非线性05混沌电路设计汇总.doc

第五章 混沌电路设计方法首先给出具体电路然后找出静态与动态电路输出特性的过程是电路分析，反过来，根据电路的静态与动态特性设计出具体电路的过程则是电路设计，或称电路综合。非线性电路设计有单元电路设计、系统电路设计、工程电路设计等。非线性单元电路设计的知识比较清楚，也比较容易实现，非线性系统电路与工程电路设计则比较困难，主要原因是目前积累的知识还很少，没有现成的成功实例。本章仅简单总结非线性电路的设计原则，略微详细地介绍单元蔡氏电路的设计方法。与混沌保密通信有关的电路设计问题放在下一章中介绍。第一节 混沌电路设计综述一、混沌电路设计的层次、类型与目标混沌电路设计有两个层次，低层次的单元混沌电路设计，高层次的混沌电路系统设计，前者是指基础混沌单元电路设计，后者是指应用混沌电路系统的设计。单元混沌电路设计类型又分为两种，一种是先有电路，后有电路状态方程，例如蔡氏电路的设计。这类电路的设计技巧性太高，属于经典性电路设计方法。另一种是先有非线性微分方程，根据非线性微分方程设计电路，如洛伦茨方程电路的设计。这类电路设计要求较低，只要认真进行工艺设计就可以了。系统混沌电路设计是工程设计79，例如混沌保密通信系统。目前的混沌保密通信系统距离被工程设计、优化以至达到较好的设计指标尚需解决若干问题，例如，如何根据一套好的设计准则进行混沌系统的综合，以将设计转化为具体的电路。这就需要根据实际的信道特性，例如信道带宽限制等等，设计输出信号符合上述特性要求的混沌电路，此设计任务比较重。二、单元混沌电路设计首先需要考虑选择单元混沌电路的类型与阶别（维数）。众所周知的混沌电路的类型有蔡氏电路、洛伦茨混沌电路、洛斯勒混沌电路等，还有自行设计的混沌电路，如运算放大器混沌等一大类混沌电路，这些电路具有设计灵活、风格差别大、来源广泛的特点。几乎任何一个混沌方程都能找到相应的混沌电路，因此使得电路设计者能够借用其它学科知识增加混沌电路的类型。在任何一种单元电路中，使用变形电路是举手之劳的事情。例如蔡氏电路，在LC2支路后面再串联一节RC电路就成为高一阶的混沌电路（第6章第8节），并且还是超混沌电路; 在蔡氏二极管电路中再并联一只大电阻，就改变了蔡氏电路的分岔位置（第6章第1节）。三、混沌电路系统设计混沌电路系统设计工程中，单元混沌电路设计工作只是其中的一部分，甚至是其中很小的一部分，而大部分是非混沌电路设计工作。在这些非混沌电路中，有智能电路、通用模拟与数字电路、通信电路、辅助电路等。混沌电路系统设计的任务是系统优化设计，主要考虑的问题是方案、整体性能、价格、产品系列、用户需求等，因此混沌电路系统设计本身只是工程总体设计的一部分，要放在整体工程大框架中去考虑。第二节 分段线性负电阻电路设计一、双运放分段线性负电阻电路设计非线性电路设计中的一个重要实例是分段线性负电阻电路设计，例如蔡氏电路中的“蔡氏二极管”的设计。本节具体讨论蔡氏二极管，因为此电路对于坐标原点对称，在具体电路设计中只画出第四象限中的曲线即可，设计完成的电路在第二象限中完全适用，如图5-1所示。下面的讨论中，只考虑绝对值而不考虑负号。如第二章第二节所述，实现图5-1的具体电路类型较多，选择余地很大，现在首先讨论如图5-2所用的电路，后面再讨论另外一种电路的设计。在图5-1中，已知曲线ODEF，其中OA是第一转折电压，单位伏特，OB是第二转折电压，OF是由负电阻转变成正电阻的转折电压，就是电源电压。AD是第一段曲线电压转折处的电流强度，单位是安培，BE是第二段曲线的电压转折处的电流强度。所求的是曲线OCF与曲线OGF。容易看出， 5-1下面具体设计。 图5-1 分段线性负电阻电路图 图5-2双运放非线性负电阻电路已知：OA，OB，OF，AD，BE，AH=CD，BI=GE求：，解：HD=AC，IE=BG解关于BG与AC的方程，得得到结果即例如，对于图5-3要求设计的伏安特性曲线，设计任务是求出具体电路参数。将图5-3中的具体数据代入上面得到的公式中，得到具体电路参数，如图5-4所示。 图5-3 要求设计电路的伏安特性曲线 图5-4 设计完成的电路图这个设计实例是第二章第二节的电路分析例题，在那里，已知图如图5-4，分析出了电路伏安特性曲线如图5-3，二者互为逆向处理过程。二、由分段线性正电阻电路转换成分段线性负电阻电路的设计方法第二章第二节曾经介绍过由分段线性正电阻电路转换成分段非线性负电阻电路的方法，例如，电路如图5-5， 图5-5 要求设计电路的原理图 图5-6 要求设计电路的伏安特性曲线图R3及其右边的电路是分段线性正电阻电路，伏安特性如图5-6（b）所示，R3左边的电路是电阻符号转换电路，转换后的分段线性负电阻电路伏安特性如图5-6（b）所示。当电路参数满足 5-2时，得到 5-3由于式5-3可以另写为 5-4由此倒推出 5-5设计图5-5电路元件参数时，电压Vd在实际设计中很困难，可以用电源电压经电阻器分压获得，如图5-7所示。图5-7 要求设计电路的原理图电路仿真结果证明，电路设计是正确的。参看光盘文件EWB5314.EWB及EWB5314A.EWB。三、其它方法及各种方法的比较第二章第二节还给出了另外几种分段线性负电阻电路的设计电路，读者可以自行设计，也可以从光盘文件中调出来仿真实验验证，并且与光盘中提供的运行答案比较。本节讲述的第一种方法是双运放分段线性负电阻电路设计方法，优点是电路特性曲线精度高，电路结构简单，缺点是计算比较复杂，不太直观，建议在工程设计中使用这种电路，现在绝大多数蔡氏电路的设计都使用这种电路。第二种方法是由分段线性正电阻电路转换成分段线性负电阻电路的设计方法，优点是很直观，计算容易，缺点是电路精度较低，使用电路元件多，调试困难，只适用简单应用场合。第三节 单元蔡氏电路设计方法一、单元蔡氏电路设计指标与步骤进行单元蔡氏电路设计，主要指标有三个：1、输出电压动态特性，决定采用是蔡氏电路方程平衡点、极限环、周期倍增、洛斯勒吸引子、双涡旋中的哪一种; 2、输出电压大致范围（可以用平均值描述）; 3、输出混沌频谱范围。此外一些设计可能要求电路能够被控制，使它能够在平衡点、极限环、周期倍增、洛斯勒吸引子、双涡旋的各种类型之间变换，一些设计还可能要求电路必须稳定地处于某一个固定状态，或者其它具体指标，例如能够在两个状态之间变换等。进行单元蔡氏电路设计有三个步骤：第一步，初步设计满足一定的-分岔曲线的非线性负电阻电路，确定m0、m1、v转折，完成以后几个步骤后再核实设计。具体地说，就是设计分段非线性负电阻，确定第一个负电阻、第二个负电阻、两个负电阻之间的转折电压。第二步，从蔡氏电路-分岔曲线出发，对蔡氏电路从霍普夫分岔变化到双涡旋混沌过程中的输出信号形态演化予以整理。从极限环信号频谱到混沌频谱的演化中混沌频谱的分布与极限环信号频谱的分布具有一定的联系，故可以根据这种联系对混沌频谱的分布情况进行简单的估计。这种估计对设计满足一定频谱分布要求的蔡氏电路是非常有用的。根据这种方法给出的设计实例表明，该方法作为一种工程设计方法是简单可行的79。第三步，确定具体电路参数。第一步分段非线性负电阻的设计已经在上一节讲述。二、蔡氏电路输出信号频谱分布特征根据-分岔图可以确定蔡氏电路所处的状态。第三章第二节给出了蔡氏电路的y信号时域波形图3-6与对上述波形进行快速傅氏变换（FFT）的频域波形图3-8，叙述了固定、m0、m1，将由大到小变化时，归一化蔡氏电路方程经历平衡点、极限环、周期倍增、洛斯勒吸引子，最后进入双涡旋。下面介绍利用蔡氏电路信号频谱分布特征进行设计的方法，由冉立新、陈抗生提出79。三、由霍普夫分岔频率估计混沌频谱分布范围 (a)霍普夫分岔周期一,=22.1 (b)周期一,16.3 (c)周期二,=15.5(d)周期四, =15.15 (e)Rossler型吸引子,=14.3 (f)双涡旋吸引子, =13.3图5-8 蔡氏电路y信号及其进行的快速傅氏变换（FFT）图5-8给出了蔡氏电路处于上述状态下的y信号的信号波形及其进行的快速傅氏变换（FFT）在对应电路状态（以为控制参数）对比图。图中的FFT，为了便于直观估计某些频谱分量所占全部频谱的百分比，纵轴未采用分贝（dB）坐标，同时用最大频谱分量的幅值进行了归一化。从图5-8(a)(f)的FFT的变化可以看出：(1) 信号频谱从极限环状态时的离散谱演化为混沌状态时较宽的连续谱，这反映了混沌频谱的本质特性。对应图5-8中由周期信号变为非周期信号。(2) 混沌频谱不是均匀分布的，其大部分分量集中在最大频谱分量两侧区域内，如图5-8(e)(f)。对应图5-8中混沌信号有一主导振荡频率。(3) 在整个倍周期分岔过程中和进入混沌之后，最大频谱分量在总体趋势上一直在向低频方向移动，如图5-8(a)(f)。专门计算上述演化过程中信号频谱最大分量随变化而移动的情况，如图5-9。从中可见，在周期分岔过程中和进入洛斯勒型吸引子混沌后，这种移动呈阶梯状。从=14.3为临界点进入双涡旋混沌后则较为混乱，但总体趋势不变。（4）混沌频谱的最大分量与极限环信号频谱的最大分量（基波分量或低次谐波分量）在各自频谱中的分布情况很类似，从直观上看，该分量是由周期一信号的基波分量演化而来的。（5）在周期分岔过程(a)-(d)中，随周期加倍，基波位置前移，同时非线性增大，表现为谐波分量增多。但各频谱最大分量与周期一时的基波分量相比除向低频移动之外始终变化不大。这在时域中表示组成周期一信号的基本波形形状在周期加倍之后仍是组成极限环信号乃至混沌信号的基本波形形状，周期加倍主要引起波形包络线的变化，这表明大部分新增的频谱分量低于振荡主导频率。（6）改变m0、m1和的取值，可以得到同样的规律。图5-9 最大频谱分量随的变化以上特征表明，尽管蔡氏电路处于混沌态时信号频谱和其处于极限环状态时的信号频谱本质上不同，但还是有一定继承性的，因而混沌频谱的一些特征必然可以由极限环信号频谱的特征进行估计。上述特性的一个应用是可以用蔡氏电路处于霍普夫分岔时的频率来估计混沌频谱的分布范围。蔡氏电路在霍普夫分岔点进入周期一，记此时频率为fH。随周期倍增，由特性（3）、（5），大部分新增频谱分量将位于直流和fH之间。因此，如能得到蔡氏电路处于霍普夫分岔时的振荡频率，就可以估计经过分岔后混沌频谱的分布范围。霍普夫分岔处，仅需要考虑式蔡氏电路方程中x1的情形。其特征方程为： 5-6根据李雅普诺夫稳定性原理，霍普夫分岔处该方程具有一个实根和一对纯虚根。假定其为,j，-j，代入5-6式，约去、，可得： 5-75-7式代入5-6式，得： 5-8从而 5-9显然 5-10对于m127，=8.8，fH=0.63271，其值与模拟结果相符(FFT计算结果为0.634766）。同时我们可以注意到，（0，fH）内确实包含了大部分的混沌频谱。最后，非归一化的蔡氏电路方程对应fH的频率（记为FH）可以简单地由5-7得出： 5-11其中为一与电路参数相关的常数。四、一个应用实例79：蔡氏电路参数选择从5-11式和-分岔曲线出发，可以设计出基本满足指定频谱分布范围的蔡氏电路。其步骤如下：（1）根据设定的频谱要求定出非归一化FH，选取适当的常数k，由5-11计算出fH。（2）选择一合适的-分岔曲线，从而确定m0、m1。由5-10计算，查出满足混沌振荡条件的。（3）蔡氏电路要求C1很小，据此可以选定C1的值，而后由得到C2，由k得到G，由得到L，由m0，m1得到Ga、Gb，E仅与波形幅度相关，可根据电源、所需的波形幅度和非线性电阻的具体实现电路定出。（4）根据Ga、Gb、E得到组成非线性电阻的元件的参数值。这样就可以得到一个既有稳定的混沌振荡，其频谱又满足一定要求的混沌电路。实际上，蔡氏电路所处的状态可以由选取不同的来实现，由-分岔曲线，我们可以容易地使蔡氏电路处于极限环、洛斯勒吸引子、双涡旋等任意状态。特别地，由于分岔曲线对不同的m0、m1是不同的，在没有其计算程序时，可以利用已有的分岔曲线确定的m0、m1，这是因为m0、m1主要表征非线性电阻的分段线性特性。设计实例：假定要求蔡氏电路大多数混沌频谱位于直流到50KHZ之间，则选取FH=50KHz，k=50000，C1=0.0lF，利用m0=-17、m0=27的分岔曲线44,45，依照上述步骤得到的各个参数为：fHl，13.91，23，L0.125mH，C20.139F，G=6955×10-3S，RlG143.8，Ga=-7.95×10-3，Gb=-4.97×10-3，取E=1V。根据上述元件参数直接从非归一化方程5-6得到的V2信号的频谱图和V1-V2的相平面图，其结果为一满足设计要求的混沌振荡。第四节 任意非线性系统通用电路设计方法一、概述若已知非线性系统的数学模型，在多数情况下，可以使用通用电路设计方法设计出相应的非线性电路，这种方法的关键是使用运算放大器、运算放大器构成的积分器、模拟乘法器。这是因为，一般微分形式的数学模型可以用基本初等函数表示，而基本初等函数可以用泰劳级数展开成幂函数，若给定误差范围，就能够用运算放大器、积分器与模拟乘法器实现电路设计。另外，数学模型中若有分数函数，即分母中有变量出现，这种情况并不需要使用除法电路，要通过简单的数学变换改写成整式函数，由乘法器实现具体电路设计。最终要求经过整理后的数学模型要成为多变量一阶微分形式或者单变量高阶微分形式。时间变量由积分电路时间常数RC决定，实际应用中只有两种情况：时间常数可以自由设计，另一种情况是时间常数有设计要求。在一般情况下被设计的非线性系统是自由的，习惯上可以取R=1k、C=1F，时间常数RC=1mS。本书所有积分器都取这个值。如果系统对时间常数有设计要求，经过简单的处理即可实现设计，并无原则困难。二、多变量一阶微分形式的非线性系统电路设计多变量一阶微分形式的非线性系统数学模型一般形式是 5-12设计出来的电路形式是图5-10 多变量一阶微分形式的非线性系统电路设计方框图例如，对于范德坡方程 5-13按照上述方法设计出来的电路方框图如图5-11所示（参见光盘文件MAT4120.MDL）。图5-11 两元一阶微分形式范德坡电路仿真设计图具体电路设计如图5-12所示，用EWB仿真，注意仿真方法，如图5-13所示，仿真结果如图5-14所示（参见光盘文件EWB4120.EWB）。图5-12 两元一阶微分形式范德坡方程仿真电路图 图5-13 两元一阶范德坡方程仿真方法 图5-14 两元一阶范德坡方程仿真结果三、单变量高阶微分形式的非线性系统电路设计单变量高阶微分形式的非线性系统数学模型一般形式是 5-14这是非自治方程，自治方程是 5-15李纳德方程就是其中的一个， 5-16作为它的特例是范德坡方程。 5-17现在设计式5-15的电路系统，因为此式可以写成 5-18则电路系统设计方框图如图5-15所示。图5-15 公式5-15及5-18电路设计方框图例如，范德坡方程5-17写成 5-19设计的电路方框图如图5-13所示，经过仿真，结果与图5-11等效，与理论分析一致（参见光盘文件MAT4110.MDL）。图5-16 一元二阶微分形式范德坡电路仿真设计图具体电路设计如图5-17所示，用EWB仿真，注意仿真方法，仿真结果如图5-18所示（参见光盘文件EWB4121.EWB）。由图清晰可见，二元一阶微分形式范德坡方程与一元二阶微分形式范德坡方程运行结果是一致的。图5-17 一元二阶范德坡方程仿真方法 图5-18 一元二阶范德坡方程仿真方法与结果四、参数设计与归一化设计的有关问题普通电子电路中基本不涉及归一化与归一化设计问题，而现代非线性电路中涉及归一化与归一化设计问题，反映了现代非线性电路与其它非线性科学的交叉特点。现代非线性电路归一化与归一化设计中的几个问题分述如下。1、时间归一化典型问题是积分电路的时间常数归一化。时间常数为RC=，R是电阻，单位是，C是电容，单位是法拉弟，是时间，单位是秒。从原理上讲，电路元件如果就是使用这样的元件，电路的动态特性就是直接归一化的。但是在电子电路中很难实现，因为1附近几个数量级的电阻比较难找，即使找到了也因为连接导线也在这几个数量级上使实际电路误差很大，另外，1F（法拉弟）的电容确实难以找到了，如果勉强找到也是体积庞大与价格昂贵，失去了实际意义。我们知道，实际电路使用的电阻与电容的单位是K与F，时间常数就是mS(毫秒)了，这正是电子线路技术中最为常用的时间单位，方便。这样一来，由于积分电路中电阻增加了1000倍，电容减小了1000000倍，积分电路的时间常数减小了1000倍，电路中其它的电阻也相应增加了1000倍，如果电路方程是线性的，则电路的动态特性没有根本的变化，仅仅是时间变化率改变而已，但是，如果电路方程中有非线性项，如两个变量的乘积，一个变量的n次方，原始方程的动态特性就要破坏了，这就需要休整了，见下面的论述。2、非归一化电路中元件参数的修正要保证原始电路各项按同等比例放大或缩小，例如模拟乘法器的两个输入电压都放大了n倍，输出放大了n2倍，所以，它的输出端必须增加一个衰减n倍的衰减器。以上讨论中是根据实际电路存在的问题进行的，是常规问题。但是，并不是说完全与物理相一致的归一化电路不能实现。解决问题的方法是使用有源电子元件，如1F的大电容，使用有源电容并不是很困难的。习题五一、设计分段线性负电阻电路，使得1、Ea=2V，Eb=8V，Ec=12V，ma=1/2k，mb=1/5k，使用双运放并联电路实现。2、Ea=2V，Eb=8V，Ec=12V，Ia=1mA，Ib=2mA，电路类型自选。二、查阅文献44，自找一个处于双涡旋的与值，设计满足要求的蔡氏电路，并且用仿真实验方法予以验证。三、自行选择一组参数，设计洛伦茨方程电路。四、对于本章第三节最后设计实例，画出具体电路图，验证电路参数设计是否满足原始设计目标。五、图3-2是典型蔡氏电路的原理图（做此习题可以修改题目具体电路参数设计，但不能修改题目基本要求）。1、分析此图电路参数的混沌频谱特点。2、对此电路归一化，找出归一化电路参数ma、mb、，分析此图电路参数的归一化频率fH。找出归一化频率fH与的非归一化频率FH关系3、固定，以为参变量，分析电路的频率分布特点。4、固定，以为参变量，分析电路的频率分布特点。