中国石油大学090107概率论与数理统计期末复习题及参考答案.docx

概率论与数理统计课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率 为()。a 37B. 3×()7C cio7×()3d 3答案：B2.设X, X2, . X为来自总体X的一个样本，区为样本均值，EX未知，则总体方差OX的 无偏估计量为()。A.-(X-X)2“Ti=I1 n_ o8. 1 X(Xz-X)2 ni=1 «0C -(X，一 EX)1oD -(Xi-EX)2-答案：A3.设X” X2,，X为来自总体N(，/)的一个样本，区为样本均值，已知，记S12=-(Xz-X)2, 5=1 X(Xz-X)2,则服从自由度为-1的f分布统计量是()。一 ITni=MT=Sl/3S2 / 4nS) n答案：D4 .设总体X/HO),O为未知参数，X1, X2,. -, X“为*的一个样本,0(X1, X2,-,.Xn), 0(X1, X2, XZJ)为两个统计量,包力为。的置信度为的置信区间, 则应有()。A. P < = aB. P< = -aC. P<< = aD. P<< = -a答案：D5 .某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率()。A. 36,设X和Y均服从正态分布XN(工),Y N(32),记P = PX <-2, p2=PY + 3f 则 OoA.对任何实数都有p >2B.对任何实数都有p <2C.仅对的个别值有Pl =p2D.对任何实数都有p 二2答案：D7.设A和B为任意两个事件，且Au3, P(B)>0,则必有()。A. P(A)<P(AB)B. P(A)NP(AIB)C. P(A)>P(AB)D. P(A)P(AB)答案：D8.已知事件48相互独立，P(B) >0,则下列说法不正确的是()。. P(AB) =P(A)P(B)B. P(AB) = P(A)P(B)C. 48互不相容D. P(AB) = P(A)答案：C9 .甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命 中，则它是甲射中的概率是()。A. 0.6B. 5/11C. 75%D. 6/11答案：C10 .已知P(A) = I/3, P(BIA) = I/5, P(AlB) = I/2,求P(AUB)二()。A. 1/4B. 3/5C. 2/5D. 1/3答案：C11 .甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.5和0.6,则目标被命中的 概率是()。A. 0.9B. 0. 7C. 0. 55D. 0.8答案：D二、填空题1.设X、y的概率分布分别为9() = J j 1泰5；以加4；,)：则E(X2_”)二Oo答案：9-32 .一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回)。则恰有一次取 到次品的概率为()。答案:10/363 .一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(不放回)。则至少取到一 个正品的概率为()。答案：65/664 .设X的概率分布为) X>0,则X的分布函数F(X)= Oo0, x0x>0x01 P答案：F(X) = 0,5 .已知随机变量X的分布列为X012P0.30.50.2则：随机变量X的期望EX=()。答案：0.96 .已知随机变量X的分布列为Xl-I 02Pi 0.40.2 P则：DX= Oo答案：L 847 .一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一 个(无放回)，则取到的两只球至少有一个黑球的概率为()。答案：17/458 .设对于事件 4、B. C P(A) = P(B) = P(C) = - , P(ABC) -f412P(AB) = P(BC) = P(AC) = -f 贝J A、B、C都不发生的概率为()。 8答案：13/24I + /, -1 X O9 .设随机变量X/(x) = A-x, O<xl ,则常数A= O00,其它答案：110 .已知事件A, B 满足PG48) = PQAClBy P(A) = p,则P(B) = Oo 答案：I-P11 .已知随机变量X的分布列为Xl-I O 2Pi 0.40.2 P则：EX= O0答案：0412 .已知随机变量X的分布列为XOl 2Pk 0730502则：随机变量X的方差。X=()。答案：04913 .一个盒子中有10个球，其中有3个红球，2个黑球，5个白球，从中取球两次，每次取一 个(无放回)，则第二次取到黑球的概率为()。答案：1/514 . 一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(有放回)。则两次都取到 次品的概率为()。答案：1/3615 .设随机变量 X N(1, 2?)则 EX 2= ()o答案：5三、解答题O, X OL设X的分布函数为尸(X)=求：1/2, 1 <x2L x>2(1) X的概率分布;133(2) PX <- PX<-. P1Xo答案：(1) X的概率分布列为Xol 2P1/31/61/2(3) PX<-) = F (-)=- 223331PX<- = PX<-PX< = - ZZO3331PlX- = Pl<X<-+PX= = -2.设随机向量(X, 丫)的概率密度为C, 0<x<l,0< y <2xAQ 1。，其他求：(1)常数C；(2)关于x、y的边缘概率密度，并判断X与y是否相互独立。答案：(1)利用归一性知：/(x,y)dxdy = 1 => C = 1(2) yx() = £/(”)(，当C)VXVI 时，有x(x) =匚/(%,)，)力=dy = 2x其他情况时，x(x) = 0另口知/()=其他同理人(加卜右°J<20,其他由于f(, y) w £ () X 4 (y)知X与Y不相互独立。3.已知rX、y分别服从正态分布N(0, 32)和N(2, 42),且X与Y的相关系数px =-1/2,设Z=X3+Y2,求：(1)数学期望£Z,方差。Z；(2) X与Z的相关系数夕z°答案：(1)由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得VYXYIIEZ = E( + -) = E() + E(-) = -×0 + -×2 = l 323232VVVYVDZ = D( + -) = D() + D(-) + 2Cov(-,-) 323232= rDX +-4DK+ 2×-×-pxr5x5F 32223 2(2) Cov(X, Z) = Cov(X, -X + -n = -Cov(X,X) + -Cov(X,y) 3232= -DX+-pvvDXDT = 032 Xy从而有X与Z的相关系数PXZ = 装好 =0 DXDZ4.设 X,X2,X”为 X 的一个样本，X /(U) = (l + l),0<x<l其中4>_为未知参数，求0, 其它/1的极大似然估计量。答案：设王，x2,，X为X- X2,，X”观测值，则构造似然函数L(2) = (2÷l)rt(f.)/=1In L = nn( + ) + jxi i=Jln L n=Fd, ÷ 1Z In xi = 0 z=l解的4的极大似然估计量为2 =lnX, /=15 .设, X2f Xif X是来自正态总体N(0,32)的简单随机样本，X=a(XL2Xj+N2X3X4)2试确定。、使统计量X服从/分布，并指出其自由度。答案：依题意，要使统计量X服从/分布，则必需使4/2(X2X?)及/(2X3-3X，服从 标准正态分布。由于X, X2, X3, X,为简单随机样本，故相互独立，所以由正态随机变量的性质知 ,z2(X1 -2X2) N(0,(9 + 364),从而解得 = 1/45同理Ra(2X1-3X2) N(0366 + 8%),从而解得b= 1/117由/分布定义知，当Q =表、匕=+时，丫=。区-2乂2)2+伙2*3-3*4)2服从力2分布，且自 由度为26 .已知工厂4、B生产产品的次品率分别为现和2乐现从由A、B的产品分别占60%和40%的 一批产品中随机抽取一件，求：(1)该产品是次品的概率；(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率。答案：设C表示“取到的产品是次品”；A “取到的产品是A工厂的“；B “取到的产品是B工厂的“。则(1)取到的产品是次品的概率为P(C) = P(A)P(Cl A) + P(B)P(Cl B)=60140 X + 100 100 10027io-5(2)若取到的是次品，那么该产品是B工厂的概率为 402 V WAlCP(8C) P(B)P(CTB)100 100 4P(C) P()P(CA)+ P(B)P(CIB)70 7.一批产品共有10件正品2件次品，从中任取两件，求：(1)两件都是正品的概率；(2)恰有一件次品的概率；(3)至少取到一件次品的概率。答案：设A表示：“取出的两件都是正品是正品”；8表示：“取出的两件恰有一件次品”；C表 示：“取出的两件至少取到一件次品”；则(1)两件都是正品的概率(2)恰有一件次品的概率p(b)= £l0 = 12G2 33(3)至少取到一件次品的概率P(C) =l-P(A) = l- = l-= C 22 228 .一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两次，每次取一个(不放回)。求：(1)至少取到一个正品的概率；(2)第二次取到次品的概率；(3)恰有一次取到次品的概率。答案：设Aj表示：“第i次取出的是正品”(厂1, 2),则(1)至少取到一个正品的概率_ _2 165I-P(A1A2)=I-P(A1)P(A2M1)=I-X-=(2)第二次取到次品的概率为 _ _ IO 2211P(1 A2 U 1A2) = P(A1 )P(A2 I A1) + P(1 )P(2 I A1) = × - + × -=-(3)恰有一次取到次品的概率为_一-10 22 10 10P(AA2UA1A2) = P(Al)P(A2 A1) + P(A1)P(A2 A1) =-×- + -×-=9 . 一个盒子中有三只乒乓球，分别标有数字1, 2, 2。现从袋中任意取球二次，每次取一只(有放回)，以x、y分别表示第一次、第二次取得球上标有的数字。求：(1)X和y的联合概率分布；(2)关于X和y边缘分布；(3)X和y是否相互独立？为什么？答案：(1) (X, y)的所有可能取值为(L D、(1, 2)、(2, 1)、(2, 2) OPn =PX = L Y = D = Jxg = ", 02=PX=L y = 2=× = 2 1 22 2 4P21=px = 2, 丫 = |)= 5、§ = 3，022 = p = 2, y = 2 = 1X = a于是(x, y)的概率分布表为1211/92/922/94/9(2)关于X和y的边缘概率分布分别为X12y12Pi.1/32/3Pj1/32/3(3) X和y相互独立。因为Pi, j有P-X p.j = Pij10.设x, X2, , X ”为总体X的一个样本，且X的概率分布为PX = k = (l-p), p, k = l,2,3o再，x2» » X为来自总体X的一个样本观察值，求P 的极大似然估计值。答案：构造似然函数L (p) = p(z, p) = p(1 - p)xi = Pn (1 - p),l Z=I/=1nInL = ln p + (gj -)In(I-P) /=I nYx； -n dnLn fdpp 1 - p解得p = /£巧，因此P的极大似然估计值为 /=1力=/£七 /=1IL已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为4/5,今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数X的概率分布。答案：X的可能取值为1, 2, 3, -O记4表示“第后次试验雷管发火”则4表示“第Z次试验雷管不发火”从而得：4Pl =PX = 1 =Q(A) = W-1 4p2=PX=2 = P(A1A2 ) = P(A )P(4 ) = -×-P3 = PX = 3 = P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3) = (-)2×-Pk=PX=k = P(A1¾.V1AJ = g)"T依次类推，得消耗的雷管数X的概率分布为4 I -PX= = -×(-)-1 (k = 1,2,3,)12.设X, X2,X”为来自总体X的一个样本，T为样本均值，试问Q = LW(Xj-又尸是 /=1否为总体方差Z)X的无偏估计量？为什么？1 ，7答案：Q = LE(Xj-9)2不是总体方差Z)X的无偏估计量。 /=1设EX = S DX 2f 因为： 1 n I nEX = E(-EXi) = - EEXi=U n ,= n l= nI «2DX = D(- Xi) = -DXi=- n i=n J=InC 1 n o 2EQ = E-(Xi- X)2 = E-(Xf-2XXi + X ) n i=n 1=1=-E(Xi2-X ) /=I=-(DXi + (EYz)2) - n(DX + (EX)2) n /=I=l(c,2 + W2)-(- +M2) = -2 DX n /=inn13.设相互独立随机变量X、Y的概率分布分别为/、-, lx3/、(2e-2yf y>02； o(y) = < C C0,其它 I °， y()求：七(乂+丫)和七(2乂一3丫2)。答案：由于X服从U(l,3),故知EX=U = 2； DX=I又y服从参数为2的指数分布，所以Ey=g、DY=-2 4因此得E(X + Y) =EX + EY = 2 + 2 = 23 1E(2X-3Y2) = 2E(X)- 3E(Y2 )=4-3(Oy + (EY)2 ) = 4- = 2-14 .有两个口袋，甲袋中盛有4个白球，2个黑球；乙袋中盛有2个白球，4个黑球。由甲袋 任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球，求从乙袋中取出的是白球的概率。答案：设A表示：“由甲袋取出的球是白球”；B表示：“由甲袋取出的球是黑球”；C表示：“从乙袋取出的球是白球”。贝h42+1 92 RP(C) = P(A)P(C I A) + P(B)P(C I B) = - X + - × = 6 6+1 6 6 + 1 2115 .甲、乙两人各自同时向敌机射击，已知甲击中敌机的概率为0. 8,乙击中敌机的概率为0. 5, 求下列事件的概率：(1)敌机被击中；(2)甲击中乙击不中；(3)乙击中甲击不中。答案：设事件A表示：“甲击中敌机”；事件B表示：“乙击中敌机”；事件C表示：“敌机被击中”。则(1) P(C) = P(AU 3) = 1 - P(IUB) = I-P(AB) =1-0.1 = 0.9(2) P(AB) = P(A)P(B) = 0.8×(l-0.5) = 0.4(3) P(AB) = P(A)P(B) = (1-0.8)×0.5 = 0.1