第六章定积分.doc

第六章 定积分的应用定积分是求某种总量的数学模型，它在几何学、物理学、经济学、社会学等方面都有着广泛的应用，显示了它的巨大魅力. 也正是这些广泛的应用，推动着积分学的不断发展和完善. 因此，在学习的过程中，我们不仅要掌握计算某些实际问题的公式，更重要的还在于深刻领会用定积分解决实际问题的基本思想和方法微元法，不断积累和提高数学的应用能力.第一节 定积分的元素法（微元法）1、复习：求曲边梯形的面积： 分割：将区间任意划分成几个小区间每个区间长度为，经每个分点作平行于y轴的直线段，把曲边梯形分成几个窄曲边梯形。近似代替：在每个小区间上任意取一点，以为底，为高，得到窄矩形面积，用近似代替窄曲边梯形的面积。求和：取极限： A=、若实际问题中的所求量U符合条件：U是与一个变量x的变化区间a,b有关的量U对于区间a,b具有可加性，即即若a,b分成几个部分区间，则U为各部分区间相应量的和部分量的近似值可表示为，则可以考虑用定积分表达此量U。、元素法可求平面图形面积S，旋转体的体积V，平面曲线的弧长等等、元素法的步骤：根据具体问题，选取一个积分变量，例如为积分变量，并确定它的变化区间，任取的一个区间微元，求出相应于这个区间微元上部分量的近似值，即求出所求总量的微元 ；以为被积表达式，在区间上作定积分，为所求。第二节 定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1、直角坐标系下平面图形的面积讨论定积分的几何意义 直角坐标情形讨论定积分步骤：1、画出平面图形，求出各交点，从而确定的范围，a,b(对称图形可先计算一部分)2、取x为积分变量，相应于a,b上任一小区间x,x+dx上的窄条面积近似于矩形面积：取为,得面积元素：3、求，即为所求面积。若图形为两曲线，及，所围成，则注：为计算方便,有时可取y为积分变量,在c,d上，则 利用定积分区间的可加性，如例2 例1：计算由所围成的图形的面积解：如图：求交点因 即（0，0），A（1，1）选为积分变量、积分区间为0，1，面积元素，故A=。注：计算两条曲线所围图形面积时， 例2：计算y2=2x,与直线y=x-4所围成图形的面积解：如图：交点得交点为作法1：取y为积分变量，则面积元素：故作法2：取为积分变量，则面积元素：，则：A=+例3:求椭圆所围成的图形的面积。解：因，可设，0，故，时，=0，所以，注：若曲边梯形的曲边由参数方程给出，则由x积分区间a,b得t的积分 （ ，），故2、极坐标系下平面图形的面积 设曲线的方程由极坐标形式给出 ，则由曲线，射线和所围成的曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积 计算曲边扇形面积的步骤：1、作图，选取为积分变量，其变化区间为2、把的任一小区间记为，则用此区间上的圆扇形面积近似代替窄曲边扇形面积，即。3、以为被积表达式，在上作定积分，便得曲边扇形面积例4：计算阿基米德螺线（即匀速螺线） （a0）上相应于从0变到的一般弧与极轴所围成的图形的面积解：取为积分变量，变化区间0，2，则，故A=例5：计算心形线所围成图形的面积解：选为积分变量，则，选0，为积分区间，则,故 ，所以注：对称图形计算一部分面积即可二、体积1.旋转体的体积1）旋转体：由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，此直线为旋转轴例：圆柱、圆锥、圆台、球体即：旋转体可以看作是由连续曲线，直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体。由曲线，直线与轴所围成的图形绕y轴一周而成的旋转体。2）计算旋转体体积：由,及轴围成的图形绕轴旋转而成的立体。选取为积分变量，积分区间a,b 取任一小区间为相应于此区间上的窄曲边梯形绕轴一周而成的薄片体积用扁圆柱体体积近似代替，即所以注：若由两条曲线，则由 ，与轴所围图形绕轴一周而成的旋转体。选轴为积分变量，积分区间c,d，在区间y,y+dy上旋转体体积，则例6、连接坐标原点O及点的直线，直线及轴围成一个直角三角形，将它绕轴旋转构成一个底半径为，高为h 的圆锥体，求体积解：直线OP为：，故设x为积分变量，则，选取任一小区间x,x+dx，则所以。例7、计算由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转体（旋转椭球体）的体积解：选为积分变量， 当时旋转椭球体就成为半径为的球体，体积为例8、计算由摆线x=a() y=a(1-cost)的一拱，直线y=0所围成的图形分别绕x轴，y轴旋转而成的旋转体的体积。解:t=0时,x=0,y=0 时， 时，；时，。绕轴 =绕轴 ，故由，=故原式=-=2、平行截面面积为已知的立体体积若一立体不是旋转体，但该立体上垂直于一定轴的各截面面积为已知，如图作垂直于轴的垂直平面，截立体截面面积为连续函数，则立体体积=即在x,x+dx上用扁柱体体积代替薄片体积，（柱体体积=底面积×高）例9、一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，如图计算这平面截圆柱体所得立体的体积解：选取坐标系，令圆中心为原点，截平面与圆柱体底面的交线为轴。底面上过点且垂直于轴的直线为轴因垂直x轴的平面截此立体的截面为直角三角形，此三角形面积S=，故=故。例10、求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积解：选取坐标示：取底圆所在平面为平面，圆心O为原点，使轴与正劈锥的顶平行。底圆方程为：，过轴上的点作垂直于轴的平面，截正劈锥体为等腰三角形，此截面面积为故体积 ，=三、平面曲线的弧长1、平面曲线弧长的概念设是曲线弧的两个端点，在弧上取分点，并依次连接相邻的分点得一折线，当分点的数目无限增加且每一小段都缩为一点时称此极限为曲线弧的弧长，或称此曲线弧是可求长的定理：光滑曲线弧是可求长的2、直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程 （）给出，其中在a,b上具有一阶连续导数，则弧长元素（即弧微分）可得弧长为s=例11、计算曲线y=相应于x从a到b的一段弧的长度=(1+x)。故。3、参数方程情形设曲线弧曲参数方程 （）给出，其中，在，上具有连续导数，则弧长元素ds= 例12、计算摆线的一拱（02）的长度 =2asin故s=4、极坐标情形设曲线弧由极坐标方程 给出，其中 在上具有连续导数则由 得弧长元素：=故例13：求阿基米德螺线0）相应于从0到2一段的弧长。解：弧长元素故=例14、求心形线的全长。 ，故 。课堂练习：1、求曲线,所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积.解：体积微元2、求由曲线及所围成的图形绕直线旋转构成旋转体的体积.3、求由曲线 所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积. 4、求由曲线与直线及所围成的图形绕旋转一周所生成的旋转体的体积.第三节 定积分在物理学上的应用一、变力沿直线所作的功若力F为常力，当力F方向与物体运动的方向一致时，则力F对物体所作的功为，若力为变力，则为变力沿直线所作的功问题。例1、把一个带变量的点电荷放在轴上坐标原点处，距为处放一个单位正电荷，则其受力为（为常数），求单位正电荷在电场中从处沿轴移到（）处时电场力对它所作的功。解：取为积分变量，它的变化区间为，任取， +d，单位正电荷从移动到时，电场力对它所做的功为 ，故，若从处移到无穷远处则。例2、圆柱形容器，底面积为S，等温条件下由于气体膨胀，将活塞从点处推到处，求气体压力所作的功。解：因（为常数）故，而压力，取为积分变量，它的变化区间为，任取 对应的功微元，故。例3、一圆柱形蓄水池高为5米, 底半径为3米, 池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出, 需作多少功?解：如图，作轴取为积分变量，它的变化区间为，任取相应的一薄层水的高度为，则这薄层水的重力为把这层水吸出桶外所做的功为所求功二、水压力设液体密度为 r，深为 h 处的压强当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 例4、一个横放的圆柱形水桶桶内有半桶水，设底半径为R，水比重，求桶的一个端面上所受的压力解：在一个端面上建立直角坐标系，如图所示，平行水面的直线为轴，过圆心垂直x轴的直线为轴，半圆方程为，取为积分变量，它的变化区间为，任取 相应于的窄条上的各点的压强为，对应的面积为，则压力元素压力为P=三、引力质量分别为相距为的质点间的引力大小为，方向沿着两质点的连线，若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 例5、假设有一长度为、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒单位处有一质量为的质点M，试计算该棒对质点的引力.解: 建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为：故铅直分力元素为棒对质点的引力的铅直分力为 棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为