第1章-第4节-数列在日常经济生活中的应用.docx

§4数列在日常经济生活中的应用学习目标1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题.2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义知识点一单利、复利思考1第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按单利计息，则每个月所得利息是否相同？答案按单利计息，上一个月的利息在下一个月不再计算利息，故每个月所得利息是一样的思考2第一月月初存入1 000元，月利率0.3%，按复利计息，则每个月所得利息是否相同？答案不同因为按复利计息，上一个月的本金和利息就成为下一个月的本金，所以每个月的利息是递增的梳理一般地，(1)单利是指：仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为a(1rx)(2)复利是指把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期的本金是不同的利息按复利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和a(1r)x.知识点二数列应用问题的常见模型1整存整取定期储蓄一次存入本金金额为A，存期为n，每期利率为p，到期本息合计为an，则anA(1np)其本质是等差数列已知首项和公差求第n项问题2定期存入零存整取储蓄每期初存入金额A，连存n次，每期利率为p，则到第n期末时，应得到本息合计为：nAAp.其本质为已知首项和公差，求前n项和问题3分期付款问题贷款a元，分m个月将款全部付清，月利率为r，各月所付款额和贷款均以相同利率以复利计算到贷款全部还清为止其本质是贷款按复利整存整取，还款按复利零存整取，到贷款全部还清时，贷款本利合计还款本利合计1复利在第二次计息时，将上一次的本利和当作本金()2增长率.()3同一笔钱，相同的利率，用单利计息和用复利计息收益是一样的(×)类型一等差数列模型例1第一年年初存入银行1 000元，年利率为0.72%，那么按照单利，第5年末的本利和为_元考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案1 036解析设各年末的本利和为an，由ana(1nr)，其中a1 000，r0.72%，a51 000×(15×0.72%)1 036(元)即第5年末的本利和为1 036元反思与感悟把实际问题转化为数列模型时，一定要定义好数列，并确认该数列的基本量包括首项，公比(差)，项数等跟踪训练1李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解设第n个月存入的100元到期利息为an，则a1100×2.7×36，an是公差为100×2.7的等差数列数列an的前36项和S3636a1d36×100×2.7×3618×35×100×2.7179.82，3年共存入本金100×363 600(元)到期一次可支取3 600179.823 779.82(元)类型二等比数列模型例2现存入银行8万元，年利率为2.50%，若采用1年期自动转存业务，则5年末的本利和是_万元考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案8×1.0255解析定期自动转存属于复利问题，设第n年末本利和为an，则a188×0.0258×(10.025)，a2a1a1×0.0258×(10.025)2，a3a2a2×0.0258×(10.025)3，a58×(10.025)5，即5年末的本利和是8×1.0255.反思与感悟在建立模型时，如果一时搞不清数列的递推模式，可以先依次计算前几项，从中寻找规律跟踪训练2银行一年定期储蓄存款年息为r，按复利计算利息；三年定期储蓄存款年息为q，按单利计算利息银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应大于_考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案(1r)31解析设储户开始存入的款数为a，由题意得，a(13q)>a(1r)3，q>(1r)31类型三分期付款例3用分期付款的方式购买价格为25万元的住房一套，如果购买时先付5万元，以后每年付2万元加上欠款利息签订购房合同后1年付款一次，再过1年又付款一次，直到还完后为止，商定年利率为10%，则第5年该付多少元？购房款全部付清后实际共付多少元？考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解购买时先付5万元，余款20万元按题意分10次分期还清，每次付款数组成数列an，则a12(255)·10%4(万元)；a22(2552)·10%3.8(万元)；a32(2552×2)·10%3.6(万元)，an2255(n1)·2·10%(万元)(n1,2，10)因而数列an是首项为4，公差为的等差数列a543.2(万元)S1010×431(万元)因此第5年该付3.2万元，购房款全部付清后实际共付36万元反思与感悟建立模型离不开准确理解实际问题的运行规则不易理解时就先试行规则，从中观察归纳找到规律跟踪训练3某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计5年还清，则每年应偿还()A.万元 B.万元C.万元 D.万元考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题答案B解析根据已知条件知本题属于分期付款问题，设每年应偿还x万元，则x(1)4(1)31a(1)5，x·a(1)5故x(万元).1一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天它飞出去找回了5个小伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，如果这个找伙伴的过程断续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A65只 B66只 C216只 D36只考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案B解析设第n天蜜蜂飞出蜂巢中共有an只蜜蜂，则a11，a25a1a16a1，a35a2a26a2，an是首项为1，公比为6的等比数列a7a1·q7166.2某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按照这种规律进行下去，6小时后细胞的存活数是()A32 B31 C64 D65考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案D解析可递推下去，4小时后分裂成18个并死去一个，5小时后分裂成34个并死去一个；6小时后分裂成66个并死去一个，65个存活3一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰构成一等差数列，则这群羊共有()A6只 B5只 C8只 D7只考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案A解析依题意除去一只羊外，其余n1只羊的重量从小到大依次排列构成等差数列设a17，d>0，Sn1651055，(n1)a1d55，即7(n1)55，(n1)55.5511×5且(n1)为正整数，为正整数解得n6.1数列应用问题的常见模型(1)一般地，如果增加(或减少)的量是一个固定的具体量时，那么该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an1and(d为常数)(2)如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，那么该模型是等比模型(3)如果容易找到该数列任意一项an1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问题. 2数列综合应用题的解题步骤(1)审题弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题. (2)分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等(3)求解分别求解这些小题或这些小“步骤”，从而得到整个问题的解答(4)还原将所求结果还原到实际问题中一、选择题1夏季高山上的气温从山脚起每升高100米降低0.7度，已知山脚气温为26度，山顶气温为14.1度，那么此山相对山脚的高度为()A1 600米 B1 700米C1 800米 D1 900米考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案B解析从山脚到山顶气温的变化成等差数列，首项为26，末项为14.1，公差为0.7，设数列的项数为n，则14.126(n1)×(0.7)，解得n18，所以山的高度为h(181)×1001 700(米)2通过测量知道，温度每降低6，某电子元件的电子数目就减少一半已知在零下34时，该电子元件的电子数目为3个，则在室温27时，该元件的电子数目接近()A860个 B1 730个C3 072个 D3 900个考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案C解析由题设知，该元件的电子数目变化为等比数列，且a13，q2，由27(34)61，10，可得，a113·2103 072，故选C.3一个卷筒纸，其内圆直径为4 cm，外圆直径为12 cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，3.14，则这个卷筒纸的长度为(精确到个位)()A14 m B15 mC16 m D17 m考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案B解析纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则ld1d2d6060·480×3.141 507.2(cm)15 m，故选B.4某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg 0.970.013 2，lg 0.50.301 0)()A22 B23C24 D25考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案B解析依题意有(13%)n<0.5，所以n>22.8，故选B.5某人从2009年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，至2015年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为()Aa(1r)7B.(1r)7(1r)Ca(1r)8D.(1r)8(1r)考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题答案B解析2009年存入钱为a元，2010年本息和为aa(1r)，2011年本息和为aa(1r)a(1r)2，2012年本息和为aa(1r)a(1r)2a(1r)3，2013年本息和为aa(1r)a(1r)2a(1r)3a(1r)4，2014年本息和为aa(1r)a(1r)2a(1r)3a(1r)4a(1r)5，2015年本息和为a(1r)a(1r)2a(1r)3a(1r)4a(1r)5a(1r)6，故选B.6某厂在2010年年底制定生产计划，要使2020年年底的总产量在原有基础上翻两番(变为原来的四倍)，则年平均增长率为()A1 B1 C1 D1考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案A解析设年增长率为x,2010年总产量为1，到2020年年底翻两番后的总产量为4，故1·(1x)104，x1.二、填空题7小王每月除去所有日常开支，大约结余a元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a元，存期1年(存12次)，到期取出本息和假设一年期零存整取的月利率为r，每期存款按单利计息那么，小王存款到期利息为_元考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案78ar解析依题意得，小王存款到期利息为12ar11ar10ar3ar2arar78ar.8据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为a吨，由此预测，该区下一年的垃圾量为_吨，2016年的垃圾量为_吨考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案a(1b)a(1b)7解析2009年产生的垃圾量为a吨，下一年的垃圾量在2009年的垃圾量的基础之上增长了ab吨，所以下一年的垃圾量为a(1b)吨；2016年是从2009年起再过7年，所以2016年的垃圾量是a(1b)7吨9某彩电价格在去年6月份降价10%之后经10,11,12三个月连续三次回升到6月份降价前的水平，则这三次价格平均回升率是_考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案1解析设6月份降价前的价格为a，三次价格平均回升率为x，则a×90%×(1x)3a，1x，x1.10某大楼共有20层，有19人在第1层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S，为使S最小，电梯应当停在_层考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题答案14解析设停在第x层，则S12(20x)×212(x2)421，当x时取最小值，而x2,3，20，当x14时取最小值三、解答题11家用电器一件，现价2 000元，实行分期付款，每期付款数相同，每期为一月，购买后一个月付款一次，每月付款一次，共付12次，购买后一年还清，月利率为0.8%，按复利计算，那么每期应付款多少？(1.008121.1)考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题解方法一设每期应付款x元第1期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(10.008)11(元)第2期付款与到最后一次付款所产生利息之和为x(10.008)10(元)，第12期付款没有利息所以各期付款连同利息之和为x(11.0081.00811)x，又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812，于是有x2 000×1.00812，解得x176(元)即每期应付款176元方法二设每期应付款x元，则第1期还款后欠款2 000×(10.008)x第2期还款后欠款(2 000×1.008x)×1.008x2 000×1.00821.008xx，第12期还款后欠款2 000×1.00812(1.008111.008101)x，第12期还款后欠款应为0，所以有2 000×1.00812(1.008111.008101)x0.x176(元)即每期应还款176元12假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.0851.47)考点等差数列的前n项和应用题题点等差数列前n项和应用题解(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知an是等差数列其中a1250，d50，则Sn250n×5025n2225n.令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)设新建住房面积构成数列bn，由题意可知bn是等比数列其中b1400，q1.08，则bn400×1.08n1.由题意可知an>0.85bn，有250(n1)·50>400×1.08n1×0.85.由1.0851.47解得满足上述不等式的最小正整数n6，到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.13为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换10 000辆燃油型公交车每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比一年多投入a辆设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设Sn，Tn分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量(1)求Sn，Tn，并求n年里投入的所有新公交车的总数Fn；(2)该市计划用7年时间完成全部更换，求a的最小值考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题解(1)依题意知，数列an是首项为128，公比为150%的等比数列；数列bn是首项为400，公差为a的等差数列，所以数列an的前n项和Sn256·，数列bn的前n项和Tn400na.所以经过n年，该市更换的公交车总数FnSnTn256400na.(2)易知Fn是关于n的单调递增函数，依题意得F710 000，即256400×7a10 000，解得a，又aN，所以a的最小值为147.四、探究与拓展14.如图是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，设起始正方形的边长为，若共有1 023个正方形，则最小正方形的边长为_考点等比数列的应用题题点等比数列的应用题答案解析由题意可知，正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列设连接n次后可得到1 023个正方形由题意可知，122n1 023，n9，最小正方形的边长为×9.15某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币)该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)游戏规定：闯关者需在闯关前任选一种奖励方案(1)设闯过n(n12，且nN)关后三种奖励方案获得的慧币总数依次为An，Bn，Cn，试求出An，Bn，Cn的表达式；(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？考点等比数列的前n项和应用题题点等比数列的前n项和应用题解(1)第一种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成常数列，An40n(n12，且nN)第二种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为4，公差为4的等差数列，Bn4n×42n22n(n12，且nN)第三种奖励方案中，闯过各关所得慧币构成首项为，公比为2的等比数列，Cn(2n1)(n12，nN)(2)令An>Bn，即40n>2n22n(n12，nN)，解得0<n12，An>Bn恒成立令An>Cn，即40n>(2n1)(n12，nN)，可得0<n<10，当0<n<10时，An>Cn；当10n12时，Cn>An.综上可知，若冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；若冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案