专题02 函数的奇偶性与单调性.docx

JP.ZXXK.COM,学科网精品频道全力推荐专题02函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1 .若函数Ar)为偶函数，则於)=式园)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论.2 .以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围， 是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问 题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1设函数"r)=ln(l+x)- R则使得(x)X2-D成立的K的取值范围是()A.(1, 1)B.(-8, )u(1, ÷)【答案】A 【分析】发现函数Kr)为偶函数，直接利用/工)= 川刈，将“变量化止”，转化为研究函数函数於)在(0, +oo)上单调性，逆用单调性脱'了.【解析】易知函数7U)的定义域为R,且於)为偶函数.当工力0时，:幻=M(I +幻一1 +/,易知此时H>)单调递增.1所以小)X2-l)7(kl)X2-l),所以m>2-l,解得，<l.故选 A.已知函数/(X) = X3-2x+e'其中e是自然对数的底数./3-1) + /(2/) WO,则实数。的取值范围是.【答案】 【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将f(-l) + f(202)W0移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱'了.【解析】因为f(一X) = -d + 2x+-eA= -7*),所以/(x)是奇函数 e又因为 / '(x) = 3f - 2+er+ e-x 3x2-2 + 2e7T7 0，所以数在 R 上单调递增由f(a-l) + (2a2)0. /(x)是奇函数得了(2)W-fa-l) = (l-),JP.ZXXK.COM,学科网精品频道全力推荐由F(X)在R上单调递增，得2l-,即2+-l0,解得一 lg, 故实数。的取值范围为T,L2例3已知函数/(x) = e"-e-'+l (e为自然对数的底数)，若f(2x-l) + (4-d) > 2 ,则实数X的取值范围为.【答案】(-1,3)【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令F(X) =/)-l = e' -e,易知产3是奇函数且在R上单调递增由心 1) + /(4_犬)>2 得/(""I-D = TfQDT即 F(4-x2)>-F(2x-1)由 FM 是奇函数得一厂(2x-1)= F(l-2x),故 F(4-x2)>F(1- 2x)由尸(X)在R I二单调递增，得4-W>l-2,即d-2x-3v,解得一l<x<3,故实数X的取值范围为(一1,3).2T I例4已知函数/(X) =匕/二，若/(2x-2)(2-+2),则实数X的取值范围是()A. -2,-lB. l,+oo)C. RD. (o,-21,-hx)【答案】D2-X 1【解析】函数r ；=2TXT,故f()关于直线x = l对称，且在1, +)上单 2<1减，函数八幻的图象如下：f (2x-2).(x2-x + 2),且fr + Z = /+(恒成立，.,. 2x 2 1, xx + 2 - 1 t 即 12x 31 x x ÷ 1 »33当".一时，不等式化为：2x-X x2-x+l,即 x2-3x + 4.0,解得 xR,即 X.一；223当x<一时，不等式化为：3-2,fr + ,即x2+x-2.0,解得用，一2或x.l,即23R, -2或 1 X < ；综上，f(2x-2). J(Y-X+ 2)时，实数 X 的取值范围是(Y , -2J1 , -Ko).故选：D.例 5 已知函数/(x) = 3-3-, /(l-21og3r)÷(31og-l)log,r,贝口的取值范 围是.【答案】U,+)分析将已知f(>2iog3r) + f(3k)g3Ll)logj按照“左右形式相当，一边一个变 3量”的原则，移项变形为/(31og3-1)2IogJ-/(1 21呜) 易知/() = 3=3T是奇函数，故进一步变为f(3iog3f-l) + (31og3fT)(21og3fT) + (21og3fT)(#),故下步需构造函数尸(X) = f(x)+x,转化为研究尸(X) =/(x)+x的单调性，而产(X) =/(x) +X单增，故(#)可化为l0g3f 0 , p31og3f-l21og3r-l,解之【巩固训练】1 .若函数/(x)=xln(x+J + f)为偶函数,则实数二2 .设函数"x) = ln(l + W)-占y,则使得力>/成立的X的取值范围是().A. (l,+)B. (-<x>,-l)U(l,+oo)C. (-U)D. (-1,O)U(OJ)3 .己知函数/。) = £一2',则满足f(2-5x) + f>0的实数X的取值范围是.4 .已知函数/(X) = xx+3x+l ,若/() + (a2-2)v2 ,则实数。的取值范围YI I ' %*5 .己知函数/(幻=<2, 一 ，若/(2-)>(),则实数4的取值范围是2xX , % < 0(1A ( l6 .己知函数g(x) = e*-6一，/(力=空(尤)，若 =/ ln-J, Z? = / 0.24 , c = (5l2),则、b、C的大小关系为()A. b<a<c B. c<b<ac. b<c<aD. a<b<c7 .【多选题】关于函数F(X) =:(1+三，下列结论正确的是()a.图像关于y轴对称b.图像关于原点对称C.在(-oo,0)上单调递增D. /(X)恒大于08 .已知函数/(x) = 2020' +Iog2020(2 +1 +x)-202(' +1 ,则关于X 的不等式 f(2x+l) + (x+l)-2>0的解集为().A.,+8I 2020B. (-2020, ÷)D.JP.ZXXK.COM4舟用力句，让4M文若舄！学科网精品频道全力推荐7 r29.已知函数/(x) = x2-T- +1.若存在m(1,4)使得不等式/(4-7)÷3 + 1/(+3m)>2成立，则实数。的取值范围是. (-,7)8. (-, 7 C. (-oo,8)D. (-,8【答案与提示】1 .【答案】1【解析】g(x)=In 卜+Jo + f)奇函数,g(0)=in 右=0, a = l.2 .【答案】B【解析】/(x)偶函数，且在(0,+)单增，/(x)>“l)转化为冈>1,解得%>1或x<T.3 .【答案】(2,3)【解析】“可奇函数，且单减，/一5劝+ />0转化为2-5x + 6<(),解得 2<x<3,4 .【答案】(-2,1)【解析】设g() = +3x,则g(x)奇函数,且单增，而/(x) = g(x) + l,由/() + /(a? - 2)< 2 得 /一2)-1V 1 - fa)即 g-2)v -g() = g(-a),故a2-2<-a 解之得-2vvl5 .【答案】(-2,1)【解析】Qy = X?+2x在0,+8)上单调递增，y = 2x-2在Q00,o)上单调递增，且O2+2xO=2xO-O2» .'/W 在 R 上单调递增，因此由/(2-。2)>/得2-/>a.-2<"1，故答案为：(一2,1)6 .【答案】A【解析】/(x) = Xg(X) = X该函数的定义域为R ,/(-X)= -x(e- -ev) = xex-e-x),所以，函数 y =/(x)为偶函数，当x>0时，g(x) = ex-ex>O,任取%>% >°，一百<一% 则人 >涉，ve，所以，/1一行司 >/2 ef ,g(%)>g(z)>°, %g(%)>¾g(¾),即/(%)>(w),JP.ZXXK.COM= 0n3),学科网精品频道全力推荐所以，函数y = (x)在(0,+e)上单调递增，a = fHn = f0<0.2昊0.2° = 1<山3<5<5则/ °2" <03)<(512), Z即8<O<C故选：A.7 .【答案】ACD8 .【答案】C【解析】构造函数 F(X) = /(x) -I = 2020' + Iog2020 (x2÷l +，- 202Or, 由于GTT>G=k,所以J77T+>0,所以尸(%)的定义域为RF(-x) = 2020r + Iog2020 px2+l- , - 2020v= 2020t +Iog2020-2020'yx2+x(JX2 +1 - ) ( y2 + + 人)= 2020r+Iog2020 -=2020'LVx2+1 +1_= 2020-v-log2020 (x2 +1 +x)-2020' =-F(x), 所以尸(X)为奇函数，F(O) = O.当X>0时，y = 2020" = -202(*,y = log2020(7W+x)都为增函数, 所以当>0时，F(X)递增，所以F(X)在K上为增函数.由/(2x+l) + /(x+1)2>0,得f(2x÷l)-1÷f01 >O» 即 F(2x+1)+/(x+l)>O,所以2x+l+x+l>0,解得4>一.(2)所以不等式的解集为,+8 .故选：CI 3 )9 .【答案】C【解析】人上入篙+? J占上2JP.ZXXK.COM,学科网精品频道全力推荐 _ 1设g(X)= /()-l = Y3二，则g(X)为定义在R的奇函数3+1所以f(x)关于点(0,1)对称又 g'()=f'7+f.3r-l3r÷l=2x3x- 21n3x23x d 3 + 1 3r+l所以当4>0时，g'(x)>0, g(x)在(0,e)上单增故g(x)在(-,+)上也单增 因为 /(4- ma) + f(n2 + 3m) > 2 可化为 /(4 - ma) ->-f (rn2 ÷ 3m) +1所以 g(4 ma) > -g(m2 + 3m)因为 g(x)为 R 的奇函数，g(4-ma)> -g(m2 + 3m) = g(-m2 -3m)所以 4 一Za > -m2 - 3m4 又因为存在£(1,4)使得不等式4-ma > -m2 -3m成立，分参得a<m-F3m4易得m + - + 37,8),所以0v8,故选C m