八年级数学(上册)《轴对称图形》经典例题含解析.doc

第 2 章 轴对称图形一、选择题1下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（ ）A B C D2一张菱形纸片按如图 1、图 2 依次对折后，再按如图 3 打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）A B C D3已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A11 B16 C 17 D16 或 174如图，在 ABC 中，AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ，AB=BD ，则B 的度数为（ ）A 30 ° B 36 ° C 40 °D 45 °5如图， 已知在 ABC 中，CD 是 AB 边上的高线， BE 平分 ABC ，交 CD 于点 E，BC=5 ，DE=2 ，则BCE 的面积等于（ ）A10 B7 C 5 D46如图， ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分 AB，BEAC ，AFBC ，则下面结论错误的是 （ ）. .ABF=EF BDE=EF C EFC= 45 ° D BEF=CBE7如图，在第 1 个 A 1BC 中， B=30 °，A1B=CB ；在边 A 1B 上任取一点 D，延长CA 1 到 A 2，使 A1A 2=A 1D，得到第 2 个 A1A 2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长A 1A2 到 A 3，使 A 2A 3=A 2E，得到第 3 个 A 2A3E， 按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 A n 为顶点的内角度数是（ ）A（ ）n?75 ° B（ ） n1?65 ° C （ ）n1?75 ° D（ ） n?85 °8如图，在线段 AE 同侧作两个等边三角形 ABC 和 CDE （ ACE 120 °），点 P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点，则 CPM 是（ ）A钝角三角形 B直角三角形 C 等边三角形 D非等腰三角形9如图是 P1、P2、 、P10 十个点在圆上的位置图， 且此十点将圆周分成十等分 今小玉连接 P1P2、P1P10 、P9P10、P5P6、P6P7，判断小玉再连接下列哪一条线段后， 所形成的图形不是轴对称图形？（ ）AP2P3 B P4P5 C P7P8 DP8P9. .10如图 1，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=4 ，BC=7 如图 2，在底边 BC 上取一点 D，连结AD ，使得 DAC= ACD 如图 3，将ACD 沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形 ABED则 BE 的长是（ ）A4 B C 3 D2二、填空题11下面有五个图形，与其它图形众不同的是第 _个12如图，在 2× 2 方格纸中，有一个以格点为顶点的 ABC ，请你找出方格纸中所有与 ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 _个13如图， ABC 中， C=90 ° ，BAC 的平分线交 BC 于点 D，若 CD=4 ，则点 D 到 AB 的距离是_14如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分 AB，已知 ADE=40 ° 则， DBC=_ ° . .15如图，在ABC 中， B 与 C 的平分线交于点 O ，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、 AC 于点 D、 E若 AB=5 ，AC=4 ，则ADE 的周长是 _16如图， CD 与 BE互相垂直平分， AD DB， BDE=70 °，则 CAD=_ °17如图， BAC=110 °，若MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ，则 PAQ 的度数是 _18等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30 °，则它的顶角为_19在 4×4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 _种20如图， AOB 是一角度为10 °的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管： EF、FG、 GH ，且 OE=EF=FG=GH ，在 OA 、OB 足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为_三、解答题. .21如图，在由边长为 1 的小正方形组成的 10× 10 的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形 ABCD 在直线 l 的左侧，其四个顶点 A ，B，C ，D 分别在网格的格点上（1）请你在所给的网格中画出四边形 A1B1C 1D1，使四边形 A1B1C 1D1 和四边形 ABCD 关于直线 l对称；（2）在（ 1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形 A1B1C 1D1 的面积22如图，在 ABC 中， C=90 度（1）用圆规和直尺在 AC 上作点 P，使点 P 到 A、B 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（ 1）的点 P 到 AB 、BC 的距离相等时，求 A 的度数23如图，在 ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分 AC 和 BC ，交 AB 于 M 、N 两点， DM 与 EN 相交于点 F（1）若 CMN 的周长为 15cm ，求 AB 的长；（2）若 MFN=70 ° ，求MCN 的度数. .24如图，在 ABC 中，点 D，E分别在边 AC ，AB 上，BD 与 CE 交于点 O ，给出下列三个条件： EBO= DCO ； BE=CD ； OB=OC（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定 ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（ 1）中的一种情形，写出证明过程25如图，在 ABC 中， AB=AC ，点 D，E，F 分别在边 AB，BC ，AC 上，且 BD=CE ， BE=CF，如果点 G 为 DF 的中点，那么 EG 与 DF 垂直吗？26如图，在 ABC 中， AB=AC ，D、E 是 BC 边上的点，连接AD 、AE，以 ADE 的边 AE 所在直线为对称轴作 ADE 的轴对称图形 AD E，连D接 C，若 BD=CD（1）求证： ABD ACD；（2）若 BAC120 °，求DAE 的度数27如图，已知 BAD 和 BCE 均为等腰直角三角形， BAD= BCE=90 °，点M 为 DE 的中点，过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N（1）当 A，B，C 三点在同一直线上时（如图 1），求证： M 为 AN 的中点；（2）将图 1 中的 BCE 绕点 B 旋转，当 A ，B，E 三点在同一直线上时（如图 2），求证： ACN为等腰直角三角形；. .（3）将图 1 中BCE 绕点 B 旋转到图 3 位置时，（ 2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由. .第 2 章 轴对称图形参考答案与试题解析一、选择题1下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是轴对称图形的是（ ）A B C D【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析【解答】解： A 、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C 、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选： C 【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念2一张菱形纸片按如图 1、图 2 依次对折后，再按如图 3 打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ）A B C D【考点】剪纸问题【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现【解答】解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折，打出一个圆形小孔，展开得到结论故选 C . .【点评】此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时，要注意培养3已知等腰三角形的两边长分别为 5 和 6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A11 B16 C 17 D16 或 17【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系【专题】分类讨论【分析】分 6 是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解【解答】解：6 是腰长时，三角形的三边分别为 6、6、5，能组成三角形，周长=6+6+5=17 ；6 是底边时，三角形的三边分别为 6、5、5，能组成三角形，周长=6+5+5=16 综上所述，三角形的周长为 16 或 17 故选 D【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论4如图，在 ABC 中，AB=AC ，且 D 为 BC 上一点， CD=AD ，AB=BD ，则B 的度数为（ ）A 30 ° B 36 ° C 40 °D 45 °【考点】等腰三角形的性质【分析】求出 BAD=2 CAD=2 B=2C 的关系，利用三角形的内角和是 180 ° ，求B，【解答】解： AB=AC ，B=C ，AB=BD ，. .BAD= BDA ，CD=AD ，C= CAD ，BAD+ CAD+ B+ C=180 ° ，5 B=180 ° ， B=36 °故选： B【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出 BAD=2 CAD=2 B=2C 关系5如图， 已知在 ABC 中，CD 是 AB 边上的高线， BE 平分 ABC ，交 CD 于点 E，BC=5 ，DE=2 ，则BCE 的面积等于（ ）A10 B7 C 5 D4【考点】角平分线的性质【分析】作 EFBC 于 F，根据角平分线的性质求得 EF=DE=2 ，然后根据三角形面积公式求得即可【解答】解：作 EFBC 于 F，BE 平分 ABC ，EDAB，EFBC，EF=DE=2 ，SBCE= BC? EF= × 5× 2=5 ，故选 C 【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键6如图， ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分 AB，BEAC ，AFBC ，则下面结论错误的是 （ ）. .ABF=EF BDE=EF C EFC=45 °D BEF=CBE【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的三线合一得到 BF=FC ，根据直角三角形的性质判断A ；根据直角三角形的性质判断B；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断C ，根据直角三角形的性质判断D【解答】解： AB=AC ，AFBC ，BF=FC，BEAC ，EF= BC=BF ，A 不合题意；DE= AB，EF= BC ，不能证明DE=EF，B 符合题意；DE 垂直平分 AB ，EA=EB，又 BEAC ， BAC=45 °， C=67.5 °，又FE=FC， EFC=45 °，C 不合题意；FE=FB， BEF=CBE；故选： B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键7如图，在第 1 个 A 1BC 中， B=30 °，A1B=CB ；在边A 1B 上任取一点 D，延长CA 1 到 A 2，使 A1A 2=A 1D，得到第 2 个 A1A 2D；在边A2D 上任取一点 E，延长A 1A2 到 A 3，使 A 2A 3=A 2E，得到第 3 个 A 2A3E， 按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 A n 为顶点的内角度数是（）. .A（ ）n?75 ° B（ ）n1?65 ° C （ ）n1?75 ° D（ ）n?85 °【考点】等腰三角形的性质【专题】规律型【分析】先根据等腰三角形的性质求出 BA1C 的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出 DA 2A 1，EA3A 2 及FA4A 3 的度数， 找出规律即可得出第 n 个三角形中以 A n 为顶点的内角度数【解答】解：在 CBA 1 中， B=30 ° ，A1B=CB ，BA 1C= =75 ° ，A1A2=A 1D，BA 1C 是A1A 2D 的外角，DA 2A1= BA1C= × 75 ° ；同理可得，EA3A 2=（ ）2× 75 ° ，FA4A 3=（ ）3× 75 ° ，第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是（ ）n1× 75 ° 故选： C 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出 DA 2A1，EA 3A 2及FA 4A3 的度数，找出规律是解答此题的关键8如图，在线段 AE 同侧作两个等边三角形 ABC 和 CDE （ACE 120 ° ），点P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点，则 CPM 是（ ）. .A钝角三角形 B直角三角形 C 等边三角形 D非等腰三角形【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】首先根据等边三角形的性质，得出AC=BC ，CD=CE ， ACB= ECD=60 °，则 BCE=ACD ，从而根据 SAS 证明 BCE ACD ，得 CBE= CAD ，BE=AD ；再由点 P 与点 M 分别是线段 BE和 AD 的中点，得 BP=AM ，根据 SAS 证明 BCP ACM ，得 PC=MC ， BCP= ACM ，则 PCM= ACB=60 °，从而证明该三角形是等边三角形【解答】解： ABC 和 CDE 都是等边三角形，AC=BC ，CD=CE ， ACB= ECD=60 ° BCE= ACD BCE ACD CBE= CAD ，BE=AD 又点 P 与点 M 分别是线段 BE 和 AD 的中点，BP=AM BCP ACM PC=MC ， BCP= ACM PCM= ACB=60 ° CPM 是等边三角形故选： C 【点评】三角形中位线性质应用比较广泛，尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用，本题结合三角形全等的知识，考查了等边三角形的性质9如图是 P1、P2、 、P10 十个点在圆上的位置图， 且此十点将圆周分成十等分 今小玉连接 P1P2、P1P10 、P9P10、P5P6、P6P7，判断小玉再连接下列哪一条线段后， 所形成的图形不是轴对称图形？（ ）AP2P3 B P4P5 C P7P8 DP8P9. .【考点】利用轴对称设计图案【分析】利用轴对称图形的性质分别分析得出即可【解答】解：由题意可得：当连接P2P3，P4P5，P7P8 时，所形成的图形是轴对称图形，当连接P8P9 时，所形成的图形不是轴对称图形故选： D【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键10如图 1，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC=4 ，BC=7 如图 2，在底边 BC 上取一点 D，连结AD ，使得 DAC= ACD 如图 3，将 ACD 沿着 AD 所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结BE，得到四边形 ABED则BE 的长是（ ）A4 B C 3 D2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】只要证明 ABD MBE，得 = ，只要求出 BM 、BD 即可解决问题【解答】解： AB=AC ， ABC= C ， DAC= ACD ， DAC= ABC ， C= C ， CAD CBA ， = ， = ，CD= ，BD=BCCD= ， DAM= DAC= DBA ， ADM= ADB ， ADM BDA ，. . = ，即 = ，DM= ，MB=BDDM= ， ABM= C= MED ，A、B、E、D 四点共圆， ADB= BEM， EBM= EAD= ABD ， ABD MBE， = ，BE= = = 故选 B【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难，属于中考选择题中的压轴题二、填空题11下面有五个图形，与其它图形众不同的是第 个【考点】轴对称图形【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：第个图形是轴对称图形，第个不是. .故答案为：【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合12如图，在 2× 2 方格纸中，有一个以格点为顶点的 ABC ，请你找出方格纸中所有与 ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 5 个【考点】利用轴对称设计图案【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形进行画图即可【解答】解：如图：与 ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形有 ABD 、BCD 、 FBE、HCE ，AFG ，共 5 个故答案为： 5【点评】本题考查轴对称图形的定义，以及利用轴对称设计图案，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案13如图， ABC 中， C=90 ° ，BAC 的平分线交 BC 于点 D，若 CD=4 ，则点 D 到 AB 的距离是 4 【考点】角平分线的性质. .【分析】过点 D 作 DEAB 于点 E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=CD ，即可得解【解答】解：如图，过点 D 作 DEAB 于点 E，AD 是BAC 的平分线，DE=CD ，CD=4 ，DE=4 故答案为： 4【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作出图形并熟记性质是解题的关键14如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC ，DE 垂直平分 AB ，已知 ADE=40 °则，DBC= 15 ° 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质【分析】根据线段垂直平分线求出 AD=BD ，推出 A= ABD=50 ° ，根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出 ABC ，即可得出答案【解答】解： DE 垂直平分 AB，AD=BD ， AED=90 ° ，A= ABD ， ADE=40 ° ， A=90 ° 40 ° =50 ° ，ABD= A=50 ° ，AB=AC ，ABC= C= （ 180 ° A ） =65 ° ，. .DBC= ABC ABD=65 ° 50 ° =15 ° ，故答案为： 15【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，能正确运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，难度适中15如图，在 ABC 中， B 与C 的平分线交于点 O ，过点 O 作 DEBC，分别交 AB、AC 于点 D、E若 AB=5 ，AC=4 ，则 ADE 的周长是 9 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质【专题】压轴题【分析】由在 ABC 中， B 与 C 的平分线交于点 O，过点 O 作 DEBC ，易证得 DOB 与EOC 是等腰三角形，即 DO=DB ，EO=EC ，继而可得 ADE 的周长等于 AB+AC ，即可求得答案【解答】解：在 ABC 中， B 与C 的平分线交于点 O ，DBO= CBO ，ECO= BCO ，DEBC ，DOB= CBO ，EOC= BCO ，DBO= DOB ，ECO= EOC ，OD=BD ，OE=CE ，AB=5 ，AC=4 ，ADE 的周长为： AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9 故答案为： 9【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质此题难度适中，注意证得 DOB 与EOC 是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用16如图， CD 与 BE互相垂直平分， AD DB， BDE=70 ° ，则CAD= 70 ° . .【考点】轴对称的性质；平行线的判定与性质【专题】常规题型【分析】先证明四边形 BDEC 是菱形，然后求出 ABD 的度数，再利用三角形内角和等于 180 ° 求出BAD 的度数，然后根据轴对称性可得 BAC= BAD ，然后求解即可【解答】解： CD 与 BE 互相垂直平分，四边形 BDEC 是菱形，DB=DE ， BDE=70 ° ，ABD= =55 ° ，AD DB， BAD=90 ° 55 ° =35 ° ，根据轴对称性，四边形 ACBD 关于直线 AB 成轴对称，BAC= BAD=35 ° ，CAD= BAC+ BAD=35 ° +35 ° =70 ° 故答案为： 70【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形 BDEC 是菱形并得到该图象关于直线 AB 成轴对称是解题的关键17如图， BAC=110 ° ，若MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ，则 PAQ 的度数是 40 ° 【考点】线段垂直平分线的性质. .【分析】根据三角形内角和定理求出 B+C 的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到 PA=PB ，QA=QC ，得到 PAB= B，QAC= C ，结合图形计算即可【解答】解： BAC=110 ° ，B+ C=70 ° ，MP 和 NQ 分别垂直平分 AB 和 AC ，PA=PB ，QA=QC ，PAB= B，QAC= C ，PAB+ QAC= B+ C=70 ° ，PAQ= BAC （ PAB+ QAC ） =40 ° ，故答案为： 40 ° 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键18等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30 ° ，则它的顶角为 60 ° 或 120 ° 【考点】等腰三角形的性质【专题】计算题；分类讨论【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论【解答】解：当高在三角形内部时，顶角是 120 ° ；当高在三角形外部时，顶角是 60 ° 故答案为： 60 ° 1或20 ° 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出 120 ° 一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形因此此题属于易错题19在 4× 4 的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 13 种. .【考点】利用轴对称设计图案【专题】压轴题【分析】根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案【解答】解：如图所示：故一共有 13 做法，故答案为： 13【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案20如图，AOB 是一角度为 10 °的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管： EF、FG、 GH ，且 OE=EF=FG=GH ，在 OA 、OB 足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 8 【考点】等腰三角形的性质【专题】应用题. .【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解【解答】解：添加的钢管长度都与 OE 相等， AOB=10 °， GEF= FGE=20 °， 从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10 °，第二个是 20 °，第三个是 30 °，四个是 40 °，五个是 50 °，六个是 60 °，七个是 70 °，八个是 80 °，九个是 90 °就不存在了所以一共有 8 个故答案为 8【点评】此题考查了三角形的内角和是 180 度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键三、解答题21如图，在由边长为 1 的小正方形组成的 10×10 的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形 ABCD 在直线l 的左侧，其四个顶点 A ，B，C ，D 分别在网格的格点上（1）请你在所给的网格中画出四边形 A1B1C 1D1，使四边形 A1B1C 1D1 和四边形 ABCD 关于直线l对称；（2）在（ 1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形 A1B1C 1D1 的面积【考点】作图 -轴对称变换【分析】（ 1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）利用矩形的面积减去四个顶点上三角形的面积即可【解答】解：（ 1）如图所示. .（2）S 四边形 A1B1C1D1 =3 × 4 × 2× 1 × 2× 1 × 3× 1 × 2× 2=12 11 2= 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键22如图，在 ABC 中， C=90 度（1）用圆规和直尺在 AC 上作点 P，使点 P 到 A、B 的距离相等；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）当满足（ 1）的点 P 到 AB 、BC 的距离相等时，求 A 的度数【考点】线段垂直平分线的性质【专题】作图题【分析】（ 1）作线段 AB 的垂直平分线即可；（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上那么点 P 是B 的平分线和线段 AB 的垂直平分线的交点【解答】解：（ 1）. .（2）连接 BP点 P 到 AB 、BC 的距离相等，BP 是ABC 的平分线，ABP= PBC又点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，PA=PB ，A= ABP 【点评】用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上23如图，在 ABC 中，DM 、EN 分别垂直平分 AC 和 BC ，交 AB 于 M 、N 两点， DM 与 EN 相交于点 F（1）若 CMN 的周长为 15cm ，求 AB 的长；（2）若 MFN=70 ° ，求MCN 的度数. .【考点】线段垂直平分线的性质【分析】（ 1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AM=CM ，BN=CN ，然后求出 CMN 的周长 =AB ；（2）根据三角形的内角和定理列式求出 MNF+ NMF ，再求出 A+ B，根据等边对等角可得A= ACM ，B=BCN ，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解【解答】解：（ 1）DM 、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，AM=CM ，BN=CN ，CMN 的周长 =CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB ，CMN 的周长为 15cm ，AB=15cm ；（2） MFN=70 ° ，MNF+ NMF=180 ° 70 ° =110 ° ，AMD= NMF ，BNE=MNF ，AMD+ BNE=MNF+ NMF=110 ° ，A+ B=90 ° AMD+ 90 ° BNE=180 ° 110 ° =70 ° ，AM=CM ，BN=CN ，A= ACM ，B=BCN ， MCN=180 ° 2（A+ B） =180 ° 2× 70 ° =40 ° 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，（ 2）整体思想的利用是解题的关键24如图，在 ABC 中，点 D，E分别在边 AC ，AB 上，BD 与 CE 交于点 O ，给出下列三个条件：EBO= DCO ； BE=CD ； OB=OC（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定 ABC 是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（ 1）中的一种情形，写出证明过程. .【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定【专题】开放型【分析】（ 1）由；两个条件可以判定 ABC 是等腰三角形，（2）先求出 ABC= ACB ，即可证明 ABC 是等腰三角形【解答】解：（ 1）；（2）选证明如下，OB=OC ， OBC= OCB ， EBO= DCO ，又 ABC= EBO+ OBC ， ACB= DCO+ OCB ， ABC= ACB ， ABC 是等腰三角形【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是找出相等的角求 ABC= ACB 25如图，在 ABC 中， AB=AC ，点 D，E，F 分别在边AB，BC ，AC 上，且 BD=CE ， BE=CF，如果点 G为DF 的中点，那么 EG 与 DF 垂直吗？【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质【分析】连接DE，EF，易证 BDE CFE，可得 DE=EF，可证 DGE FGE，可求得 DGE= FGE=90 °【解答】解：连接DE，EF，. .AB=AC ， B=C ，在 BDE 和 CFE 中， BDE CFE（SAS），DE=EF，在在 DGE 和 FGE 中， DGE FGE（SSS）， DGE= FGE， DGE+ FGE=180 °， DGE= FGE=90 °，EGDF【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证 DE=EF 是解题的关键26如图，在 ABC 中， AB=AC ，D、E 是 BC 边上的点，连接AD 、AE，以 ADE 的边 AE 所在直线为对称轴作 ADE 的轴对称图形 AD E，连D接 C，若 BD=CD（1）求证： ABD ACD；（2）若 BAC120 °，求DAE 的度数. .【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质【分析】（ 1）根据对称得出 AD=AD ，根据 SSS证 ABD ACD即可；（2）根据全等得出 BAD= CAD， 求出 BAC= DAD， 根据对称得出 DAE= DAD，代入求出即可【解答】（ 1）证明：以 ADE 的边AE 所在直线为对称轴作 ADE 的轴对称图形 AD E， AD=AD ，在 ABD 和 ACD中， ABD ACD；（2）解： ABD ACD， BAD= CAD， BAC= DAD =120 °，以 ADE 的边AE 所在直线为对称轴作 ADE 的轴对称图形 AD E， DAE= D AE= DAD =60 °，即 DAE=60 °【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、对称的性质的应用，主要考查学生的推理能力，题型较好，难度适中27如图，已知 BAD 和 BCE 均为等腰直角三角形， BAD= BCE=90 °，点M 为 DE 的中点，过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N（1）当 A，B，C 三点在同一直线上时（如图 1），求证： M 为 AN 的中点；（2）将图 1 中的 BCE 绕点 B 旋转，当 A ，B，E 三点在同一直线上时（如图 2），求证： ACN为等腰直角三角形