第41讲双曲线.doc

圆锥曲线双曲线班级_姓名_考号_日期_得分_一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1、F2，F1MF2120°，则双曲线的离心率为()A. B. C. D.解析：由图易知：tan60°，不妨设c，b1，则a.e.故选B.2已知双曲线9y2m2x21(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于()A1 B2 C3 D4解析：9y2m2x21(m>0)a，b，取顶点，一条渐近线为mx3y0，m2925，m4，故选D.3已知双曲线的两个焦点为F1(，0)、F2(，0)，M是此双曲线上的一点，且满足则该双曲线的方程是()A.y21 Bx21 C.1 D.1解析：设双曲线方程为1，且M为右支上一点，由已知|MF1|MF2|2a，4a2.又4c244a2，即b21.又c，a29.双曲线方程为y21，故选A.4我们把离心率为e的双曲线1(a>0，b>0)称为黄金双曲线给出以下几个说法：双曲线x21是黄金双曲线；若b2ac，则该双曲线是黄金双曲线；若F1B1A290°，则该双曲线是黄金双曲线；若MON90°，则该双曲线是黄金双曲线其中正确的是()A B C D解析：e，双曲线是黄金双曲线由b2ac，可得c2a2ac，两边同除以a2，即e2e10，从而e，双曲线是黄金双曲线|F1B1|2b2c2，|A2B1|2b2a2，|F1A2|2(ac)2，注意到F1B1A290°，所以b2c2b2a2(ac)2，即b2ac，由可知双曲线为黄金双曲线|MN|，由射影定理知|OF2|2|MF2|·|F2N|，即c2，从而b2ac，由可知双曲线为黄金双曲线5过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是()A28B148 C148 D8解析：|PF2|PQ|QF2|PF2|PF1|QF2|QF1|2·|PQ|148.6已知双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()A1,2 B(1,2) C2，) D(2，)解析：依题意，应有tan60°，又，解得e2.二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7已知点P是双曲线1上除顶点外的任意一点，F1、F2分别为左、右焦点，c为半焦距，PF1F2的内切圆与F1F2切于点M，则|F1M|·|F2M|_.解析：根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等，|F1M|F2M|PF1|PF2|2a，又|F1M|F2M|2c，解得|F1M|ac，|F2M|ca，从而|F1M|·|F2M|c2a2b2. 答案：b28已知双曲线1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(c,0)、F2(c,0)若双曲线上存在点P，使，则该双曲线的离心率的取值范围是_解析：e1，|PF2|>ca，即e<1，e22e1<0.又e>1，1<e<1. 答案：(1，1)9以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别为e1，e2，则当它们的实、虚轴都在变化时，ee的最小值是_解析：e，e，ee2224(当且仅当ab时等号成立)答案：410设F1和F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上且满足F1PF260°，则F1PF2的面积是_解析：在F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|·cos60°，|F1F2|2(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|.又|F1F2|220，|PF1|PF2|4.|PF1|PF2|4，SF1PF2|PF1|PF2|sin60°.三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，F1PF2，且PF1F2的面积为2，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程解：设双曲线方程为：1(a>0，b>0)F1(c,0)，F2(c,0)，P(x0，y0)在PF1F2中，由余弦定理，得：|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|·cos(|PF1|PF2|)2|PF1|·|PF2|.即4c24a2|PF1|·|PF2|.又SPF1F22.|PF1|·|PF2|·sin2.|PF1|·|PF2|8.4c24a28，即b22.又e2，a2.双曲线的方程为：1.12已知曲线C：x21.(1)由曲线C上任一点E向x轴作垂线，垂足为F，动点P满足，求点P的轨迹P的轨迹可能是圆吗？请说明理由；(2)如果直线l的斜率为，且过点M(0，2)，直线l交曲线C于A、B两点，又，求曲线C的方程解：(1)设E(x0，y0)，P(x，y)，则F(x0,0)，(xx0，y)3(xx0，yy0)代入x1中，得x21为P点的轨迹方程当时，轨迹是圆(2)由题设知直线l的方程为yx2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组消去y得：(2)x24x40.方程组有两解，20且>0，>2或<0且2，x1·x2，而x1x2(y12)·(y22)x1x2x1·x23x1x2，解得14.曲线C的方程是x21.13(2010·南昌调研试题)如图，P是以F1、F2为焦点的双曲线C：1上的一点，已知(1)求双曲线的离心率e；(2)过点P作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1、P2两点，若.求双曲线C的方程解：(1)利用向量的垂直及双曲线的定义建立等式即可确定，(2)运用向量的坐标运算，利用待定系数法建立方程组即可解得(1)由得，即F1PF2为直角三角形设2r，于是有(2r)2r24c2和2rr2a，也就是5×(2a)24c2，所以e.(2)2，可设P1(x1,2x1)，P2(x2，2x2)，P(x，y)，则x1x24x1x2，所以x1x2.由2即x，y；又因为点P在双曲线1上，所以1，又b24a2，代入上式整理得x1x2a2，由得a22，b28，故所求双曲线方程为1.评析：平面向量与平面解析几何的综合考查是近几年高考考查的热点问题，往往通过向量的运算及其几何意义来解决解析几何问题在解析几何中当直线与曲线相交时，对于交点坐标，若直接求解有时非常复杂，故往往设而不求，即设出点的坐标，利用点在曲线上或其满足的性质求解本题借助直线与双曲线相交，利用设而不求的思想，结合向量的坐标运算及韦达定理简捷求出- 8 -