在心内为常数.4、设8是函数f(z)的可去奇点且lim(z)=A£C,试证：Z-X»Res(/(z)a)=-Iimz(/(z)-4)oZf85、若整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且/(°)二。，则7(Z)三。(vzeo)o证明：由于整函数f(z)将复平面映照为单位圆内部且/(°)二。，则整函数f(z)是一个有界整函数，由刘维尔定理知道，/(Z)0(VzeOo6、证明方程Z,一6z+3二°在lvz<2内仅有3个根。证明:在底卜1上，由(Z)HZ4+3<4v6=g(z)=6z得，z46z+3=0在单位圆内只有一个根，在利用在二2上，由(0|二屋4|=24=16>15=|62|+3|之幅(乃二|-6%+3|得，2462+3=0在;2"2有4个根，所以方程Z46z+3=°在1<zv2内仅有3个根。
