考点11-导数在研究函数中与生活中的优化问题举例.doc

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x是()f x的极小值点，则()f x在区间0(,)x单调递减 D.若0 x是()f x的极值点，则0()0fx【解析】选 C.结合函数与导数的基础知识进行逐个推导.A项,因为函数f(x)的值域为R,所以一定存在x0R,使f(x0)=0,A正确.B项,假设函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称中心为(m,n),按向量(,)amn 将函数的图象平移,则所 得 函 数y=f(x+m)-n是 奇 函 数,所 以f(x+m)+f(-x+m)-2n=0,化 简 得(3m+a)x2+m3+am2+bm+c-n=0.上 式 对x R恒 成 立,故3m+a=0,得m=-3a,n=m3+am2+bm+c=f 3a,所以函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的对称中心为,33aaf,故 y=f(x)的图象是中心对称图形,B 正确.C 项,由于()fx=3x2+2ax+b是二次函数,f(x)有极小值点 x0,必定有一个极大值点 x1,若 x1x0,则 f(x)在区间(-,x0)上不单调递减,C 错误.D 项,若 x0是极值点,则一定有0()0fx.故选 C.4.（2013安徽高考安徽高考文文科科10）已知函数32()=+a+bx+f xxxc有两个极值点1x，2x，若112()=f xxx，则关于x的方程23()+2a()+=0f xf xb的不同实根个数是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出 f(x)=x1或 f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选 A。因为2()32fxxaxb=+，函数的两个极值点为12,x x，所以12()0,()0fxfx，所 以12,x x是 方 程2320 xax b+=的 两 根，所 以 解 方 程23()2()0f xaf xb+=得12()()f xxf xx或，由上述可知函数 f(x)在(-,x1),(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减.又 f(x1)=x1x2,如图,数形结合可知 f(x)=x1有两个不同实根,f(x)=x2有一个实根,所以不同实根的个数为 3.5.（2013 安徽高考理科 安徽高考理科 10）若函数32()=+a+bx+f xxxc有极值点1x，2x，且11()=f xx，则关于x的方程23()+2a()+=0f xf xb的不同实根个数是 ()A.3 B.4 C.5 D.6【解题指南】先求函数的导函数,由极值点的定义及题意,得出 f(x)=x1或 f(x)=x2,再利用数形结合确定这两个方程实数根的个数.【解析】选 A。因为2()32fxxaxb=+，函数的两个极值点为12,x x，所以12()0,()0fxfx，所 以12,x x是 方 程2320 xa xb+=的 两 根，所 以 解 方 程23()2()0f xaf xb+=得12()()f xxf xx或，不妨设 12.xx由题意知函数 f(x)在(-,x1),(x2,+)上 单 调 递 增,在(x1,x2)上 单 调 递 减.又 f(x1)=x10,f(x)单调递增,因此 g(x)=f(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.当 a0 时,令g(x)=0,解得 x=1,2a 因为1(0,),g(x)02ax，,函数 g(x)单调递增;1(,)2ax时，g(x)0，函数 g(x)单调递减.所以 x=12a是函数 g(x)的极大值点,则 g12a0,即 ln12a+1-1=-ln(2a)0,所以 ln(2a)0,所以 02a1,即 0a12 因为 0 x112ax2,所以 f(x1)=lnx1+1-2ax1=0,f(x2)=lnx2+1-2ax2=0.则 f(x1)=x1(lnx1-ax1)=x1(2ax1-1-ax1)=x1(ax1-1)1111a11.2a2 2a 7.（2013天津高考文科天津高考文科8）设函数22,()ln)3(xxg xxxxfe.若实数 a,b满足()0,()0f ag b,则 （）A.()0()g af b B.()0()f bg a C.0()()g af b D.()()0f bg a【解题指南】先由()0,()0f ag b确定 a,b 的大小，再结合22,()ln)3(xxg xxxxfe 的单调性进行判断.【解析】选 A.因为0,(1)xfxe所以()2xf xex在其定义域内是单调递增的，由()0f a知01,a又因为0 x，1()20g xxx，故2()ln3g xxx在(0,)上也是单调递增的，由 ()0g b知12b，所以()()0g ag b，0()()f af b，因此()0()g af b。8.(2013 浙 江 高 考 理 科 浙 江 高 考 理 科 T8)已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数,设 函 数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值【解题指南】当 k=1,2 时,分别验证 f(1)=0 是否成立,根据函数的单调性判断是极大值点还是极小值点.【解析】选 C.当 k=1 时,f(x)=ex(x-1)+ex-1,此时 f(1)0,故排除 A,B;当 k=2时,f(x)=ex(x-1)2+(ex-1)(2x-2),此时 f(1)=0,在 x=1 附近左侧,f(x)0,所以 x=1 是 f(x)的极小值点.9.(2013浙江高考文科浙江高考文科T8)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f(x)的图象如图所示,则该函数的图象是()【解题指南】根据导数的性质来判断函数的性质.【解析】选 B.因为 f(x)0(x(-1,1),所以 f(x)在(-1,1)为增函数,又 x(-1,0)时,f(x)为增函数,x(0,1)时,f(x)为减函数,所以选 B.10.（2013大纲版全国卷高考文科大纲版全国卷高考文科10）已知曲线421-128=yxaxaa在点，处切线的斜率为，（）A.9 B.6 C.-9 D.-6【解题指南】先对函数求导，将 x=-1 代入到导函数中即可求出a的值.【解析】选 D.由题意可知，点)2,1(a在曲线上，因为axxy243，则8)1(2)1(43a，解得6a 二、填空题二、填空题 11.（2013广东高考文科广东高考文科12）若曲线 y=ax2-lnx 在点(1,a)处的切线平行于 x轴,则 a=.【解题指南】本题考查导数的几何意义、直线的斜率、直线平行等知识,可先求导.【解析】对 y=ax2-lnx 求导得12yaxx,而 x 轴的斜率为 0,所以在点(1,a)处切线的斜率为1210 xya,解得12a.【答案】12.12.（2013新课标新课标高考理科高考理科16）若函数)(1()(22baxxxxf的图像关于直线2x对称，则)(xf的最大值为_.【解题指南】首先利用数)(xf的图像关于直线2x对称求出ba,的值，然后利用导数判断函数的单调性，这里要采用试根的的方法对导函数进行因式分解.【解析】因为函数)(xf的图像关于直线2x对称，所以)4()0(ff，得ab15604，又axbaxxxf)1(234)(23，而0)2(f，0)2()1(2)2(3)2(423aba.得28411 ba即2841115604baab，解得8a，15b.故)158)(1()(22xxxxf，则828244)(23xxxxf)276(423xxx)14)(2(42xxx 令0)(xf，即0)14)(2(2xxx，则2x或52x或52.当x变化时，)(xf，)(xf的变化情况如下表：)52(f15)52(8)52()52(1 2216)548)(854()52(f15)52(8)52()52(1 2216)548)(854(故)(xf的最大值为16.【答案】16 三、解答题三、解答题 13.（2013大纲版全国卷高考文科大纲版全国卷高考文科21）已知函数 32=331.f xxaxx（I）求 2;af x 时，讨论的单调性；（II）若 2,0,.xf xa时，求 的取值范围【解析】（I）当a2时，1323)(23xxxxf，3263)(2xxxf.令0)(xf，得121x，122x.当)12,(x时，0)(xf，)(xf在)12,(是增函数；当)12,12(x时，0)(xf，)(xf在)12,12(是减函数；当),12(x时，0)(xf，)(xf在),12(是增函数.（II）由0)2(f得45a.当45a，),2(x时，)125(3)12(3)(22xxaxxxf0)2)(21(3xx，所以)(xf在),2(是增函数，于是当),2(x时，0)2()(fxf.综上，a的取值范围是),45.14.（2013江苏高考数学科江苏高考数学科20）设函数axxxfln)(，axexgx)(，其中a为实数。（1）若)(xf在),1(上是单调减函数，且)(xg在),1(上有最小值，求a的取值范围；（2）若)(xg在),1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论。【解题指南】(1)先对 f(x)=lnx-ax 求导,利用条件 f(x)在(1,+)上是单调减函数求出a的范围,再利用g(x)在(1,+)上有最小值求出a的范围,两者取交集.(2)注意函数方程不等式间的相互转化.【解析】(1)令11()0axfxaxx,考虑到 f(x)的定义域为(0,+),故 a0,进而解得 xa-1,即 f(x)在(a-1,+)上是单调减函数.同理,f(x)在(0,a-1)上是单调增函数.由于f(x)在(1,+)上是单调减函数,故(1,+)(a-1,+),从而 a-11,即 a1.令g(x)=ex-a=0,得 x=lna.当 xlna 时,()g x lna 时,()g x0.又 g(x)在(1,+)上有最小值,所以 lna1,即 ae.综上,有 a(e,+).(2)当 a0 时,g(x)必为单调增函数;当 a0 时,令()g x=ex-a0,解得 alna,因为 g(x)在(-1,+)上是单调增函数,类似(1)有 lna-1,即 00,得 f(x)存在唯一的零点.(ii)当 a0 时,由于 f(ea)=a-aea=a(1-ea)0,且函数 f(x)在ea,1上的图象不间断,所以 f(x)在(ea,1)上存在零点.另外,当 x0 时,01)(axxf,故 f(x)在(0,+)上是单调增函数,所以 f(x)只有一个零点.(iii)当 0ae-1时,令 f(x)=-a=0,解得 x=a-1.当 0 x0,当 xa-1时,()fx0,即 0ae-1时,f(x)有两个零点.实际上,对于 0ae-1,由于 f(e-1)=-1-ae-10,且函数 f(x)在e-1,a-1上的图象连续,所以 f(x)在(e-1,a-1)上存在零点.另外,当 x(0,a-1)时,f(x)=1ax0,故 f(x)在(0,a-1)上是单调增函数,所以 f(x)在(0,a-1)上只有一个零点.下面考虑 f(x)在(a-1,+)上的情况,先证 f(1ae)=a(a-2-1ae)e 时,exx2.设 h(x)=ex-x2,则()h x=ex-2x,再设()()l xh x=ex-2x,则()l x=ex-2.当 x1 时,()l x=ex-2e-20,所以()()l xh x在(1,+)上是单调增函数.故当 x2时,()h x=ex-2x(2)h=e2-40,从而 h(x)在(2,+)上是单调增函数,进而当 xe时,h(x)=ex-x2h(e)=ee-e20.即当 xe 时,exx2.当 0ae 时，f(1ae)=a(a-2-1ae)0,且函数 f(x)在a-1,1ae上的图象连续,所以 f(x)在(a-1,1ae)上存在零点.又当 xa-1时,f(x)=1ax0,故 f(x)在(a-1,+)上是单调减函数,所以 f(x)在(a-1,+)上只有一个零点.综合(i),(ii),(iii)可知,当 a0 或 a=e-1时,f(x)的零点个数为 1,当 0ae-1时,f(x)的零点个数为 2.15.（2013湖南高考理科湖南高考理科22）已知0a，函数()2xaf xxa.(1)记 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a),求 g(a)的表达式.(2)是否存在 a,使函数 y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.【解题指南】(1)首先是去掉绝对值符号,然后利用导数求出函数的单调区间,再求出 f(x)在区间0,4上的最大值为 g(a).(2)首先要根据函数的单调性讨论出 a 取什么范围时可能存在两点,在该两点处的切线相互垂直,然后利用两互相垂直的直线斜率之积等于-1 去讨论求解.【解析】（1）当ax 0时，axxaxf2)(；当ax 时，axaxxf2)(.因此，当),0(ax时，0)2(3)(2axaxf，)(xf在),0(a上单调递减；当),(ax时，0)2(3)(2axaxf，)(xf在),(a上单调递增.4a，则)(xf在)4,0(上单调递减，21)0()(fag.若40 a，则)(xf在),0(a上 单 调 递 减，在)4,(a上 单 调 递 增，所 以 g(a)=maxf(0),f(4).而14a1f(0)f(4)242a2a a=，a a，故当10 a时aafag244)4()(；当41 a时，21)0()(fag.综上所述，4 a,0 a 14 2a1,1.2g(a)a a （2）由（1）知，当4a时，)(xf在)4,0(上单调递减，故不满足要求.当40 a时，)(xf在),0(a上 单 调 递 减，在)4,(a上 单 调 递 增.若 存 在)(4,0(,2121xxxx，使曲线)(xfy 在)(,(11xfx，)(,(22xfx两点处的切线互相垂直，则)4,(),0(21axax，且1)()(21xfxf，即1)2(3)2(32221axaaxa，亦即axaax23221，由，)4,(),0(21axax得 x1+2a(2a,3a),23a3ax2a42a（,1,1）.故(*)成立等价于集合 A=x|2ax3a与集合 B=3ax142ax|x|的交集非空.因为3a3a42a，所以当且仅当 02a1,即 0a0。（）求 l 的长度(注:区间(,)的长度定义为-)；（）给定常数 k（0，1），当 1-ka1+k 时，求 l 长度的最小值。【解题指南】（1）求出方程()=0f x的两个根；（2）利用导数求函数的最小值。【解析】（1）因为方程ax-(1+a2)x2=0(a0)有两个实根1220,1axxa=+故 f(x)0 的解集为x|x1xx2，因此区间2(0,1ala=+)，区间长度为21aa+。（2）设2(),1ad aa=+则22 21-()1ad aa（），令()01d aa，得，由于 0k0,当1-1,()0,()时kad ad a单调递增；当11,()0,()时akd ad a单调递减。因 此 当1-1+,()时kakd a的 最 小 值 必 定 在1-=1+akak=或处 取 得。而2322321(1)21(1)11(1)21(1)kdkkkkkdkkkk-+-=+-+，故(1)(1)dkdk-0),所以 f(1)=1,f(1)=-1,所以 y=f(x)在点 A(1,f(1)处的切线方程为 y-1=-(x-1),即 x+y-2=0.(2)由 f(x)=1axaxx,x0 可知:当 a0 时,f(x)0,函数 f(x)为(0,+)上的增函数,函数 f(x)无极值;当 a0 时,由 f(x)=0,解得 x=a;因为 x(0,a)时,f(x)0,所以 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-alna,无极大值.综上:当 a0 时,函数 f(x)无极值,当 a0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值.21.(2013福建高考理科福建高考理科T20)已知函数)0,0)(sin()(wwxxf的周期为,图象的一个对称中心为0,4,将函数 f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向右平移2个单位长度后得到函数 g(x)的图象.(1)求函数 f(x)与 g(x)的解析式.(2)是否存在4,60 x,使得 f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定x0的个数,若不存在,说明理由.(3)求实数 a 与正整数 n,使得 F(x)=f(x)+ag(x)在n,0内恰有 2 013 个零点.【解题指南】第(3)问要求考生化整体到局部,先研究函数在一个周期内图象的性质,再从特殊到一般地解决问题.【解析】(1)由函数 f(x)=sin(x+)的周期为,0,得=2,又曲线 y=f(x)的一个对称中心为(,0)4,(0,),故()sin(2)044f,得=2,所以 f(x)=cos 2x.将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=cos x的图象,再将 y=cosx 的图象向右平移2个单位长度后得到函数 g(x)=sin x.(2)当 x(,)6 4 时,12sinx22,0cos2xcos2xsinxcos2x.问题转化为方程 2cos 2x=sin x+sin xcos 2x 在(,)6 4 内是否有解,设 G(x)=sin x+sinxcos 2x-2cos 2x,x(,)6 4,则 G(x)=cos x+cos xcos 2x+2sin 2x(2-sin x).因为 x(,)6 4,所以 G(x)0,G(x)在(,)6 4 内单调递增.又1()064G，2()042G.且函数 G(x)的图象连续不断,故可知函数 G(x)在(,)6 4 内存在唯一零点 x0,即存在唯一的0(,)6 4x 满足题意.(3)依题意,F(x)=asin x+cos 2x,令 F(x)=asin x+cos 2x=0,当 sin x=0,即 x=k(kZ)时,cos 2x=1,从而 x=k(kZ)不是方程 F(x)=0 的解,所以方程 F(x)=0 等价于关于 x 的方程cos2sinxax,xk(kZ),现研究 x(0,)(,2)时方程解的情况,令cos2()sinxh xx,x(0,)(,2),则问题转化为研究直线 y=a 与曲线 y=h(x)在 x(0,)(,2)的交点情况,22cos(2sin1)()sinxxh xx,令 h(x)=0,得2x或32x.当 x 变化时,h(x)和 h(x)变化情况如下表 x(0,)2 2(,)2 3(,)2 32 3(,2)2()h x 0 0 ()h x Z 1 1 Z 当 x0 且 x 趋近于 0 时,h(x)趋向于-,当 x且 x 趋近于时,h(x)趋向于+,当 x1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,)内无交点,在(,2)内有 2 个交点;当 a-1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,)内有 2 个交点,在(,2)内无交点;当-1a1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,)内有 2 个交点,在(,2)内有 2 个交点,由函数h(x)的周期性,可知当a1时,直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内总有偶数个交点,从而不存在正整数 n,使得直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,n)内恰有 2013个交点;当 a=1 时,直线 y=a 与曲线 y=h(x)在(0,)(,2)内有 3 个交点,由周期性,2 013=3671,所以 n=6712=1 342.综上,当 a=1,n=1 342 时,函数 F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n)内恰有 2 013 个零点.22.（2013福建高考文科福建高考文科22）已知函数()1xaf xxe（aR,e为自然对数的底数）.（I）若曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线平行于x轴,求a的值;（II）求函数()f x的极值;（III）当1a 时,若直线:1l ykx与曲线()yf x没有公共点,求k的最大值.【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为 0，欲求极值，先求单调性，要注意对参数 a 进行讨论。【解析】方法一：（）由 1xaf xxe，得 1xafxe 又因为曲线 yf x在点 1,1f处的切线平行于x轴，得 10f，即10ae，解得ae（）1xafxe，当0a 时，0fx，f x为 R 上的增函数，所以函数 f x无极值 当0a 时，令 0fx，得xea，lnxa,lnxa，0fx；ln,xa，0fx 所以 f x在,lna上单调递减，在ln,a 上单调递增，故 f x在lnxa处取得极小值，且极小值为lnlnfaa，无极大值 综上，当0a 时，函数 f x无极小值；当0a，f x在lnxa处取得极小值lna，无极大值（）当1a 时，11xf xxe 令 111xg xf xkxk xe，则直线l：1ykx与曲线 yf x没有公共点，等价于方程 0g x 在R上没有实数解 假设1k，此时 010g，1111101kgke ，又函数 g x的图象连续不断，由零点存在定理，可知 0g x 在R上至少有一解，与“方程 0g x 在R上没有实数解”矛盾，故1k 又1k 时，10 xg xe，知方程 0g x 在R上没有实数解 所以k的最大值为1 方法二：（）（）同解法一（）当1a 时，11xf xxe 直线l：1ykx与曲线 yf x没有公共点，等价于关于x的方程111xkxxe 在R上没有实数解，即关于x的方程：11xkxe （*）在R上没有实数解 当1k 时，方程（*）可化为10 xe，在R上没有实数解 当1k 时，方程（*）化为11xxek 令 xg xxe，则有 1xgxx e 令 0gx，得1x ，当x变化时，gx的变化情况如下表：x,1 1 1,gx 0 g x 1e 当1x 时，min1g xe，同时当x趋于时，g x趋于，从而 g x的取值范围为1,e 所以当11,1ke 时，方程（*）无实数解，解得k的取值范围是1,1e 综上，得k的最大值为1 23.（2013广东高考理科广东高考理科21）设函数2()(1)exf xxkx（kR）.（2）当1k 时，求函数()f x的单调区间；（3）当1(,12k 时，求函数()f x在0,k上的最大值M.【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】（1）当1k 时，2()(1)exf xxx，求导可得()e2(e2)xxfxxxx，令()0fx可得0,ln2xx，则当0 x 时，()0fx；当0l n 2x时，()0fx；当l n 2x 时，()0fx；所以函数()f x的单调递增区间是(,0),(ln2,)，单调递减区间是(0,ln2)；（2）对2()(1)exf xxk x求导可得()e(1)e2(e2)xxxfxxkxxk，因为1(,12k，所以2(1,2k，令()0fx可得0,ln(2)xxk，显然0(ln2)ln2k而ln21.则当0ln(2)xk时，()0fx；当ln(2)xk时，()0fx；所以函数()f x的单调递增区间是(ln2),)k，单调递减区间是(0,(ln2)k.令 ln 2g kkk,则 1110kgkkk,又当 k=1 时，0gk=（），所以 g k在1,12上递增,所以 ln2 1ln2ln0g ke,从而ln 2kk,所以ln 20,kk 所以当0,ln 2xk时,0fx；当ln 2,xk时,0fx；所以 3max0,max1,1kMff kkek 令 311kh kkek,则 3kh kk ek,令 3kkek,则 330kkee 所以 k在1,12上递减,而 1313022ee 所以存在01,12k使得00k,且当01,2kk时,0k,当0,1kx时,0k,所以 h k在01,2k上单调递增,在0,1k上单调递减.因为1170228he,10h,所以 0h k 在1,12上恒成立,当且仅当1k 时取得“”.综上,函数 f x在0,k上的最大值31kMkek.24.（2013广东高考文科广东高考文科21）设函数xkxxxf23)(kR(1)当1k时,求函数)(xf的单调区间；(2)当0k时,求函数)(xf在kk,上的最小值m和最大值M【解题指南】本题含有参数，考查导数在单调性及最值等方面的应用.解题过程中，应用好分类讨论思想.【解析】对函数32()f xxkxx求导得 2321fxxkx.(1)当1k 时 2321fxxx，由4 1280 可知 0fx,f x在R上单调递增.（2）方法一：当0k 时，2321fxxkx，其图像开口向上，对称轴3kx ，且过点0 1，（i）当24124330kkk，即30k时，0fx，f x在,kk上单调递增，从而当xk时，f x 取得最小值 mf kk，当xk 时，f x取得最大值3332Mfkkkkkk .（ii）当24124330kkk，即3k 时，令 23210fxxkx 解得221233,33kkkkxx，注意到210kxx，所以 12min,max,mf kf xMfkf x.因为 32211111110f xf kxkxxkxkx，所以 f x的最小值 mf kk；因为 232322222222=10f xfkxkxxkk kkxkxkk ，所以 f x的最大值32Mfkkk；综上所述，当0k 时，f x的最小值 mf kk,最大值32Mfkkk.方法二：当0k 时，对,xkk，都有32332()()(1)()0fxfkxkxxkkkxxk，故 f xf k；323322()()()(221)f xfkxkxxkkkxkxkxk 22()()10 xkxkk，故 f xfk.又()0f kk，3()20fkkk，所以3max()()2f xfkkk，min()()f xf kk.25.（2013湖北高考理科湖北高考理科T22）设n是正整数，r为正有理数。（）求函数 xf=)1(1)1()1(1xxrxr的最小值；（）证明：1)1(11rnnrcnr1)1(11rnnrr；（）设xR,记x为不小于的最小整数，例如2=2，=4，-23=-1.令S=3338382813125，求S的值。（参考数据：8034344.7，8134350.5，12434618.3，12634631.7）【解题指南】导数的应用；（）利用（）的结论证明。（）利用（）的结论 r 和 n 取特殊值后累加可得。【解析】（）因为()(1)(1)(1)(1)(1)1rrfxrxrrx，令()0fx，解得0 x.当10 x 时，()0fx，所以()f x在(1,0)内是减函数；当0 x 时，()0fx，所以()f x在(0,)内是增函数.故函数()f x在0 x 处取得最小值(0)0f.（）由（），当(1,)x 时，有()(0)0f xf，即 1(1)1(1)rxrx，且等号当且仅当0 x 时成立，故当1x 且0 x 时，有 1(1)1(1)rxrx.在中，令1xn（这时1x 且0 x），得111(1)1rrnn.上式两边同乘1rn，得11(1)(1)rrrnnn r，即 11(1).1rrrnnnr 当1n 时，在中令1xn（这时1x 且0 x），类似可得 11(1).1rrrnnnr 且当1n 时，也成立.综合，得 1111(1)(1).11rrrrrnnnnnrr （）在中，令13r，n分别取值 81，82，83，125，得 44443333333818081(8281)44（），44443333333828182(8382)44（）0,讨论曲线 yf(x)与曲线2(0)ymx m 公共点的个数.(3)设 a 0，m 0 时，曲线 yf(x)与曲线2(0)ymx m 的公共点个数即方程2)(mxxf 根的个数。由xxx2224eexe(x2)f(x)mxm,h(x)h(x)xxx令令，则 h(x)在);(h(2),h(x)2,0(上单调递减，这时 h(x).(h(2),h(x),),2(这时上单调递增在4h(2)2e.h(2)yh(x)是是的的极极小小值值且且是是最最小小值值。所以对曲线 yf(x)与曲线2(0)ymx m 公共点的个数，讨论如下：当 m)4,0(2e时,有 0 个公共点；当 m=42e时,有 1 个公共点；当 m），（42e时有 2 个公共点.(3)(2)()2()()2()()(2)()(abbfabafababafbfbfaf aabbaeabeabababeabeab)(2)2()2()(2)2()2(令xxx(x)x2(x2)e,x0,(x)1(1x2)e1(x1)et t则则t t 。xx(x)(x)(1x1)ex e0,(x)0t t的的导导函函数数t t所所以以t t在在（，）上上单单调调递递增增，且(0)0.(x)0(x)(0,),(0)0,t t因因此此t t，t t在在上上单单调调递递增增 而而t t(0,)(x)0所所以以在在上上t t。xx0(x)x2(x2)e0ab,因因为为当当时时，t t且且 b aa(ba2)(ba2)ee02(ba)所所以以 所以abafbfbfaf)()(2)()(,b0.【解题指南】(1)求导，然后将0 x 代入导函数，求得m，讨论分析导函数的符号，得单调性.(2)求 f x的最小值0f x，证明最小值00f x即可.【解析】(1)因为 1xfxexm，0 x 是 f x的极值点，所以 1010fm，解 得1,m所 以 函 数 l n1xfxex，其 定 义 域 为1,，因 为 111,11xxexfxexx 设 11,xg xex则 10 xxgxexe，所以 g x在1,上是增函数，又因为 00g，所以当0 x 时，0g x，即 0fx，当10 x 时，0g x，0fx，所以 f x在1,0上是减函数，在0,上是增函数.(2)当2m，,xm 时，lnln2xmx，故只需证明当2m 时，0f x.当2m 时，函数 12xfxex在2,单调递增.由 10,00ff，故 0fx在2,上有唯一实根0 x，且01,0 x .当02,xx 时，0fx；当0,xx时，0fx，从而当0 xx时，f x取得最小值.由00fx得 00001,ln2,2xexxx 故 20000011022xf xf xxxx.综上，当2m 时，0f x.31.（2013新课标全国高考文科新课标全国高考文科21）已知函数2()xf xx e。（1）求()f x的极小值和极大值；（2）当曲线()yf x的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围。【解题指南】（1）求导函数 fx，令 0fx求极值点，列表求极值.(2)设切线，表示出切线l的方程，令0y 得l在x轴上的截距，利用函数知识求得截距的取值范围.【解析】(1)22xfxexx,令 0fx得0 x 或2.列表如下 x,0 0（0,2）2 2,fx 0 0 f x 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 函数 f x的极小值为 0f0，极大值为 2f24e.(2)设切点为0200,xx x e，则切线l的斜率为02002xkexx 此时切线l的方程为002200002xxyx eexxxx 令0y，得0002xxxx.002232xxx，由已知和（1）得20(,0)(2,),()xh ttt 令（t0），则当 t(0,+)时,h(t)的取值范围为2 2,)；当t(-,-2)时,h(t)的取值范围是(-,-3),所以当x0(-,0)(2,+)时,x的取值范围是(-,0)2 23,),综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-,0)2 23,).32.（2013辽宁高考文科辽宁高考文科21）()证明：当0,1x时，2sin2xxx；()若不等式322(2)cos42xaxxxx对0,1x恒成立，求实数a的取值范围。【解题指南】构造函数，利用函数的单调性证明不等式；利用已知的不等式恰当地放缩，将复杂的不等式转化为简单的不等式【解析】()记2()sin2F xxx，则2()cos2F xx 当0,4x时，22()coscos0242F xx，则2()sin2F xxx在0,4x上是增函数，所以()(0)0F xF；当,14x时，222()cos0222F xx，则2()sin2F xxx在,14x上是减函数，所以22()(1)sin1sin0242F xF 故当0,1x时，()0F x，即2sin2xx；记()sinH xxx，则当0,1x时，()cos10H xx 所以()sinH xxx在0,1x上是减函数，则()(0)0H xH 即()sin0H xxx，sin xx 综上，当0,1x时，2sin2xxx；()由()可知，22sin2224xxx，当0,1x时，2312(2)cos42axxxxx 23212(2)(1 2sin)422xaxxxx 2321(2)4(2)sin22xaxxxx 23212(2)4(2)()24xaxxxx(2)ax 所以当2a 时，20a，(2)0ax，不等式2312(2)cos42axxxxx恒成立 下面证明，当2a 时，不等式2312(2)cos42axxxxx不恒成立 由()可知，sin22xx 则当0,1x时，2312(2)cos42axxxxx 2312(2)cos42axxx