数形结合思想的应用.ppt

把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种“数”与“形”相互转化的解题策略，就是数形结合的思想.,华罗庚先生说过:数形本是两依倚,焉能分作两边飞.数缺形时少直观,形少数时难入微.,华罗庚(19101985)数学家 中科院院士,从两道简单的例子谈数学思想与方法(一),解：依题意，可画出 图象的草图如右下.,可化为,从而选D.,又 不等式,即 异号，,从两道简单的例子谈数学思想与方法(二),解：首先画出不等式组所确定的可行域（如图所示的阴影区域）.,设，,则,(实现了由数到形的转化),由图象可知，当 时，,直线 与可行域有公共点，,从而选C.,y=|x|,y=ax,o,【例1】（07安徽）对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）,令y=|x|和 y=ax，在同一坐标系中画出它们的图象，,易知，当 时有.,【分析及解】本题若讨|x|，则解法比较复杂.若能联想到函数的图象，则问题就显得直观易解.,评注：本例就是把数量关系的研究转化为图形性质的研究的一个范例.亦即由“数”到“形”的转化.把解不等式的问题转化为根据图象判断函数值大小的问题，体现了数形结合和函数思想.,【分析及解】令，则已知式可化为,再设,由图可见，则当线段,与圆弧相切时，截距 t 取最大值,当线段端点是圆弧端点时，t取最小值,（如图中CD位置）.,则问题转化为:当线段和圆弧有公共点时，求t的最值问题.,（如图中AB位置）；,A,B,C,D,t,评注：曲线与方程是数形结合思想的一种表现形式.将代数问题转化为判断图形位置关系的几何问题，是数形结合的经典应用.,运用数形结合思想解题的,两种主要渠道,1.函数与它的图象：当问题涉及一个主元时，可以构造一个或多个函数，利用函数的图象及性质解决问题；,2.曲线与方程：当问题涉及二个主元时，可以构造成一个或多个曲线的方程，利用曲线的几何性质解决问题.,【例3】方程和的解分别是和，求的值.,图象与直线的交点A、B的横坐标（如图所示）,又函数 和互为反函数，其图象关于直线y=x对称，,而直线y=x与直线y=3-x 垂直，,故点A、B关于直线y=x 对称，直线y=x与直线y=3-x的交点M为线段AB的中点.,评注：本例体现了函数思想和数形结合，首先是由数到形，然后根据互为反函数图象间的关系得到数量关系式.,【解】在坐标系中分别画出函数和的图象与直,线，则分别是函数 与 的,解：原不等式可化为,令,求 的取值范围，使 在 上恒成立.,则问题转化为,由图象知,【例3】（2005年辽宁）已知是定义在R上的单调函数，,的外部，根据定比分点的性质，有,实数,(A)(B)(C)(D),a,b,评注：本例由单调函数的图象直观地表述了x1,x2,a,b的函数值之间的大小关系，实现了由形到数的转化.,【例4】（2005年,辽宁)一给定函数 的图象在下列图中，并且对任意，由关系式 得到的数列 满足，则该函数的图象是（）,【分析及解】这是一道函数,数列,函数图象综合在一起的选择题,需要通过数列的性质研究函数图象的特征.实际上,只要,设,则有 且,并对所有,的都成立,因此选(A).,评注：本例由数量关系an+1=f(an)及an+1an判断函数y=f(x)的图象位于直线y=x的上方，实现了由数到形的转化.,【分析及解】本题大部分考生都是用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成,但是注意到数形结合,可以很快解决问题.为此,延长CA到D,使 AD=AB,A,C,B,D,则,由正弦定理,由此,选(C).,得,评注：本例的关键是把求折线ABAC的长转化为求线段CD的长，体现了数形结合和转化的思想.,【例6】若方程 在 内有唯一解，求实数m的取值范围.,【分析及解】原方程可化为,令,在同一坐标系中画出它们的图象（如图）.,由原方程在（0，3）内有唯一解，知的图象只有一个公共点，,由图象可知，m的取值范围是 或.,评注：本例的关键是将求解方程的问题转化为判断两个函数图象的交点问题，体现了函数思想、数形结合和转化与化归的思想.,【分析及解】画出函数的图像,该图像关于直线x1对称.,评注：利用基本函数的图象和图象的初等变换做出已知函数的图象，是研究函数问题时的基本功之一.,y=f(x),x1 x2 x3 x4,【例8】（07天津）在R上定义的函数 是偶函数，且,若在区间 1,2上是减函数，则（）在区间-2,-1上是增函数，在区间 3,4 上是增函数在区间-2,-1上是增函数，在区间 3,4 上是减函数在区间-2,-1上是减函数，在区间 3,4 上是增函数在区间-2,-1上是减函数，在区间 3,4 上是减函数,【分析及解】由 知函数的图象关于直线 对称，,再由在区间 1,2 上是减函数这一条件，,再由和得,就可以画出 的示意图.,从而选B.,评注：利用函数的对称性和周期性以及它们之间的关系做出已知函数的图象，也是研究函数问题时的基本功之一.,所以是以2为周期的周期函数.,【分析及解】如图所示，单位圆中 的长为x，与弦AB所围成的弓形面积的2倍.,【例9】（06重庆卷）如图所示，单位圆中弧AB的长为x,f(x)表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的倍，则函数y=f(x)的图象是（）,当 的长小于半圆时，函数 的值增加的越来越快，当 的长大于半圆时，函数的值增加的越来越慢，所以函数的图像是D.,评注：本题主要考察图形的直觉思维能力.当然，也可计算和的值来判断函数图象的形状.,【例10】（06浙江卷）对a,b R,记maxa,b=函数f（x）max|x+1|,|x2|(x R)的最小值是.,【分析及解】先求出f（x）的表达式，再根据表达式画出函数的图象.,故,由,从图象上可以得到,评注：本题考查创新思维，要求对新定义的函数有所理解、从而得函数的解析式，再根据图象求出函数的最小值.,【例11】（06天津）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在内有极小值点（）A1个 B2个 C3个 D 4个,从导函数的函数值来看，极小值点是导函数的函数值由负变正的分界点.,【分析及解】从函数的图象上看，极小值点是函数由减到增的分界点；,从而，由导函数的图象可知，极小值点只有一个.,评注：利用导函数的函数值的正负来判断函数的增减性，进而求出函数的极值，体现了数形结合的基本思想，也是研究函数问题时的基本功之一.,【例12】（06全国II）过点 的直线 将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线 的斜率k.,所以.,【分析及解】当劣弧所对的圆心角最小时,劣弧最短，亦即它所对的弦最短，从而弦心距最大.,易知，点A 在圆 的内部，圆心为C(2,0).要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线.,评注：本题主要考察图形的直觉思维和想象能力.也是一种对图形位置结构的直观洞察力.,【例13】(06湖南)已知 则 的最小值是.,【分析及解】由条件，先画出可行域（如图）.,因为的几何意义是点(x,y)到原点的距离，,A,B,故直线 x=1 与直线 x-y+1=0 的交点A(1,2)即为最优解.,所以的最小值为5.,评注：解析几何是体现数形结合思想的又一工具.本题是线性规划的引深题，根据x2+y2的几何意义得出问题的解答.,【例15】(05湖南)设函数f(x)的图象与直线x=a，x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a，b上的面积，已知函数ysinnx在0，上的面积为（nN*），（i）ysin3x在0,上的面积为；（ii）ysin（3 x）1在，上的面积为.,评注：割补法是几何图形变换的基本方法.把不规则的图形通过割补转化为规则的图形，从而使问题得到解决.体现了转化和数形结合的思想.,【例16】设 和 是实数，则 所能达到的最小值是.,【分析及解】考察式子的几何意义：,不难看出它表示两点(s+5,s)、(2cos t,2sin t)间距离的平方.,令，则易知点(s+5,s)在直线上.,所以两点(s+5,s)、(2cos t,2sin t)间距离的最小值就是点(2cos t,2sin t)到直线-x+y+5=0 的距离的最小值.,