习题课 导数的综合应用.docx

习题课导数的综合应用题型剖析课堂互动题型一导数在解决实际问题中的应用例1 某知名保健品企业新研发了一种健康饮品.已知每天生产该种饮品最多 不超过40千瓶，最少1千瓶，经检测知生产过程中该饮品的正品率P与日产量4 200x(xN*,单位：千瓶)间的关系为尸=4 500,，每生产一瓶正品盈利4元，每生 产一瓶次品亏损2元.(注：正品率=饮品的正品瓶数÷饮品总瓶数XloO%) (1)将日利润M元)表示成日产量X的函数；(2)求该种饮品的最大日利润.解(1)由题意，知每生产1千瓶正品盈利4(X)0元，每生产1千瓶次品亏损2 000 元，a4 200-X2( 4 200一马4 Q故 y=4 000 × 4 s X2 000 1 一 4卜=3 600-x3.T J JJT VzVz JJ4所以日利润 y=尹3+3 600(xN*, 1 x40).4(2)令«¥)=尹3+3 60Or, x1, 40,贝切。)=3 6004片.令/(x)=0,解得=30或彳=一30(舍去).当 IWXV30 时，f(x)>O;当 30<x40 时，f(x)<Ot所以函数段)在1, 30)上单调递增，在(30, 40上单调递减，4所以当x=30时，函数为V)取得极大值，也是最大值，为y(30)=1X303+3 600X30 =72 000,也即y的最大值为72 000,所以该种饮品的最大日利润为72 000元.规律方法利用导数解决实际应用问题的步骤(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式)，=危). (2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考虑，舍去没有实际意义的自变量的 范围.(3)求最值：尽量使用导数法求出函数的最值.(4)下结论：根据问题的实际意义给出圆满的答案.【训练11 如图，要设计一面矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个 矩形栏目(即图中阴影部分)，这两个栏目的面积之和为18 OOO cm?,四周空白的宽 度为10cm,两栏目之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的高与宽的尺 寸(单位：Cm),能使矩形广告牌的面积最小？解 设广告牌的高和宽分别为XCm, y cm, 则每个栏目的高和宽分别为(x20)cm,cm,其中 x>20, y>25.两个栏目的面积之和为2(-20)-=18 000,9y-18 (XX)X-20卜25,广告牌的面积Sa)=胫等+25)=詈箸+25x,.18(X)0 (L 20) 一幻 1360 OOo 1 HG)= (-20) 2+25= (L20) 2+25.令 S'(x)>O,得 X>140；令 Sa)V0,得 20<x<140. 函数S(X)在(140, +8)上单调递增，在(20, 140)上单调递减， S(x)的最小值为5( 140).当X=I40时，y=175,故当广告牌的高为140cm,宽为175Cm时，可使广告牌 的面积最小,最小面积为24 500 cm2.题型二与最值有关的恒成立问题【例2】设函数兀0 =0+2&+，-1(;1<,，>0).求7U)的最小值做力(2)若Mr)V 2r+机对r(0, 2)恒成立，求实数加的取值范围.解(l)T(x)=f+f)2-r3+r-l(xR, r>0), 当X=-f时，,x)取最小值牛一。=一户+l1,即 h(t)=-ti+t-.(2)令 g(f)=力一(-2f+m) = P+3f 1 mi由g")=32+3=0得f=l, /= -1(不合题意，舍去).当/变化时g")、g的变化情况如下表：I(0，D1(1，2)g")+0g()单调递增1 m单调递减；对 /£(0, 2)» 当 t= 1 时，g(f)max= 1 m,z(f)v-2f一加对 f(0, 2)恒成立，也就是g(f)<O对，£(0, 2)恒成立，只需 g(f)max=l 一机<0, Z>1.故实数m的取值范围是(1, +).规律方法(1) “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，一般地，可采 用分离参数法进行转化，利>)恒成立= Cx)max; /iqU)恒成立Q Cx)min. 对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心”最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况， 以此来确定参数的范围能否取得.【训I练2 设函数段)=2?9f + 12x+8c,若对任意的x0, 3,都有TU)Vc2成立，求C的取值范围；(2)若对任意的x(0, 3),都有y(x)Vc2成立，求C的取值范围.解 *7(x)=62-18x+12=6(x- 1)(x-2). 当x(0, 1)时，)(x)>0,於)单调递增;当x(i, 2)时，<o, yu)单调递减；当 x(2, 3)时，/(x)>0, KX)单调递增. 当x=l时,危)取极大值l)=5+8c.又 y(3)=9+8c>yu),.x0, 3时，40的最大值为13)=9+8c:对任意的W0, 3,有火X)VC2恒成立，9+8c<c2,即 CV-I 或 c>9.Xe的取值范围为(-8, -1)U(9, +).(2)由(1)知 y(x)vy(3)=9+8c,9÷8cc2,即 cW 1 或 c29,.c 的取值范围为(-8, -1U9, ÷oo).题型三利用导数证明不等式a (- 1 )【例3已知函数段)=ln-(dR).求函数儿E)的单调区间；(2)求证：对于任意x(l, 2),不等式在一占恒成立.()解易知/U)的定义域为(0, +8), /()=.若。40,则/(x)>0, «r)在(0, +8)上单调递增；若”>0,当x(0, 4)时，/(x)<0, «r)在(0,。)上单调递减, 当x(, +8)时，-)>o,於)在Q +8)上单调递增.综上，当0o时，yu)的单调递增区间为(0, +),无单调递减区间; 当。>0时，/U)的单调递增区间为3, +8),单调递减区间为(0, a). (2)证明 Vl<r<2,，士：-<4等价于(x+l)ln 冗一2。- 1)>0, III X X IN令 F(x)=(x÷ 1 )ln -2(-1),DrI %+ 1l 1即 Fx) = In x+-2=In1 由(1)知，当。=1时，y(x)=ln-1+在1, +8)上单调递增，当Xl, 2)时，)D,即 InX+一120,广(x)20,F(x)在1, 2)上单调递增,，当 x(l, 2)时,F()>F(1)=0,即当l<x<2时，+-JyJ恒成立.In X IN规律方法(1)证明yu)>g()的一般方法是证明z()=)g0)>o(利用单调性)， 特殊情况是证明7U)min>g(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性.(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式两个变 元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式加)+ 8(»)勺8)+且3)对Xla2恒成立，即等价于函数(X)= 火x)+g(x)为增函数.【训I练3】设函数段)=ln-x+l.(1)讨论7U)的单调性；X 1(2)证明当 x(l, +8)时，l<-<.(1)解依题意，yu)的定义域为(0, ÷c°)./(x)=-1,令/(x)=0,得 X=L当0<r<l时，/(x)>0, 7U)单调递增.当Ql时，/(x)<0, Kr)单调递减.(2)证明 由(I)知7U)在X=I处取得最大值，且最大值AI)=o.所以当XWl时，nx<-.X 1故当 x(l, +8)时，-j>1, 又可将士代入ln<r-l,得InM 1,1X- 1Xe-1即一In x<-1 =In x> 1 一=In x>-<=>x>-r:,XXJC111 XX 1故当 XW(1, +8)时恒有 题型四利用导数解决函数的零点或方程的根问题【例4】已知函数yu)=电中一1,(1)求7U)的单调区间；当Ql时，求函数7U)在区间(O, e上零点的个数.1 1 Y(X解(IW)=-F，令/(x)=0,得 =eL"/(x)及於)随X的变化情况如下表：X(0, e,fl)e1 a(e1fl, +)f()+0极大值所以危)的单调递增区间为(0, e,fl),单调递减区间为(eLa, +).(2)由(1)可知7U)的最大值为AeLa)=J,当。=1时，7U)在区间(0, 1)上单调递增，在区间(1, e)上单调递减. 又期=O故段)在区间(0, e上只有一个零点.当时，1一。>0, e,-w>l,1 p' 则人6|一。)=一<o,所以yu)在区间(0, e上无零点.综上，当。=1时，yu)在区间(0, e上只有一个零点，当a<时,7U)在区间(0, e上无零点.规律方法 利用导数斫究函数的零点或方程根的方法是借助于导数斫究函数的单 调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势， 从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.4【训练4 若函数於)=0?bx+4,当x=2时，函数y(x)取得极值一,.求函数7U)的解析式；(2)若方程/(X)=Z有3个不同的实数根，求实数k的取值范围.解(1)对HjV)求导得/(-)=30r2-df (2) =12ab=0,由题意得,C、 C 一 4f (2) =8。-26+4=一解得8=4(经检验满足题意).U)=33-4x+4.(2)由(1)可得/(x)=f-4=2)(x+2).令/CO=。，得 X=2 或 X= -2.，当 x<-2 或 x>2 时，/(x)>O;当-2<x<2 时，/(x)<O.9R4因此，当x=-2时，«x)取得极大值y,当x=2时，义)取得极小值一,.，函数7U) = $4x+4的大致图象如图所示. 由图可知，实数Z的取值范围是(一/ y)素养达成逐步落实一、素养落地1 .通过学习利用导数解决实际应用问题、培养学生数学建模素养，通过学习利用 导数解决不等式问题及函数零点问题，提升数学运算素养.2 .正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解应用题的主要方法.另外需要 特别注意：(1)合理选择变量，正确给出函数表达式；与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.3 .利用导数解决不等式问题与利用导数解决函数的零点间的一般方法都是转化为 函数的极值或最值问题.二、素养训练1.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为 ()A.VB.2VC.4VD.2V解析设底面边长为x,则表面积S=坐f+乎 Va>0).6=卷，一4冷.令9=0,得X= 旃.答案C2.已知yu)是定义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足Jx)+yu)wo,对任意 的正数。，b,若a<b,则必有()hbfg)Wa肋B 啦 a)，Kb)CMOW 饮 A)D 郎 b)W 秋 a)解析 设gO)=U), x(0, +),则 g'Q)=4(x)+y(x)W0,g(x)在区间(0, +8)上单调递减或g()为常函数.Va<h1 ,g()2g(b),即。勿S),故选 A. 答案A3 .已知某生产厂家的年利润M单位：万元)与年产量M单位：万件)的函数关系式为 y=-x3+8U-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件解析因为V=-x2+81,所以当 x>9 时，VV0；当 x(0, 9)时，y>o.所以，函数y=$+81-234在(9,+8)上单调递减，在(0, 9)上单调递增. 所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0, +8)上只有一个极大值点， 所以函数在x=9处取得最大值.答案C4 .直线y=a与函数y=xi-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是解析 /(x)=32-3,令，(x)=。，得 X=I 或 X= - 1.因为当 X£( 8, -1)U(1, +8)时，/()>0,当 (-, D时，/()<O,所以 7U)梗小值=AD=-2, Kr)极大值=A 1)=2.函数y=xi-3x的大致图象如图所示，所 以一2<o<2.答案(一2, 2)三、审题答题示范(二)利用导数解决不等式问题In 【典型示例】(12分)已知函数yU)=0-eA(R), g(x)=：.(1)求函数的单调区间Z匹(O, +8),使不等式心)jg()-er成立,求的取值范围.联想解题看到想到解不等式Q)>O求7U)的单调增区间，解不等式Q)<O求KV)的单调 减区间，但需注意讨论不等式中参数的符号；看到想到通过分离参数。构造新函数,把不等式问题转化为求函数的最值问题， 需注意的是条件为“三而不是“Vx”，所以要弄清楚问题是求函数的最大值还 是最小值.满分示范解(1)因为/(x)=一ev, xR.当0时，/(x)<0, 7U)在R上单调递减；2分当公>0时，令/(x)=0,得X=Ina由/(x)>0,得犬O的单调递增区间为(一8, in);由/(x)<0,得“¥)的单调递减区间为(Inm +°o).综上所述，当W0时，/U)的单调递减区间为(一8, ÷oo),无单调递增区间； 当。>0时，Ax)的单调递增区间为(一8, in a)t单调递减区间为(Inm+8).4分(2)因为r(O, +),使不等式加)g(x)->,则GW乎，即OW誓.6分设人。)=¥，则问题转化为阴max，,1 21n X .F 厂由 (%)=-p-,令 '(%)=0,仔 X=必.当X在区间(0, +8)内变化时，2f(),6(X)随X变化的变化情况如下表:X(0,侦)e(e, +°o)hx)+0Kx)极大值会10分由上表可知，当X=加时，函数力。)有极大值，即最大值为所以W=.故。的取值范围是(-8,目.12分满分心得(1)涉及含参数的函数的单调区间，一般要分类讨论，要依据参数对不等式解集的 影响进行分类讨论.解决不等式“恒成立”或“能成立”问题首先要构造函数，利用导数求出最 值、求出参数的取值范围，也可分离参数、构造函数，直接把问题转化为求函数 的最值.课后作业巩固提高基础达标一、选择题1 .对任意的x R,函数T(X)=X3+加+70r不存在极值点的充要条件是()A.021Ba=O 或。=7C.<O 或 «>21Da=O 或。=21解析 /() = 3x2 ÷ 2ax+Ia,当 /=4484oS0,即0«21时，/(五)20恒成立，函数段)不存在极值点.答案A2 .定义在R上的函数/)，若(xl)(x)<0,则下列各项正确的是()A.0)+2)>2(l)B.0)+2)=2(l)C.0)+2)<2(l)DT(O)+«2)与纨1)大小不定解析 v(x-y7<o,当 Ql 时，/(x)<0;当 XVl 时，/(x)>0,则Ar)在(1, +8)上单调递减，在(-8, 1)上单调递增，火0)皿)，2)<1),则/(0)十2)V 软 1).答案C3 .已知函数於)=xsinx,则不等式於+1)+式22x)>0的解集是()A3, T)B(T +8)C.(-8, 3)D.(3, +)解析 因为/(x) =-sinx,所以八一/)=-x+sinx=-/(x),即函数式%)为奇函数， 函数的导数/(x)=l-CoSX20,则函数/(x)是增函数，则不等式式x+l)+t(2-2x)>0 等价为yU+l)>-2-2x)=(2-2),即x+ l>2-2,解得XV3,故不等式的解集 为(一8, 3).答案C4 .方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时，它的高为()A.4B.6C.4.5D.8解析设底面边长为X,高为儿则Va)=X2=256, =誓，.*. S(X) =xl+4xh=x2+4x=x2+4 义；56,4×256人切看：.Sx)=2x- 2 5,(x)=0,解得 x=8,仁箸4答案A5 .若函数恰有三个零点，则实数a的取值范围是()A. +°°B.(0, 4D.(0, +)C.(0, 4e2)解析令 g(x)=x2e",则 g'(x)=2XeA+fev=jceA(X+2).令/(X)=O,得 X=O 或一2,g(x)在(一2, 0)上单调递减，在(一8, -2), (0, +8)上单调递增.4*g(x)校大值=g(-2)=/，g(x)极小值g(0)=0,又火X)=X2ex-。恰有三个零点，则0<<4.答案B 二、填空题26 .某厂生产某种商品”件的总成本Ca)=I 200+息3(单位：万元)，已知产品单价 的平方与产品件数X成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为.件时，总利润最大.解析 设产品的单价为P万元，根据已知，可设 其中为比例系数.因为当 X=IOO 时，p=50,所以 Z=250 000.所以P? =250 000500'P=忑,x>0.设总利润为y万元，50022y=.-l 200-753=500-x3 1 200.l ,250 2 , 则产正一药令 y=0,得 x=25.故当OVXV25时，y>0,当x>25时，y<0,所以，当x=25时，函数y取得 极大值，也是最大值.答案257 .已知函数yU)=2xln % 8。)=一/+依一3对一切(0,+8),凡r)2g()恒成 立，则。的取值范围是.解析 由 2xlnx-x2÷r-3,3得 21nx+x+.3设 h(x)=2n x÷÷x(x>0).2 3则 hx)=-+ =(x+3) (-l)X2当x(0, 1)时，,(x)<O,力。)单调递减，当 x(L +8)时,h,(x)>Ot (x)单调递增. h(x)min = ( 1) = 4.又fix) 2g(x)恒成立，:.4.答案(一8, 4|8 .已知函数/U)=f21n X,若关于X的不等式兀r)加20在1, e上有实数解, 则实数m的取值范围是.解析 由兀¥)一加20得iU)2"7, 函数yu)的定义域为(0, +°°)»2 2 (2-1) /(x)=2x-=当 xl, e, JraB0,此时，函数yu)单调递增，所以加1)勺U)(e)即 ly(x)e2-2,要使7U)一加20在1，e上有实数解，则有机We22.答案(一8, e2-2三、解答题9 .已知函数yU)=o+Glnx(R),试求兀0的零点个数.解 /(x)=(lnx+L*亚(无+2),令/(x)>0,解得 x>e",令 W<O,解得 0<¥<e-2,所以兀¥)在(O, e2)上单调递减, 在9-2, +8)上单调递增.2U)min=(e - 2) = q- V2显然当公工时，/x)min>0, “X)无零点，2当时，7U)min = 0, TW有1个零点，2当时，/(x)min<0,危)有2个零点.10.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小 时10海里时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元，问 轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解 设速度为。海里的燃料费每小时元，那么由题设的比例关系得p=krA其 中女为比例系数，它可以由O= 10,p=6求得，即左=选=O.006,于是有p=0.006o3. 又设当船的速度为。海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的 总费用是0.006P+96(元)，而行1海里所需时间为卜小时，所以，行1海里的总费 用为：196q="(0.0063+96)=0.0062 ÷.=0.012-8 000),令 q0,解得 v=20.：.当 <20 时，<0;当。>20 时，q,>0t当。=20时q取得极小值，也是最小值，即速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.能力提升11 .已知函数yU)=e*-ln(x+3),则下列有关描述正确的是()A.Vx(-3, +), )B.x(-3, +), )>-C.3xo(-3, +), fixo)=D(x)min(0, 1)解析 因为/U)=ev-ln(x+3),所以(x)=ex-不宏，显然/(x)在(一3,十8)上是 增函数，又/(T)=L, /(0)=>0,所以了(X)在(一3,十8)上有唯一的零点，设为刀0,且xo(-1, 0),贝IJX=XO为HX) 的极小值点，也是最小值点，且&=三3,即Ro=-In(M)+3),故/U)2"ro) = ex0-ln(xo+3)=-V+xo>-故选 B.答案B12 .已知函数.(x) = 22Hn x(a R), (1)若/U)在x=2时取得极值，求。的值； (2)求小E)的单调区间；12求证：当Ql时，/+lnx<y3.解/(x)=-p因为x=2是一个极值点，所以2=0,则=4.此时/(x)4(x+2) (x-2)=LW=,因为段)的定义域是(0, +8),所以当X(O, 2)时, /(x)<0;当x(2, +), /(x)>0,所以当。=4时，x=2是一个极小值点，则 q=4.(2)解 因为/(x)=x三=I(X+也)(Xg)所以当时，yu)的单调递增区间为(O, +8).a 2-a当 a>0 时，f(x)=-=-= 当 O<r<d, /(x)<0,当心抽时，/(x)>0,所以函数段)的单调递增区间(W, +8)；递减区间为(O, g).2 (3)证明 设 g(x)=#/2Inx,(22÷x÷ 1)>0，Ll91(x-1)则 ,(x)=2x2-%-= 又X>l,所以g()在x(l, +8)上为增函数，所以当心>1时，所以g(x)>g(l) = >0,所以当 x>l 时，x2+lnx<x3.创新猜想13.(多选题)已知函数7U)=xln x+x2, XO是函数7U)的极值点，以下几个结论中正 确的是()B.xo> eA.O<xo<C J(xo)+2xo<OD 式 Xo)+2o>O解析 函数y(x)=jdnx÷x2(x>0), (x)=lnx+1 ÷2x, 易知/(x)=lnx+l+2x在(0, +8)上单调递增，"o是函数7U)的极值点，/(刈)=0,即 In xo+1 +2xo=O,而当Lo, /(x)f 8, .,o<xo<,即A选项正确，B选项不正确； Xxo)÷2xo=xolnxo÷x÷2xo=,o(lnxo÷xo÷2)= xo(xo-1)>0,即 D 正确，C 不正 确.故答案为AD.答案AD14.(多选题)已知函数«x)=SinX+x3ar,则下列结论正确的是()AJM是奇函数B.若Ar)是增函数,则0WlC.当。=一3时，函数凡r)恰有两个零点D.当=3时，函数/U)恰有两个极值点解析 对 A, «r)=Sin x+x3ar 的定义域为 R,且/(x) = sin(-x)+(X =一(SinX+/0) = 一4工).故 A 正确.对 B, /(x)=cosx+3x2-因为y(x)是增函数，故 CoSX+3x2-恒成立.即 Wcosx+3x2 恒成立.令 g(x)=cosx+3x2,则 g,(x)=6xsinx9设 h(x)=6-sin x, h,(x)=6cos x>0,故g'(x)=6-sin X单调递增，又/(0)=0,故当 x<0 时 g'(x)<0,当 QO 时 g<x)>0.故 g(x)=cosx+3x2 最小值为 g(0)=l.故<l.故B正确.对C,当。=3时由B选项知，yu)是增函数，故不可能有两个零点，故C错误. 对 D,当。=3 时段)=sin x÷3-3x, /(x)=cos ÷32-3,令 cos x÷3x2-3=0 贝IJ有 cosx=3-3x2.在同一坐标系中作出y=cos, y=3-3的图象易得有两个交点，且交点左右的 函数值大小不同.故函数«r)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.答案ABD