专题二；含绝对值的不等式和一元二次不等式.ppt

,第2讲,含绝对值的不等式和一元二次不等式,1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c;|x-a|+|x-b|c.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式.,1.(2009全国卷)不等式|1的解集为(),A.x|01 B.x|0 x1C.x|-1x0 D.x|x0,D,（方法一）由题意，知x1.|1|x+1|x-1|(x+1)2(x-1)2 x0.（方法二）排除法，取x=-2，不等式成立，排除A、B、C，选D.,2.不等式|3x-4|2的整数解的个数为(),B,A.0 B.1 C.2 D.大于2,由|3x-4|2，得-23x-42,即 x2.又xZ,有x=1,因此整数解的个数为1.,3.不等式x(1-x)0的解集为(),C,A.x|x0 B.x|-11,原不等式x(x-1)00 x1，所以选C.,4.(2010广州一模）已知p：关于x的不等式x2+2ax-a0的解集是R，q:-1a0，则p是q的(),C,A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件,不等式x2+2ax-a0的解集是R等价于4a2+4a0，即-1a0，故选C.,5.(2010广东潮州实验中学一模）若集合A=x|ax2-ax+10=，则实数a的取值范围是(),D,A.a|0a4 B.a|0a4C.a|0a4 D.a|0a4,若a=0时,适合题意,若a0时,相应二次方程中的=a2-4a0，得a|0a4.综上得a的取值集合是a|0a4，故选D.,1.含绝对值的不等式的解法（1）|a+b|；|a-b|.（2）|ax+b|c(c0)；|ax+b|c(c0).2.一元一次不等式的解法一元一次不等式axb(a0)的解集为：（1）当a0时，解集为；,|a|+|b|,|a|+|b|,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,x|x,（2）当a0(a0)或ax2+bx+c0)；（2）求出相应的一元二次方程的根（注意0的情况)；（3）利用二次函数的图象与 确定一元二次不等式的解集.,x|x,x轴的交点,4.一元二次不等式的解集,x|xx1,或xx2,x|x,R,x|x1xx2,例1,题型一 含绝对值不等式的解法,(2010广东模拟）解不等式|x+3|+|x-3|8.,这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为不含绝对值符号的等式，要进行分类讨论.,（方法一）由代数式|x+3|、|x-3|知，-3和3把实数集分为三个区间：x8，即x8，此时不等式无解.当x3时，得x+3+x-38，即x4，此时不等式的解集为x|x4.,取式的并集得原不等式的解集为x|x4.（方法二）不等式|x+3|+|x-3|8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A、B两点距离为6，因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6.如图甲所示，要找到与A、B距离之和为8的点，只需由点B向右移1个单位长度,（这时距离之和增加2个单位长度），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位长度，即移到点A1（-4）.可以看出，数轴上点B1(4)向右的点或者点A1(-4)向左的点到A、B两点的距离之和均大于8.所以原不等式的解集为x|x4.,图甲,（方法三）分别画出函数y1=|x+3|+|x-3|和y2=8的图象，如图乙所示.y1=-2x(xy2，只需x4.所以原不等式的解集为x|x4.,图乙,（方法四）如果我们将x看作一个从原点出发的位置向量z(即复数z)，那么方程|z+3|+|z-3|=8表示的就是一个以(3,0)为焦点，以4为长半轴的椭圆，而|z+3|+|z-3|8就表示椭圆的外部.而对于实数x来说，不等式|x+3|+|x-3|8的解就是在x轴上其椭圆长轴的两个端点的外部，即x|x4.,含绝对值不等式的解法：（1）讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式.适合解这类绝对值不等式：|x-a|+|x-b|c或|x-a|+|x-b|c.,（2）等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形：|x|0)；|x|a x2a2 xa或x0)；一般有：|f(x)|0)；|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)0).,(2009上海卷)不等式|x-1|1的解集是.,x|0 x2,由|x-1|1-1x-11 0 x2，故填x|0 x2.,题型二 一元二次不等式的解法,(2010广东模拟）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过A(t1,y1)、B(t2,y2)两点，且满足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.（1）证明:y1=-a或y2=-a；（2）证明:函数f(x)的图象必与x轴有两个交点;（3）若关于x的不等式f(x)0的解集为x|xm或x0.,（1）证明：因为a2+(y1+y2)a+y1y2=0,所以(a+y1)(a+y2)=0，得y1=-a或y2=-a.（2）证明：当a0时，二次函数f(x)的图象开口向上，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a，且小于零，所以图象与x轴有两个交点.当a0时，二次函数f(x)的图象开口向下，图象上的点A、B的纵坐标至少有一个为-a，且大于零，所以图象与x轴有两个交点.,故二次函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点.（3）因为ax2+bx+c0的解集为x|xm或xn(nm0)，可知，m、n为方程ax2+bx+c=0的两根，即am2+bm+c=0(m0)，从而c+b+a=0.同理,c+b+a=0,从而方程cx2+bx+a=0有两个根为x1=，x2=,则方程cx2-bx+a=0的两个根为 x1=-，x2=-.因为n0的解集为 x|x-或x-.,一元二次不等式的求解步骤：(1)通过对不等式的变形，使不等式右边为零，左边二次项系数大于零；(2)计算出相应二次方程的判别式；(3)求出相应一元二次方程的根(或判断相应方程没有实根)；(4)根据(3)画正值的一种情形(当x2的系数为负值时，可先化成正值再来解决)对于一元二次不等式的解集,有的,学生因为理解不够而死记硬背，常常将对应的二次不等式应该是空集还是实数集相混淆，要解决这个问题，最好的办法就是将二次不等式与对应的二次方程、二次函数的图象真正联系起来，时时注意数形结合，这样就不会出现那样的错误了，要注意真正理解不等式解的含义.对于含有参数的不等式,在求解过程,中，注意不要忽视对其中的参数进行恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似是二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论.,上述不等式不一定为一元二次不等式，当a=0时，为一元一次不等式；当a0时，为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解.,(2010山东模拟）已知常数aR，解关于x的不等式ax2-2x+a0.,（1）若a=0时，解为x0.（2）若a0时，=4-4a2.当0时，即01时，x.,（3）若a0时，即-1;当=0时，即a=-1时，不等式化为(x+1)20，所以xR且x-1;当0，即a-1时，xR.综上所述，当a1时，原不等式的解集为；当0a1时，解集为x|x；,当a=0时，解集为x|x0；当-1；当a=-1时，解集为x|xR且x-1；当a-1时，解集为R.,题型三 含绝对值不等式与一元二次不等式的综合运用,例3,(2009重庆卷）不等式|x+3|-|x-1|a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）,A.（-，-14，+)B.（-，-25，+)C.1，2D.（-，12，+）,A,设函数f(x)=|x+3|-|x-1|，则问题等价于f(x)maxa2-3a，只要求出函数f(x)的最大值，就将问题转化成为关于a的一元二次不等式的解的问题.其中，函数f(x)的最大值可以通过把函数化为分段函数的方式解决.,（方法一）设函数f(x)=|x+3|-|x-1|，则 f(x)=-4(x-3)2x+2(-31).当-3x1时，-4f(x)4，故函数f(x)的最大值为4.只要a2-3a4，即(a+1)(a-4)0，所以a-1或a4.故选A.,（方法二）求|x+3|-|x-1|的最值时，还可以利用绝对值不等式求解.绝对值不等式是|a|-|b|a|-|b|ab|a|+|b|,只要利用其中的|a|-|b|a-b|即可，令a=x+3，b=x-1，代入上面不等式 即得|x+3|-|x-1|(x+3)-(x-1)|=4，即|x+3|-|x-1|4，故|x+3|-|x-1|的最大值为4.以下同方法一.,不等式恒成立问题是考查考生转化思想的良好素材，本题考查了一个带有绝对值的函数（实际上就是分段函数）最大值的求法、一元二次不等式的解，是在两个重要知识点的交汇处命题.,某段城铁线路上依次有A,B,C三站，AB=5km,BC=3km.在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8：07分到达B站并停车1分钟，8：12分到达C站.在实际运行时，假设列车从A站正点发车，在B站停留1 min，并在行驶时以同一速度v km/h匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差.,本题主要考查解不等式等基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力.,(1)分别写出列车在B、C两站的运行误差;(2)若要求列车在B、C两站的运行误差之和不超过2 min，求v的取值范围.,（1）列车在B、C两站的运行误差(单位：min)分别是|-7|和|-11|.（2）由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2 min，所以|-7|+|-11|2.(*)当0v 时，(*)式变形为-7+-112,解得39v；,当 时，(*)式变形为7-+11-2，解得 v.综上所述，v的取值范围是39,.,本题考查了运用绝对值概念及不等式等知识的能力，解答时要先读懂题意，后根据题中条件构造函数模型（建立不等式），在解不等式过程中利用分类讨论的方法去掉绝对值符号是行之有效的方法.,1.含绝对值的不等式的解法，应紧扣绝对值的几何意义，能与平面向量、圆锥曲线结合思考，解法就更妙了.2.一元二次不等式应紧扣二次函数的图象，函数是统帅，图象是灵魂.,分段去绝对值，转化为三个不等式组求解.,(2009福建卷)解不等式|2x-1|x|+1.,当x0,又因为x0,所以x不存在.,当0 x0,又因为0 x，所以0 x.当x 时，原不等式可化为2x-1x+1，解得x2,又因为x，所以 x2.综上，原不等式的解集为x|0 x2.,先将不等式等价地转化为(ax-1)(x+1)0，然后根据a的不同取值进行分类讨论，与不等式的解集进行比较，确定a的值.,-2,0.结合原不等式的解集，有=a=-2.故填-2.,本节完，谢谢聆听,