【教学随笔】圆锥曲线弦线问题的破解策略.doc

金太阳新课标资源网 圆锥曲线“弦线”问题及破解策略圆锥曲线中的“弦线”问题既很普遍又很复杂，说普遍是因其很常见，说复杂是因其运算较大较烦因此在复习这部分内容时，不仅要巩固知识深化方法，而且更重要的是一定要熟悉几种“弦线”问题的类型及破解策略1 定长弦主用弦长公式OFxyPMH例1如图，F为双曲线C：的右焦点P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点已知四边形为平行四边形，（1）写出双曲线C的离心率与的关系式；（2）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程解析：此题第二问是典型的“定长弦”问题，可借助弦长公式，先导相关的一元二次方程，利用韦达定理即可得出所求（1）四边形是平行四边形，作双曲线的右准线交PM于H，则，又，（2）当时，双曲线为，此时，所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为，代入到双曲线方程得：设，则，又，则由弦长公式得：，解得，则所求方程为2 定点弦主用定比分点公式例2双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线（1）求双曲线C的方程；（2）过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）当，且时，求Q点的坐标解析：此题第二问是过定点的弦线问题，一般来讲，过定点的弦线问题大都可用定比分点公式加以解决（1）设双曲线方程为由椭圆求得两焦点为对于双曲线又为双曲线的一条渐近线，解得，双曲线的方程为：（2）由题意知直线的斜率存在且不等于零，所以设的方程：，则，分的比为由定比分点坐标公式得：在双曲线上，整理得同理有：若，则直线过顶点，不合题意，是二次方程的两根，此时，所求的坐标为3 焦点弦主用圆锥曲线统一定义例3已知椭圆，抛物线，且的公共弦过椭圆的右焦点（1）当轴时，求的值，并判断抛物线的焦点是否在直线上；（2）是否存在的值，使抛物线的焦点恰在直线上？若存在，求出符合条件的的值，若不存在，请说明理由解析：此题题设条件给出焦点弦，为简化运算，焦点弦问题最好用圆锥曲线的统一定义，这比直接利用弦长公式省事ABOyx（1）当轴时，点关于轴对称，所以，直线的方程为，从而点的坐标为或因为点在抛物线上，所以，即此时的焦点坐标为，该焦点不在直线上（2）假设存在的值使的焦点恰在直线上，由（I）知直线的斜率存在，故可设直线的方程为由消去得 设的坐标分别为，则是方程的两根，由消去得因为的焦点在上，所以，即代入有即由于也是方程的两根，所以从而又过的焦点，所以，则由，得，即，解得，于是，因为的焦点在直线上，所以即或由上知，满足条件的存在，且或，4 中点弦主用中点坐标公式例4椭圆：的两个焦点为，点在椭圆上，且，（1）求椭圆的方程；（2）若直线过圆的圆心，交椭圆于两点，且关于点对称，求直线的方程解析：中点弦也是很常见的，一般来讲，遇到中点弦基本都得用到中点坐标公式（1）因为点在椭圆上，所以在中，故椭圆的半焦距，从而，所以椭圆的方程为（2）设的坐标分别为已知圆的方程为，所以圆心的坐标为，从而可设直线的方程为，代入椭圆的方程得因为关于点对称，所以，解得，所以直线的方程为，即第 5 页 共 5 页 金太阳新课标资源网