MS03离散型随机变量的均值与方差.docx

离散型随机变量的均值与方差一、均值1.一般地，若离散型随机变量X的分布列为XXiXlXiXnPPIP2PiPn则称E(X)=xp+x2p2+XiPi+XnPn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.2 .若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+b.3 .(1)若X服从两点分布，则E(X)=p；(2)若XB(n,p),则E(X)=np.二、方差1.设离散型随机变量X的分布列为XXiX2eXiXnPPlP2P<.Pn则(Xi-E(X)R描述了Mj=I,2,，)相对于均值E(X)的偏离程度，而ZXX)=£(七-E(X)P,Z=I为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度.称O(X)为随机变量X的方差，其算术平方根两为随机变量X的标准差.2 .D(X+b)=D(X)3 .若X服从两点分布，则D(X)=p(l-p).4 .若XB(n,p),则D(X)=DP(lp).例1:已知X的分布列X-1O11112361231则在下列式子中(I)E(X)=一亨。(X)=方；(3)P(X=O)=§,正确的个数是()A.0B.1C.2D.3解：由E(X)=-1×+0×+1×=-1,知(1)正确.由O(X)=+乂；+(0+上)2><1+(1+$><1=飙不正确.由分布列知正确.例2.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了IOoO粒.对于没有发芽的种子,每粒需补种2粒,补种的种子记为X,则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400答案：B例3：设XB(，p),若E(X)=I2,ZXx)=4,则小P的值分别为()A.18和.B.16和；C.20和;D.15和1解:np=12,W(I-P)=42得l=18, P=y例4：有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件.若X表示取到次品的个数.则E(X)=.解:X=O时,=,X=I时,P=,=言X=2时,P=急*.EX=0x料嘿+2×=,例5：从】、2、3、4、5中任取两个不同的数作和，若和为偶数得2分，和为奇数得1分，若X表示得分,则E(X)=.答案：N5均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计.方差越大表明平均偏离程度越大，说明随机变量取值越分散.反之，方差越小，随机变量的取值越集中.例6：某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）O123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.（1）求当天商店不进货的概率；（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望.153解：（1）P（“当天商店不进货"）=P（"当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为1件"）=言+言=东（2）由题意知，X的可能取值为2,3.P（X=2）=P（"当天商品销售量为1件"）=亲=；P（X=3）=P（"当天商品销售量为0件”）+P（“当天商品销售量为2件”）+P（“当天商品销售量为3件"）=今+就+磊=（.故X的分布列为X23P14341311X的数学期望为E（X）=2×+3×-=-j-.例力已知X的分布列为X-1O1P2a若y=2x+,则丫的数学期望E（r）的值是（）1n2CC29A.yB.C.ID.yO3Jo解：由已知得=g,；.E（X）=-g+U；E（y）=2E（X）+l,，E（V）=.例8：某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D两个动作，比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩.假设每个运动员完成每个系列中的两个动作的得分是相互独立的，根据赛前训练统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列的情况如下表：甲系列：动作KD得分IOO804010概率34143414乙系列:动作KD得分905020O概率9To1To9ToIIo现该运动员最后一个出场，其之前运动员的最高得分为118分.（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列，说明理由，并求其获得第一名的概率；（2）若该运动员选择乙系列，求其成绩X的分布列及其数学期望E（X）.解：（1）若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择甲系列.理由如下：选择甲系列最高得分为100+40=140>118,可能获得第一名；而选择乙系列最高得分为90+20=IlOV118,不可能获得第一名.记“该运动员完成K动作得IOO分”为事件A,“该运动员完成。动作得40分”为事件则P（A）=本P（B）=*记“该运动员获得第一名”为事件C,依题意得P(C)=P(4B)+P(A8)=玄§+*+=*该运动员获得第一3名的概率为本(2)若该运动员选择乙系列，X的可能取值是50,70,90,110,则P(X=50)="x白=心，IUIUIuU1Q99199981P(X=70)=而X15=旃，p(=90)=而Xm=旃，P(X=IK)=而X而=而内的分布列为：X507090110P1Too9Too9Too81TooE(X)=50×+7×To÷9×Too÷IOx器=104.1 .求离散型随机变量的均值关键是先求出随机变量的分布列，然后根据均值定义求解.2 .若随机变量服从二项分布，即XB(n,P)可直接使用公式E(X)=叩求解，可不写出分布列.3 .注意运用均值的线性运算性质即Y=ax÷b则E(Y)=aE(X)+b.例9：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标，其分布列如下：X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度，在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料，越稳定越好.试从期望与方差的指标分析该用哪个厂的材料.解：E(X)=8×0.2+9×0.6÷10×0.2=9,D(X)=(8-9)2×0.2+(9-9)2×0.6+(10-9)2×0.2=0.4;E(Y)=8x0.4+9x0.2+10x0.4=9：D(Y)=(8-9)2×0.4+(9-9)2×0.2+(10-9)2×0.4=0.8.由此可知，E(X)=E(Y)=9,D(X)O(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同，但甲厂材料相对稳定，应选甲厂的材料.例10:已知随机变量&+n=8,若&B(10,0.6),则E(),D()分别是()A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6解：由已知随机变量&+=8,所以有1=8。因此，求得Em)=8-ER)=8-10x0.6=2,D()=(-l)2D()=10×0.6×0.4=2.4.例Ih袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量自为此时已摸球的次数，求：(1)随机变量的概率分布列：(2)随机变量的数学期望与方差.解：随机变量4可取的值为2,3,4,P(f=2)=;%=3)=笔篇旦=pq=4)=C需=所以随机变量。的概率分布列为：4234P353To1To33155353(2)随机变量的数学期望EG)=2+3行+4访=于随机变量的方差D()=(2-z)2+(3-z)2z+(4-J1V71U44J41VZ2=1 .D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度；D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散，反之D(X)越小，X的取值越集中.2 .若XB(n,p),则D(X)=np(l-p)可直接用不必求E(X)与分布列.例12,某市公租房的房源位于A、B、C三个片区.设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.求该市的任4位申请人中：恰有2人申请A片区房源的概率；(2)申请的房源所在片区的个数的分布列与期望.解：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重笈试验.记“申请A片区房源”为事件A,则P(A)=；.从而，由独立重复试验中事件A恰发生A次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区房源的概率为R=噌(I)哈(2片的所有可能值为1,2,3.又Pe=I)=方弓，尸(k2)=登警产®=挤或%=2)=鱼分=祟%=3)=等Q=*或尸(尸3)=早节)综上知，4的分布列为：从而有E(J=1诘+2号+3×=*.1P12723142749