第三章-导数习题课最新衡水中学自用精品教学与导学设计.docx

习题课导数的应用明目标、知重点会利用导数讨论函数的单调性、极值、最值(多项式次数不超过三次)1若函数yx22bx6在(2,8)内是增函数，则()Ab2 Bb<2Cb2 Db>2答案A2已知yasin xsin 3x在x处有极值，则()Aa2 Ba2Ca Da0答案B3设函数g(x)x(x21)，则g(x)在区间0,1上的最小值为()A1 B0 C D.答案C解析g(x)x3x，由g(x)3x210，解得x1，x2(舍去)当x变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：x01g(x)0g(x)0极小值0所以当x时，g(x)有最小值g.4.设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图像如图所示，则导函数yf(x)的图像可能为()答案D解析应用函数的单调性与其导函数的正负关系来判断导函数的图像5若f(x)在(a，b)内存在导数，则“f(x)<0”是“f(x)在(a，b)内单调递减”的_条件答案充分不必要解析对于导数存在的函数f(x)，若f(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内单调递减，反过来，函数f(x)在(a，b)内单调递减，不一定恒有f(x)<0，如f(x)x3在R上是单调递减的，但f(x)0.题型一函数与其导函数之间的关系例1对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是_答案2n12解析由ky|x22n1(n2)，得切线方程为y2n2n1(n2)(x2)，令x0，求出切线与y轴交点的纵坐标为y0(n1)2n，所以2n，则数列的前n项和Sn2n12.反思与感悟找切点，求斜率是求切线方程的关键跟踪训练1如图，曲线yf(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q，过P作PT垂直于x轴于T，若PTQ的面积为，则y与y的关系满足()AyyByyCyy2Dy2y答案D解析SPTQ×y×|QT|，|QT|，Q(x，0)，根据导数的几何意义，kPQy，y2y.故选D.题型二利用导数研究函数的单调性、极值、最值例2已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图像关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值解(1)函数f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，得ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24，令f(x)<0，得4<x<4，令f(x)>0，得x<4或x>4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)，f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对f(4)128，f(1)47，f(5)115，所以函数的最大值为47，最小值为128.反思与感悟(1)讨论函数的单调性首先要求出函数的定义域，在定义域内解f(x)>0得增区间，解f(x)<0得减区间(2)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点(3)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练2已知函数yax3bx2，当x1时，有极大值3.(1)求a，b的值；(2)求函数的极小值；(3)求函数在1,1的最值解(1)y3ax22bx，当x1时，y|x13a2b0，y|x1ab3，即，解得a6，b9.(2)y6x39x2，y18x218x，令y0，得x0，或x1，y极小值y|x00.(3)由(1)知，函数yf(x)6x39x2，又f(1)15，f(0)0，f(1)3，所以函数的最大值为15，最小值为0.题型三导数的综合应用例3已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由解(1)f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x2<3，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上单调递减，即a3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减，且a的取值范围是3，)反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立来求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若不能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f(x)能恒等于0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定跟踪训练3(1)若函数f(x)4x3ax3的单调递减区间是，则实数a的值是多少？(2)若函数f(x)4x3ax3在上是单调函数，则实数a的取值范围为多少？解(1)f(x)12x2a，f(x)的单调递减区间为，x±为f(x)0的两个根，a3.(2)若f(x)在上为单调增函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)min0.当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0)a0符合题意若f(x)在上为单调减函数，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)max3.当a3时，f(x)12x233(4x21)0恒成立(且只有x±时f(x)0)因此，a的取值范围为a0或a3.1若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()A. B.C. D.答案C解析若函数yx3x2mx1是R上的单调函数，只需y3x22xm0恒成立，即412m0，m.2设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是()答案D解析若函数在给定区间上是增函数，则yf(x)0，若函数在给定区间上是减函数，则yf(x)0.3设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)<0，则当a<x<b时有()Af(x)g(x)>f(b)g(b) Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(b)>f(b)g(x) Df(x)g(x)>f(a)g(a)答案C解析由条件，得<0.在(a，b)上是减函数<<，f(x)g(b)>f(b)g(x)4函数f(x)x3x22x5，若对于任意x1,2，都有f(x)<m，则实数m的取值范围是_答案(7，)解析f(x)3x2x2，令f(x)0，得x或x1.可判断求得f(x)maxf(2)7.f(x)<m恒成立时，m>7.呈重点、现规律导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法一、基础过关1函数f(x)xcos x的导函数f(x)在区间，上的图像大致是()答案A解析f(x)xcos x，f(x)cos xxsin x.f(x)f(x)，f(x)为偶函数，函数图像关于y轴对称，排除C选项由f(0)1可排除D选项而f(1)cos 1sin 1<0，从而观察图像即可得到答案为A.2函数yxcos xsin x在下面哪个区间内是增函数()A. B(，2)C. D(2，3)答案B解析ycos xxsin xcos xxsin x，若yf(x)在某区间内是增函数，只需在此区间内y恒大于或等于0即可只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立3已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)<f(e)<f(3)Bf(e)<f(2)<f(3)Cf(3)<f(e)<f(2)Df(e)<f(3)<f(2)答案A解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)>0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，f(2)<f(e)<f(3)4函数yf(x)的图像如下图所示，则导函数yf(x)的图像可能是()答案D解析由yf(x)的图像知，f(x)在(，0)，(0，)上都为减函数，在(，0)，(0，)上，f(x)<0恒成立，故D正确5已知a>0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值为_答案3解析由题意知，f(x)3x2a0(x1)，a3x2，a3.6若函数yx3x2m在2,1上的最大值为，则m_.答案2解析y3x23x3x(x1)由y0，得x0或x1.f(0)m，f(1)m.又f(1)m，f(2)86mm2，f(1)m最大m.m2.7已知函数f(x)x3ax23x6，若x3是f(x)的一个极值点，求f(x)在0，a上的最值解f(x)3x22ax3，由已知得f(3)0，3×96a30.a5，f(x)x35x23x6.令f(x)3x210x30，得x1，x23.则当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表.x03(3,5)5f(x)00f(x)6递增6递减3递增21f(x)在0,5上的最大值为f(5)21，最小值为f(3)3.二、能力提升8已知函数f(x)、g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)<g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)答案A解析设F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)<0，F(x)在a，b上为减函数，当xa时，F(x)取最大值f(a)g(a)9已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且当x>0时，有f(x)>0，g(x)>0，则当x<0时，有()Af(x)>0，g(x)>0 Bf(x)>0，g(x)<0Cf(x)<0，g(x)>0 Df(x)<0，g(x)<0答案B解析由已知得f(x)为奇函数，g(x)为偶函数x>0时，f(x)>0，g(x)>0，f(x)，g(x)在(0，)上递增x<0时，f(x)递增，g(x)递减x<0时，f(x)>0，g(x)<0.10已知函数f(x)x3ax2b(a，b为实数，且a>1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为2，则f(x)的解析式为_答案f(x)x32x2111设函数f(x)xax2bln x，曲线yf(x)过P(1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a，b的值；(2)证明：f(x)2x2.(1)解f(x)12ax.由已知条件得即解得(2)证明因为f(x)的定义域为(0，)，由(1)知f(x)xx23ln x.设g(x)f(x)(2x2)2xx23ln x，则g(x)12x.当0<x<1时，g(x)>0，当x>1时，g(x)<0.所以g(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减而g(1)0，故当x>0时，g(x)0，即f(x)2x2.12已知aR，函数f(x)(x2ax)ex(xR)(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(1,1)上单调递增，求a的取值范围解(1)当a2时，f(x)(x22x)ex，f(x)(x22)ex.当f(x)>0时，(x22)ex>0，注意到ex>0，所以x22>0，解得<x<.所以，函数f(x)的单调递增区间为(，)同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(，)和(，)(2)因为函数f(x)在(1,1)上单调递增，所以f(x)0在(1,1)上恒成立又f(x)x2(a2)xaex，即x2(a2)xaex0，注意到ex>0，因此x2(a2)xa0在(1,1)上恒成立，也就是ax1在(1,1)上恒成立设yx1，则y1>0，即yx1在(1,1)上单调递增，则y<11，故a.三、探究与拓展13已知函数f(x)x22xaln x (aR)(1)当a4时，求f(x)的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数，求实数a的取值范围；(3)当t1时，不等式f(2t1)2f(t)3恒成立，求实数a的取值范围解(1)f(x)x22x4ln x (x>0)，f(x)2x2，当x>1时，f(x)>0，当0<x<1时，f(x)<0.f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增f(x)minf(1)3.(2)f(x)2x2，若f(x)在(0,1)上单调递增，则2x22xa0在x(0,1)上恒成立a2x22x恒成立令u2x22x，x(0,1)，则a22，umax0.a0.若f(x)在(0,1)上单调递减，则2x22xa0在x(0,1)上恒成立a2x22xmin4.综上，a的取值范围是(，40，)(3)(2t1)22(2t1)aln(2t1)2t24t2aln t3恒成立aln(2t1)2ln t2t24t2aln(2t1)ln t22(2t1)t2当t1时，不等式显然成立当t>1时，t2(2t1)t22t1(t1)2>0t2>2t1ln t2>ln(2t1)a.在t>1时恒成立，令u，即求u的最小值设A(t2，ln t2)，B(2t1，ln(2t1)，kAB，且A、B两点在yln x的图像上，又t2>1,2t1>1，故0<kAB<y|x11.u2·>2，故a2.即实数a的取值范围为(，2