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    第七章定积分的应用.doc

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    第七章定积分的应用.doc

    第七章 定积分的应用一 、本章学习要求与内容提要(一)学习要求1掌握定积分的微元法.2会用定积分的微元法求平面图形的面积.3会用定积分的微元法求旋转体的体积.4会用定积分的微元法求变力所做的功.5会用定积分的微元法求液体的侧压力.重点 定积分的微元法,利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.难点 定积分的微元法,微元法在实际问题中的应用.(二)内容提要1定积分的微元法(1)在区间上任取一个微小区间,然后写出在这个小区间上的部分量的近似值,记为(称为的微元);(2)将微元上无限“累加”,即在上积分,得 上述两步解决问题的方法称为微元法.关于微元,我们有两点要说明:作为的近似表达式,应该足够准确,确切地说,就是要求其差是关于的高阶无穷小,即.称做微元的量,实际上就是所求量的微分.具体怎样求微元呢?这是问题的关键,需要分析问题的实际意义及数量关系。一般按在局部上以“常代变”、“直代曲”的思路(局部线性化),写出局部上所求量的近似值,即为微元.2.面积微元与体积微元(1)面积微元由曲线轴所围成的图形,其面积微元,面积.由上下两条曲线所围成的图形,其面积微元,面积.由左右两条曲线所围成的图形,其面积微元,面积(注意,这时应取横条矩形为,即取为积分变量).(2)体积微元不妨设直线为轴,则在处的截面面积是的已知连续函数,求该物体介于和 之间的体积.用“微元法”.为求出体积微元,在微小区间上视不变,即把上的立体薄片近似看作以为底,为高的柱片,于是其体积微元,再在的变化区间上积分,则有.3弧微元与平面曲线弧微分公式设曲线在上有一阶连续导数,仍用微元法,取为积分变量,在上任取小区间,切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度,得弧长微元为 ,这里 .二 、主要解题方法(微元法)1求平面图形的面积的方法 例1 求下列曲线所围成的图形的面积(1)抛物线 与直线, (2)圆 .解 (1)先画图,如图所示,并由方程, 求出交点为(2,),(8,2).解一 取为积分变量,的变化区间为,2,在区间,2上任取一子区间,+ ,则面积微元 =, 则所求面积为 = = ()=9.解二 取为积分变量,的变化区间为0,8,由图知,若在此区间上任取子区间,需分成0,2,2,8两部分完成.在区间0,2上任取一子区间, +,则面积微元 1=,在区间2,8上任取一子区间, +, 则面积微元 2= , 于是得=1+2=+=+=9 . 显然,解法一优于解法二。因此作题时,要先画图,然后根据图形选择适当的积分变量,尽量使计算方便.(2) 如图,利用极坐标计算.的变化区间为,则面积微元 =, 于是所求图形的面积为=2,利用对称性,得 =4=2=2(+)=,事实上,表示一个半径为的圆.面积 =是正确的.小结 计算面积时要注意:(1) 适当选择坐标系,以便简化计算.如题(2)若采用直角坐标系计算就比较麻烦.一般地曲边梯形宜采用直角坐标系,曲边扇形宜采用极坐标系.(2)要考虑图形的对称性.(3)积分区间尽量少分块.2求旋转体体积的方法例2 求由曲线, 直线 ,绕轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形,因为图形绕轴旋转,所以取为积分变量,的变化区间为1,4,相应于1,4上任取一子区间,+的小窄条,绕轴旋转而形成的小旋转体体积,可用高为,底面积为的小圆柱体体积近似代替,即体积微元为 =, 于是,体积 =1616=12.小结 求旋转体体积时,第一要明确形成旋转的平面图形是由哪些曲线围成,这些曲线的方程是什么;第二要明确图形绕哪一条坐标轴或平行于坐标轴的直线旋转,正确选择积分变量,写出定积分的表达式及积分上下限.3 求曲线的弧长的方法例3 (1)求曲线 上从0到3一段弧的长度,(2)求圆的渐开线方程 ,上相应于从0到的一段弧的长度.解 (1) 由公式 = ( )知,弧长为=.(2) 因为曲线方程以参数形式给出,所以弧微元为 , =, = ,故 = , 故所求弧长为=.4求变力做功的方法例4 设有一弹簧,假定被压缩0.5cm时需用力1N(牛顿),现弹簧在外力的作用下被压缩3cm,求外力所做的功.解 根据胡克定理,在一定的弹性范围内,将弹簧拉伸(或压缩)所需的力与伸长量(压缩量)成正比,即= (为弹性系数)按假设 当 =0.005m时 ,=1N, 代入上式得 =2N/m,即有 =200,所以取为积分变量,的变化区间为0,0.03,功微元为 =200,于是弹簧被压缩了3cm时,外力所做的功为 =0.09(J).5求液体对侧面的压力的方法例5 一梯形闸门倒置于水中,两底边的长度分别为,(),高为,水面与闸门顶齐平,试求闸门上所受的压力.解 取坐标系如图所示,则的方程为 , 取水深为积分变量,的变化区间为0,在0,上任取一子区间, +,与这个小区间相对应的小梯形上各点处的压强= (为水的比重), 小梯形上所受的水压力=()=2() 小梯形上所受的总压力为 =2=2=2()=().三、学法建议1本章的重点是定积分的微元法,利用微元法求平面图形的面积和旋转体的体积.学好本章内容的关键是如何应用微元法,解决一些实际问题,这也是本章的难点.2首先要弄清楚哪种量可以用积分表达,即用微元法来求它,所求的量必须满足 (1)与分布区间有关,且具有可加性;(2)分布不均匀,而部分量可以表示出来.3用微元法解决实际问题的关键是如何定出部分量的近似表达式,即微元.如面积微元,功微元.微元一般是部分量的线性主部,求它虽有一定规律,可以套用一些公式,但我们不希望死套公式,而应用所学知识学会自己去建立积分公式,这就需要多下工夫了.4用微元法解决实际问题应注意:(1)选好坐标系,这关系到计算简繁问题;(2)取好微元,经常应用“以匀代变”“以直代曲”的思想决定的线性主部,这关系到结果正确与否的问题.(3)核对的量纲是否与所求总量的量纲一致.

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