分式和绝对值不等式的解法.doc

（一）分式不等式：型如：或（其中为整式且）的不等式称为分式不等式。（1）分式不等式的解法：解关于x的不等式方法一：等价转化为： 方法二：等价转化为： 或 变式一： 等价转化为： 比较不等式及的解集。（不等式的变形，强调等价转化，分母不为零）（2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化：（1） （3）（2） （4）（3）小结分式不等式的解法步骤：（1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式（2）转化为等价的整式不等式（3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正）练一练：解关于x的不等式 例1、 解关于x的不等式：解： 即， （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为： 原不等式的解集为例2、解关于x不等式 方法一：恒大于0，利用不等式的基本性质方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。例3、 解关于x的不等式：解：移项 通分 即，等价转化为，当a>0时，原不等式的解集为当a<0时，原不等式的解集为当a=0时，原不等式的解集为（二）绝对值不等式理解绝对值的几何意义：，其几何意义是数轴上的点离开原点O的距离。（一）注意绝对值的定义，用公式法即若，则；若，则或。例1. 解不等式解：由题意知，原不等式转化为即：对于形如型不等式，此类不等式的简洁解法是等价命题法，即：当a>0时，；或。当a=0时，无解；。当a<0时，无解；有意义。拓展：形如型不等式，此类不等式的简洁解法也是等价命题法，即：。例1 解以下不等式：（1）；（2）。解：（1）由原不等式可得：或，即x>4或。所以原不等式的解集是（2）因为左边为非负值，而右边为0，故不等式无解，即解集为。（二）注意绝对值的非负性，用平方法等式的两边都是非负值才能用平方法，否则不能用平方法，在操作过程中用到。例2. 解不等式两边都含绝对值符号，所以都是非负，故可用平方法。解：原不等式即：对于 形如型不等式，此类不等式的简洁解法是利用平方法，即：。例2 解不等式。解：原不等式等价于：，即，解得。（三）注意分类讨论，用零点分段法不等式的一侧是两个或两个以上的绝对值符号，常用零点法去绝对值并求解。例3. 解不等式解：利用绝对值的定义，分段讨论去绝对值符号，令和得分界点于是，可分区间讨论原不等式解得综上不等式的解为即：对于形如和不等式，用零点分段法 1解不等式 （1）利用绝对值不等式的几何意义 这个不等式的几何意义是：数轴上到1对应点的距离与到3对应点的距离之和不小于4的所有点的集合（2）零点分段讨论：（即去掉绝对值） 注：x=1,与x=3将数轴分成三段，然后根据不等式的几何意义去掉绝对值，解不等式 （3）构造函数，求函数解集温馨提示：令画出函数图像进行研究总结:绝对值不等式的解法 （1）； （2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。（9）（10）对于形如等含有多个绝对值符号的不等式，常用“零点分段”或绝对值的几何意义求解。课后练习1、不等式的解集为 。2、不等式的解集为 。6、已知不等式，则实数的取值范围是 。7、不等式的解集是 。8、关于的不等式的解集为R的充要条件是 （ ）A B C D9、不等式x2-x-6>3-x的解集是 ( )A(3,+) B(-，-3)(3,+)C (-，-3)(-1，+) D(-,-3)(-1,3)(3,+)10、解不等式。11、设函数，不等式的解集为，试求不等式的解集。提高题 12、用>或<或或填空：(a>b)。13、已知，设命题甲为两个实数a、b满足；命题乙为两个实数a、b满足，且，那么甲是乙的 条件。14、已知，a、bR，且ab，求证：15、已知和的图象关于原点对称，且，（1）求的解析式； （2）解不等式。